北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題1.7 矩形的性質(zhì)與判定（鞏固篇）（專項練習(xí)）

專題1.7矩形的性質(zhì)與判定（鞏固篇）（專項練習(xí)）一、單選題類型一、利用矩形的性質(zhì)求線段、角度及面積1．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，于點E，，，則（

）A． B． C．2 D．2．如圖，O是矩形ABCD的對角線交點，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠AEO的度數(shù)為（

）A．15° B．25° C．30° D．35°3．兩張全等的矩形紙片，按如圖的方式疊放在一起，．若，，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（

）A．15 B．14 C．13 D．12類型二、利用矩形的性質(zhì)和判定證明4．若順次連接矩形的各邊中點所得的四邊形一定是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四邊形5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，點E為BC上的一點，ED平分∠AEC，則BE的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm6．如圖所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC＝2AB；③S△AOE＝S△COE，其中正確結(jié)論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個類型三直角三角形斜邊上中線問題7．如圖，四邊形是菱形，對角線、相交于點，過點作于點，連接，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．8．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作于點H，連接OH，若，，則菱形ABCD的面積為（

）A．8 B．16 C．24 D．329．如圖，點A的坐標為（4，3），AB⊥x軸于點B，點C為坐標平面內(nèi)一點，OC＝2，點D為線段AC的中點，連接BD，則BD的最大值為（

）A．3 B． C． D．類型四、添加一個條件構(gòu)成矩形10．如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，CA的中點，若四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（

）A． B． C． D．11．在中，對角線，相交于點，只需添加一個條件，即可證明是矩形，這個條件可以是（

）A． B． C． D．12．如圖，平行四邊形的對角線與相交于點，添加一個條件使平行四邊形為矩形的是（

）A． B． C． D．類型五、證明四邊形是矩形13．如圖，在中，點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，則下列四個判斷中，不正確的是（

）A．四邊形ADEF是平行四邊形 B．若，則四邊形ADEF是矩形C．若，則四邊形ADEF是菱形 D．若四邊形ADEF是正方形，則是等邊三角形14．如圖，在銳角△ABC中，延長BC到點D，過點O作直線MNBC，MN分別交∠ACB、∠ACD的平分線于E，連接AE、AF，在下列結(jié)論中：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，則OC的長為6；④當AO＝CO時，四邊形AECF是矩形．其中正確的是（）A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④15．如圖，在平行四邊形ABCD中對角線AC、BD交于點O，并且∠DAC＝60°，∠ADB＝15°．點E是AD邊上一個動點，延長EO交BC于點F，當點E從D點向A點移動過程中（點E與點D，A不重合），則四邊形AFCE的變化是（）A．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→正方形→平行四邊形D．平行四邊形→矩形→菱形→正方形→平行四邊形類型六、利用矩形的性質(zhì)與判定求線段、角度及面積16．將矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形．當時，下列針對值的說法正確的是（

）A．或 B．或 C． D．17．如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．518．如圖，在平行四邊形中，，．連接AC，過點B作，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F．若，則四邊形ABEC的面積為（

