數(shù)學(xué)-易錯(cuò)點(diǎn)03 函數(shù)（原卷版）

易錯(cuò)點(diǎn)03函數(shù)平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一次函數(shù)的應(yīng)用反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與性質(zhì)二次函數(shù)的應(yīng)用易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析01各個(gè)待定系數(shù)表示的意義。充分掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的概念。對(duì)于較復(fù)雜問題容易忽略數(shù)形結(jié)合思想。（2022九下·沭陽(yáng)模擬）已知一次函數(shù)y＝kx＋b，且當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，1≤y≤9，則k＋b的值為【答案】9【規(guī)范解答】本題答案不全面，此題分兩種情況考慮：①當(dāng)x=-3時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=9，代入y=kx+b中求出k、b的值，進(jìn)而可得k+b的值；②當(dāng)x=-3時(shí)，y=9，當(dāng)x=1時(shí)，y=1，同理可得k+b的值.【規(guī)范解答】解：①當(dāng)x=-3時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=9；則1=-3k解得k=2；②當(dāng)x=-3時(shí)，y=9，當(dāng)x=1時(shí)，y=1；則9=-3k

解得，；故答案為：9或1.【變式訓(xùn)練01】（2022·宿遷）甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個(gè)特征，甲：“函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0，2)”，請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)滿足這兩個(gè)特征的函數(shù)，其表達(dá)式是.【變式訓(xùn)練02】（2021九上·豐縣期中）下表給出一個(gè)二次函數(shù)的一些取值情況：x?01234?y?300n?（1）n=，二次函數(shù)表達(dá)式為；（2）請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖像說明：當(dāng)x取何值時(shí)，y的值為非負(fù)數(shù)？

【變式訓(xùn)練03】（2022九上·通州月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及m的值；（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出此函數(shù)的示意圖；（3）結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出當(dāng)y＞0時(shí)x的取值范圍．易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析02各種函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)與幾何圖形的關(guān)系應(yīng)用。注意解析式中字母表示的幾何意義，特別是二次函數(shù)的解析式，其表示的方式多樣化，容易記憶混淆。涉及的公式比較多，一定要理解推導(dǎo)記憶6．（2022九上·通州月考）已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的解為．【答案】

【解析】本題答案不全面，利用二次函數(shù)的解析式可得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，觀察圖象可知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；然后就二次函數(shù)y=-x2+2x+m與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程-x2+2x+m=0的兩個(gè)根，即可求解.【規(guī)范解答】解：根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的部分圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，0），對(duì)稱軸為，由拋物線的對(duì)稱性可知：二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的根，即：；故答案為：．【變式訓(xùn)練01】（2022九上·通州月考）拋物線的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝2【變式訓(xùn)練02】（2022九上·通州月考）設(shè)A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝x2﹣2x+c上的三點(diǎn)，y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【變式訓(xùn)練03】（2022九上·興化開學(xué)考）已知反比例函數(shù)y，下列說法不正確的是（）A．圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣4） B．圖像分別在二、四象限C．當(dāng)y≤1時(shí)，x≤﹣8 D．在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x增大而增大易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析03利用圖像求不等式的解集和方程（組）的解，利用圖像性質(zhì)確定增減性。此類題目對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想掌握利用要求比較高，注意細(xì)心審題，找準(zhǔn)問題問的是什么。也很容易對(duì)數(shù)軸直線的增減性與解析式中的字母結(jié)合理解出錯(cuò)。

（2022·徐州）若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，則關(guān)于kx＋b＞0的不等式的解集為．【答案】x＞2【思路點(diǎn)撥】本題答案有誤，忽略題目關(guān)鍵問題，求的是另外一個(gè)不等式的解集，而不是原解析式。根據(jù)圖象可知y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（2，0）且k>0，代入化簡(jiǎn)可得b=-2k，根據(jù)不等式表示出x，進(jìn)而可得x的范圍.【規(guī)范解答】解：∵根據(jù)圖象可知y＝kx＋b與x軸交于點(diǎn)，且，∴，解得，，∴，即，解得x＞3.故答案為：x＞3.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖象可知y＝kx+b與x軸交于點(diǎn)（2，0）且k>0，代入化簡(jiǎn)可得b=-2k，根據(jù)不等式表示出x，進(jìn)而可得x的范圍.【變式訓(xùn)練01】（2022·揚(yáng)州）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為.