）A． B． C．6 D．二、填空題類型一、利用矩形的性質(zhì)求線段、角度及面積19．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，DE平分∠ADC交BC于點E，連接OE．若∠BDE＝15°，則∠DOE＝_____．20．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5．點E是BC邊上一動點，連接AE．將△ABE沿AE翻折得到△AEF，連接DF．當△ADF的面積為時，線段BE的長為______．21．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM、CN、MN．若AB＝3，BC＝2，則圖中陰影部分的面積為______________．類型二、利用矩形的性質(zhì)和判定證明22．如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為（3，3），過點B作BA⊥x軸于點A，BC⊥y軸于點C．若直線l：把四邊形OABC分成面積相等的兩部分，則m的值為____．23．如圖，線段AB＝10，點D是線段AB上的一個動點（不與點A重合），在AB上方作以AD為腰的等腰△ACD，且∠CAD＝120°，過點D作射線DP⊥CD，過DP上一動點G（不與D重合）作矩形CDGH，其對角線交點為O，連接OB，則線段OB的最小值為______．24．如圖，矩形中，，，矩形的頂點，，分別在矩形的邊，，上，且，則點到的距離的最大值為______．類型三直角三角形斜邊上中線問題25．在中，，，是的中點，，則______．26．如圖，在中，AD和AE分別是邊BC上的中線和高，已知，求高______．27．如圖，在中，，，，點、分別在軸、軸上，當點在軸上運動時，點隨之在軸上運動，在運動過程中，點到原點的最大距離是______．類型四、添加一個條件構(gòu)成矩形28．如圖，連接四邊形各邊中點，得到四邊形，還要添加______________條件，才能保證四邊形是矩形．29．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，要使它變?yōu)榫匦危枰砑拥臈l件_______________（寫出一種情況即可）30．如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB請你添加一個條件___________，使四邊形DBCE是矩形．類型五、證明四邊形是矩形31．如圖，菱形中，點O為對角線的交點，E、F、G、H是菱形的各邊中點，若，，則四邊形的面積為______．32．如圖，△ABC中，分別以AB、AC為邊在△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD、BE，四邊形ADFE是平行四邊形．（1）當∠BAC的度數(shù)為______時，平行四邊形ADFE是矩形；（2）當∠BAC的度數(shù)為______時，平行四邊形ADFE不存在；（3）當△ABC滿足____________時，平行四邊形ADFE是菱形．33．數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)趙爽弦圖啟發(fā)設(shè)計了如圖圖形：其中四邊形ABCD為菱形，△ADH、△CBF、△AEB、△CGD均為直角三角形．若AH＝，DH＝1，CG＝2，則EF的長為____．類型六、利用矩形的性質(zhì)與判定求線段、角度及面積34．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜BC，∠B＝30°，AB＝2，將△ABC沿AC翻折至△AB'C，連接B'D．當BC長為____時，△AB'D是直角三角形．35．如圖，在中，，直線垂直平分，把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在直線上的點處，聯(lián)結(jié)、，線段、交于點，如果，那么______度．36．如圖，等腰直角三角形，，點D、E分別是AB、BC上的點，且，，則圖中陰影部分的面積為____________．三、解答題37．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD于點O，，AB=4．(1)求AC、BD的長；(2)求矩形ABCD的面積．38．如圖，在矩形ABCD中，點M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足為N．(1)求證：△ABN≌△MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四邊形BCMN的面積．39．如圖，在中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作交BE的延長線于點F，連接CF．(1)求證：；(2)若，，求四邊形ADCF的周長．40．如圖，四邊形ABCD對角線AC、BD相交于點O，且∠ABC=90°，

，BE∥AC，CE∥DB，求證：四邊形OBEC是菱形．從以下三個選項中選兩個作為已知條件：①AD∥BC，

②AB=CD，

③AD=BC，并完成證明．你選擇的條件是41．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，且與AD邊相交于點E，∠AEB＝45°．(1)求證：平行四邊形ABCD是矩形；(2)連接CE，若CE，DE＝1，求AD的長．參考答案1．A【分析】設(shè)，則，利用求出，進一步得，設(shè)，則，利用勾股定理求出，再求出，，利用求解即可．解：設(shè)，則，∴，得：，即，∵，∴，，∵，設(shè)，則，∴，解之得：，∴，，∴，∵，∴，故選：A．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半．解題的關(guān)鍵是求出，，再利用勾股定理，所對的直角邊等于斜邊的一半，求出BE，BO．2．C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB=OC，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=90°，又由AE平分∠BAD，∠AOD=120°，即可求得∠OBC和∠AEB的度數(shù)，以及AB=BE，AB=OA=OB，即可得OB=BE，∠BOE=∠BEO，即可求得∠OEB的度數(shù)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，OB=BD，OC=AC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵∠BOC=∠AOD=120°，∴∠OBC=30°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，∴∠AEB=∠EAD=∠BAE=45°，∴AB=BE，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴AB=OA=OB，∴OB=BE，∴∠BOE=∠BEO，∴∠OEB=75°，∴∠AEO=∠OEB-∠AEB=75°-45°=30°，故C正確．故選：C．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得．解：如圖，在兩張全等的矩形紙片，中，，，四邊形是平行四邊形，在和中，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得，，則圖中重疊（陰影）部分的面積為，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，正確找出兩個全等三角形是解題關(guān)鍵．4．A【分析】利用中位線的定理和矩形對角線的性質(zhì)證明順次連接矩形的各邊中點所得的四邊形的四條邊都相等即可求解．解：如圖，四邊形ABCD是矩形，點E、F、G、H分別是其四條邊的中點，順次鏈接E、F、G、H可得四邊形EFGH一定是菱形，證明：連接AC、BD，∵在△ABD中，∵，，∴，同理可得：，，，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴,∴四邊形EFGH是菱形，故選：A．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形中位線按定理、菱形的判定，解題的關(guān)鍵是正確解讀題意，熟練運用菱形的判定方法．5．B【分析】由平分得出，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出相應(yīng)角的度數(shù)，再由角與角之間的關(guān)系得出，從而得出，再由角相等得出邊相等，再根據(jù)勾股定理求出的長．解：∵平分∴∵四邊形為矩形∴∴∴∴∴∵∴∵∴故選：B．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的運用，熟練掌握矩形的性質(zhì)和運用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．6．C【分析】由矩形的性質(zhì)得OA＝OD＝OC＝OB，再證∠ACD＝60°，得△ODC是等邊三角形，故①正確；然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AC＝2AB，則2AB＞BC，故②錯誤；最后由OA＝OC得S△AOE＝S△COE，故③正確；即可求解．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OC，OD＝OB，AC＝BD，∴OA＝OD＝OC＝OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝45°，∵∠CAE＝15°，∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°，∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝90°﹣30°＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等邊三角形，故①正確；∵ADBC，∴∠ACB＝∠DAC＝30°，∵∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴2AB＞BC，故②錯誤；∵OA＝OC，∴S△AOE＝S△COE，故③正確；正確的結(jié)論有2個，故選：C．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出OA＝OD＝OC是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得、、、，借助可計算出、的值，再利用DH⊥AB、可知OH為Rt△DHB的斜邊DB上的中線，得到，利用等腰三角形的性質(zhì)得，進而求出∠DHO的度數(shù)．解：∵ABCD是菱形，∴，，，，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：A．【點撥】此題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形等邊對等角求角度等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】由Rt△BHD中，點O是BD的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，OH=2，則，BD=4，由菱形對角線的性質(zhì)可得AC=8，應(yīng)用菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，即可得出答案．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=4，∴AC=8，∴菱形ABCD的面積=AC?BD=×8×4=16．故選：B．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和面積及直角三角形的性質(zhì)，合理利用菱形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)進行計算是解決本題的關(guān)鍵．9．B【分析】先連接，取其中點，連接、，根據(jù)點D、E為線段AC、AO的中點求出DE的長，再根據(jù)斜中線定理求出BE的長，當當、、三點在同一條直線上時，BD值最大，求出結(jié)果即可．解：如下圖所示，連接，取其中點，連接、，∵點D、E為線段AC、AO的中點，∴,又∵AB⊥x軸于點B，∴∴，當、、三點在同一條直線上時，BD值最大，此時；故選：B．【點撥】本題主要考查三角形中位線定理、斜中線定理，本題解題的關(guān)鍵是在于找到兩點之間線段最短．10．A【分析】利用三角形中位線定理可得四邊形EFGH是平行四邊形，當，利用,可得即可證明四邊形EFGH是矩形．解：∵點E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，CA的中點，∴，且，且，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形EFGH是矩形，∴，即，∵，，∴，故選：A．【點撥】本題考查矩形的判定定理，三角形中位線的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用三角形中位線定理證明四邊形EFGH是平行四邊形，再利用推出．11．B【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可；解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，，∴平行四邊形ABCD是菱形，故A不符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，，∴平行四邊形ABCD是矩形，故B符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，，∴平行四邊形ABCD是菱形，故C不符合題意；∵四邊形ABCD是平行四邊形，，∴不能判定平行四邊形ABCD是矩形，故D不符合題意；故選B．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和菱形的判定，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．12．B【分析】根據(jù)矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)分別對各個選項進行判斷即可．解：A、時，平行四邊形ABCD是菱形，故選項A不符合題意；B、時，∠BAD＝90°，則平行四邊形ABCD是矩形，故選項B符合題意；C、時，平行四邊形ABCD不一定是矩形，故選項C不符合題意；D、時，平行四邊形ABCD是菱形，故選項D不符合題意；故選：B．【點撥】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知識；熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．13．D【分析】根據(jù)三角形中位線定理可知，，所以四邊形ADEF是平行四邊形；當，四邊形ADEF是矩形；若，則，所以四邊形ADEF是菱形；若四邊形ADEF是正方形，則，不是等邊三角形．解：A.由三角形中位線定理可知：，，∴四邊形ADEF是平行四邊形，選項正確，不符合題意；B.∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴當，四邊形ADEF是矩形，選項正確，不符合題意；C.∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴，，∵，點D、F分別是AB、AC的中點∴，∴，∴若，則四邊形ADEF是菱形，選項正確，不符合題意；D.∵若四邊形ADEF是正方形，則，∴若四邊形ADEF是正方形，則是等邊三角形，選項錯誤，符合題意；故選：D．【點撥】本題考查三角形中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記定理及性質(zhì)．14．A【分析】①證明，，即可證明結(jié)論①正確；②先由角平分線性質(zhì)證，若，則，，與已知矛盾，故結(jié)論②錯誤；③由直角三角形斜邊中線性質(zhì)知，，故結(jié)論③錯誤；④由矩形判定方法可以證明該結(jié)論正確．解：MNBCEC平分角，F(xiàn)C平分角故結(jié)論①正確；若，則，，與△ABC是銳角三角形矛盾，故結(jié)論②錯誤；由上面分析知，△ECF是直角三角形，是斜邊中線，故，故結(jié)論③錯誤；由，，知四邊形AECF是矩形，故結(jié)論④正確．綜上，正確答案為：A【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形中線性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵．15．B【分析】根據(jù)圖形結(jié)合平行四邊形、矩形、菱形的判定逐個階段進行判斷即可．解：點E從D點向A點移動過程中，∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC，AO=CO，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形；∵∠AOD=180°-∠DAC-∠ADB=115°，∴當∠EOD＝15°時，∠AOE=90°，此時平行四邊形AECF是菱形；當∠EOD=45°，∠AEO=∠EOD+∠ADO=45°+15°=60°，∴∠OAE=∠OEA，∴OA=OE，∴AC=EF，此時平行四邊形AECF是矩形；∴∠EOD＜15°時，四邊形AFCE為平行四邊形，當∠EOD＝15°時，AC⊥EF，四邊形AFCE為菱形，當15°＜∠EOD＜45°時，四邊形AFCE為平行四邊形，當∠EOD＝45°時，四邊形AFCE為矩形，當45°＜∠EOD＜105°時，四邊形AFCE為平行四邊形，故選：B．【點撥】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定方法，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握并應(yīng)用它們的判定定理.16．A【分析】當GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)∠DAG=60°，即可得到旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．解：如圖，當GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：①當點G在AD右側(cè)時，取BC的中點H，連接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四邊形ABHM是矩形，∴AM=BH=，∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等邊三角形，∴∠DAG=60°，∴旋轉(zhuǎn)角α=60°；②當點G在AD左側(cè)時，同理可得△ADG是等邊三角形，∴∠DAG=60°，∴旋轉(zhuǎn)角α=360°-60°=300°，故選：A．【點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解題時注意：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．17．A【分析】由矩形的性質(zhì)與線段的等量關(guān)系證明，，則，，如圖，作關(guān)于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，則四邊形是矩形，，，則，，在中，由勾股定理得求出的值，進而可求最小的周長．解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵，，∴，，在和中∵，∴，∴，同理，∴，如圖，作關(guān)于的對稱點，連接交于，此時最小，即四邊形周長最小，作于，∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，在中，由勾股定理得，∴四邊形的周長，故選A．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，軸對稱等知識．解題的關(guān)鍵在于找出四邊形周長最小時點、的位置關(guān)系．18．B【分析】先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC，即可求出四邊形ABEC的面積．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，∵，∴四邊形ABEC為平行四邊形，∵，∴，∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF，∴AF=BF，∴2AF=2BF，即BC=AE，∴平行四邊形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∴,∴矩形ABEC的面積為．故選：B【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知相關(guān)定理，證明四邊形ABEC為矩形是解題關(guān)鍵．19．135°##135度【分析】首先得出△CDE為等腰直角三角形，即可推出△OCD為等邊三角形，得CO=CE，進而求出∠COE，即可得出答案．解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥CB，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝45°，CD＝CE，∵∠BDE＝15°，∴∠ODC＝60°，在矩形ABCD中，OD＝OC，∴△ODC為等邊三角形，∴OC＝CD＝CE，∠OCD＝∠COD＝60°，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝（180°﹣∠OCE）＝75°，∴∠DOE＝135°，故答案為：135°．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形對角線互相平分且相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．【分析】過點F作AD的垂線，交AD于M，交BC于N，求出AM長，再根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．解：過點F作AD的垂線，交AD于M，交BC于N，由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，∵△ADF的面積為，∴，∵AD＝5，∴，∴，∵∠ABN=∠BAN=∠AMN=90°，∴四邊形AMNB是矩形，∴，∠BNM=90°，AB=MN=3，∴FN=MN-FM=2，∴，解得，，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)面積求出線段長，利用勾股定理列方程．21．【分析】利用三角形中線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出,,,即可得出答案．解：點、分別是、的中點，連接和，分別取、的中點、,,,,,圖中陰影部分的面積．故答案為：．【點撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中線的性質(zhì)，得出圖中陰影部分的面積等于矩形面積的一半是解題關(guān)鍵．22．-3【分析】先由BA⊥x軸，BC⊥y軸得到四邊形OABC是矩形，然后由矩形的性質(zhì)可得直線l過矩形OABC的中心點，再由點B和點O的坐標求得中心點的坐標，最后將中心點的坐標代入直線l的解析式求得m的值．解：∵BA⊥x軸，BC⊥y軸，∴四邊形OABC是矩形，∵直線l將四邊形OABC分為面積相等的兩部分，∴直線l過矩形OABC的中心點，∵點B（3，3），點O（0，0），∴矩形OABC的中心點為（，），（中點坐標公式）將中心點（，）代入y＝mx﹣2m得，m﹣2m，∴m＝﹣3，故答案為：﹣3．【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過直線l平分四邊形OABC的面積得到直線l經(jīng)過矩形OABC的中心點．23．【分析】根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：EC=ED，再根據(jù)AC=AD，點一定在∠CAB的平分線上運動，根據(jù)垂線段最短得：當EB⊥AE時，EB的長最小，根據(jù)∠BAE=60°得出結(jié)論．解：連接AE，∵四邊形CDGH是矩形，∴CG=DH，EC=CG，ED=DH，∴EC=ED，∵AC=AD，∴AE垂直平分CD，∴∠DAE=∠CAE=∠CAD=×120°=60°，∴點E在∠CAB的平分線上運動，∴當EB⊥AE，∠AEB=90°時，EB的長最小，∵∠B=90°-∠BAE=30°，∴EB=AB=×10=5，即EB的最小值為5cm，故答案為5．【點撥】本題考查了矩形、線段垂直平分線、含30°角的直角三角形、垂線段．熟練掌握矩形對角線相等且平分的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形邊的性質(zhì)、垂線段最短，是解決問題的關(guān)鍵．24．【分析】如圖，作于交于，作于證明≌，推出，由四邊形是矩形，推出，推出，在中，推出當?shù)闹底钚r，的值最大，的值最大，求出的最小值即可解決問題．解：如圖，作于交于，作于．四邊形，四邊形都是矩形，，，，，，，，，≌，，四邊形是矩形，，，在中，，當?shù)闹底钚r，的值最小，的值最大，四邊形是矩形，，當時，的值最小，的最小值的長，的最小值，，的最大值，故答案是：．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用條輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．25．【分析】依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到AB的長，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到BC的長，最后依據(jù)勾股定理進行計算，即可得出AC的長．解：∵點D是AB的中點，CD=3，∠ACB=90°，∴AB=2CD=6，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，即BC=AB=3，∴Rt△ABC中，，故答案為：．【點撥】本題主要考查了勾股定理以及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．26．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得，勾股定理求得，然后根據(jù)等面積法求得三角形的高即可求解．解：是邊BC上的中線中，故答案為：【點撥】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．27．【分析】根據(jù)題意，可得：當、、三點共線時，點到原點的距離最大，即可得解．解：如圖，取的中點，連接、，則，由勾股定理得，，∵，∴當、、三點共線時，點到原點的距離最大，所以，點到原點的最大距離是．故答案是：．【點撥】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．ACBD【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)易得四邊形EFGH為平行四邊形，那么只需讓一組鄰邊互相垂直即可，然后只需要證明∠2為90°即可．解：∵E、F為AD、AB中點，∴EF為△ABD的中位線，∴EF∥BD，EF=BD，同理可得GH∥BD，GH=BD，F(xiàn)G∥AC，F(xiàn)G=AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∴EF∥GH，EF=GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD故答案為：AC⊥BD.【點撥】本題考查矩形的判定，有一個角是90°的平行四邊形是矩形和中位線定理，解題的關(guān)鍵是了解矩形的判定定理，難度不大．29．AD=BC（答案不唯一）【分析】可以根據(jù)“有一個角是90°的平行四邊形是矩形”這一判定方法添加一條件使四邊形ABCD是平行四邊形即可.解：若AD∥BC，AD=BC，則：四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠D=90°，∴此時平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AD=BC（答案不唯一）.【點撥】本題主要考查了矩形的判定，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.30．EB＝DC(答案不唯一)【分析】欲得四邊形DBCE是矩形，由已知條件，易證得DE平行且等于BC，得出四邊形DBCE是平行四邊形，“對角線相等的平行四邊形是矩形”即可判定.解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC.∵AD=DE，∴DE=BC.∵DE∥BC，DE=BC，∴四邊形DBCE為平行四邊形，∴根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，可以添加一個條件即DC=EB.故答案為DC=EB（答案不唯一）.【點撥】考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵.矩形常見的判定方法有：1.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.2.對角線相等的四邊形是矩形.3.有三個角是直角的四邊形是矩形.31．12【分析】利用三角形中位線定理，可以證明四邊形EFGH和四邊形MFNO是平行四邊形，同時得到四邊形EFGH的邊長，再證明四邊形MFNO是矩形，∠MFN是直角，則四邊形EFGH是矩形，即可求得面積．解：如圖，設(shè)EF交BD于點M，F(xiàn)G交AC于點N，∵E、F、G、H是菱形的各邊中點，∴EHBD，F(xiàn)GBD，EFAC，GHAC，EH＝FG＝BD＝4，GH＝EF＝AC＝3∴EHFG，EFGH，F(xiàn)MON，F(xiàn)NOM∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∠MON＝90°∴四邊形EFGH是矩形∴四邊形的面積＝EF×FG＝12故答案為：12【點撥】本題考查了三角形的中位線定理、菱形的性質(zhì)、矩形的判定方法等知識，熟練掌握相關(guān)知識的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．32．

150°

60°

AB=AC且∠BAC≠60°【分析】（1）當∠BAC=150°時，則∠DAE=90°，得平行四邊形ADFE是矩形；（2）當∠BAC=60°，證出D、A、E三點共線，得平行四邊形ADFE不存在；（3）先由等邊三角形的性質(zhì)得AD=AB，AE=AC，再由AB=AC得AD=AE，即可得出結(jié)論．解：（1）當∠BAC的度數(shù)為150°時，平行四邊形ADFE是矩形，理由如下：當∠BAC=150°時，∵∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAE=360°-150°-60°-60°=90°，又∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴平行四邊形ADFE是矩形．故答案為：150°；（2）當∠BAC的度數(shù)為60°時，平行四邊形ADFE不存在；理由如下：當∠BAC=60°，∠BAC+∠DAB+∠CAE=180°，∴D、A、E三點共線，∴平行四邊形ADFE不存在；故答案為：60°；（3）當△ABC滿足AB=AC且∠BAC≠60°時，平行四邊形ADFE是菱形，理由如下：∵△ABD和△ACE是等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∵AB=AC，∴AD=AE，又∵四邊形ADFE是平行四邊形，∴平行四邊形ADFE是菱形，故答案為：AB=AC且∠BAC≠60°．【點撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定和菱形的判定．33．1【分析】先證四邊形是矩形，可得，利用勾股定理可求，的長，即可求解．解：、、、均為直角三角形，，，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形，，，故答案為1．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理、矩形的判定，解題的關(guān)鍵是證明四邊形是矩形．34．6或4【分析】分∠B′AD=90°和∠AB′D=90°兩種情況，畫出圖形，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)解答即可．解：∵AB＜BC，∴∠ADB′≠90°．①當∠B′AD=90°時，如圖1，延長B′A交BC于E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠B=∠ADC，∴∠B′EC=90°，由折疊性質(zhì)得，BC=B′C，AB=AB′，∠AB′C=∠B=30°，在Rt△B′EC中，CE=B′C，即CE=BC，∴BE=CE=BC，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB＝2，∴AE=AB=，BE==3，∴BC=2BE=6；②當∠AB′D=90°時，如圖2，設(shè)AD與B′C相交于O，∵AD∥BC，∴∠OAC=∠ACB，由折疊性質(zhì)得：∠BAC=∠B′AC，∠ACO=∠ACB，∠B=∠AB′C，∴∠OAC=∠ACO，∴OA=OC，又AD=BC=B′C，∴OD=OB′∴∠ODB′=∠OB′D，即∠ADB′≠90°．∵∠ADC=∠B=∠AB′C，∴∠CDB′=∠AB′D=90°，∴CD∥AB′，又CD=AB′，∴四邊形AB′DC是矩形，∴∠B′AC=90°，即∠BAC=90°，在Rt△BAC中，∠B=30°，AB=，∴BC=2AC，BC2=AB2+AC2，解得：BC=4，綜上，當BC長為6或4時，△AB′D是直角三角形．故答案為：6或4．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識間的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．35．105【分析】過點C作CH⊥AB于H，由旋轉(zhuǎn)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得EF＝BE＝AE，則△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，證明四邊形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．解：過點C作CH⊥AB于H，∵線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，使點A落在直線DE上的點F處，∴AE＝EF，∵直線DE垂直平分AB，AB＝AC，∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°，∴EF＝BE＝AE，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，∵DE⊥AB，CFAB，∴CF⊥DE，∵DE⊥AB，CH⊥AB，∴四邊形EFCH是矩形，∴CH＝EF＝AB＝AC，∴∠CAH＝30°，∴∠AGB＝180°?∠EBF?∠CAH＝180°?45°?30°＝105°．故答案為：105．【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解題的關(guān)鍵．36．##【分析】如圖，過作于過作于證明四邊形是矩形，證明求解可得再利用三角形的面積公式進行計算即可．解：如圖，過作于過作于四邊形是矩形，故答案為：【點撥】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建矩形與等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵．37．(1)AC=BD=8(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可