【變式訓(xùn)練02】（2021·阜寧模擬）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為.【變式訓(xùn)練03】（2021·濱海模擬）如圖，兩條直線l1和l2的關(guān)系式分別為y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍為.

易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析04利用函數(shù)模型解實(shí)際問題。注意區(qū)別方程、函數(shù)、不等式模型解決不等領(lǐng)域的問題。這類問題容易出現(xiàn)多個(gè)解，對(duì)審題能力，計(jì)算及概念掌握要求比較高。需要著重掌握零散的知識(shí)點(diǎn)（2022·沭陽(yáng)模擬）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是.【答案】【思路點(diǎn)撥】答案不全面，沒有考慮到圖像的完整性。由圖象可知：拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），則其與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），然后根據(jù)圖象，找出二次函數(shù)圖象在x軸上方部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍即可.【規(guī)范解答】解：由圖象可知，拋物線的對(duì)稱軸為，∵與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，則其與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合圖象得：當(dāng)時(shí)，.故答案為：.

【變式訓(xùn)練01】（2022·泰州）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)B(3，1).（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)隨x的增大而增大且時(shí)，直接寫出x的取值范圍；（3）平行于x軸的直線l與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【變式訓(xùn)練02】（2022·泗洪模擬）如圖，二次函數(shù)y1＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（0，2），圖象的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y2＝mx+n的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、C.（1）求二次函數(shù)的解析式y(tǒng)1和一次函數(shù)的解析式y(tǒng)2；（2）點(diǎn)P在x軸下方的二次函數(shù)圖象上，且S△ACP＝33，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）結(jié)合圖象，求當(dāng)x取什么范圍的值時(shí)，有y1≤y2.易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析05反比例函數(shù)K值得特殊意義及應(yīng)用。對(duì)相關(guān)公式加深理解記憶，這類問題在考察作輔助線以及反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用上有一定要求（2022九下·沭陽(yáng)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=kx與y=的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過A作y軸的垂線，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C，連接BC，則△ABC的面積為（）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路點(diǎn)撥】答案有誤。忽略了輔助線的解題技巧。連接OC，設(shè)AC⊥y軸交y軸為點(diǎn)D，由反比例函數(shù)的對(duì)稱性得OA=OB，根據(jù)等底同高三角形面積相等得S△AOC=S△COB，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可得S△AOD=1，S△COD=2，則S△AOC=3，據(jù)此計(jì)算.【規(guī)范解答】解：連接OC，設(shè)AC⊥y軸交y軸為點(diǎn)D，如圖，∵反比例函數(shù)y=-為對(duì)稱圖形，∴O為AB的中點(diǎn)，∴S△AOC=S△COB，∵由題意得A點(diǎn)在y=-上，B點(diǎn)在y=上，∴S△AOD==1，S△COD=2；S△AOC=S△AOD+S△COD=3，∴S△ABC=S△AOC+S△COB=6.故答案為：C.

【變式訓(xùn)練01】（2022·錫山模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C，A分別為x軸、y軸正半軸上的點(diǎn)，以O(shè)A，OC為邊，在第一象限內(nèi)作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，將矩形OABC翻折，使點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，折痕為MN，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在第四象限，過M點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象恰好過MN的中點(diǎn)，則k的值為，點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.【變式訓(xùn)練02】（2021·江都模擬）如圖，平行四邊形ABCO的邊AB的中點(diǎn)F在y軸上，對(duì)角線AC與y軸交于點(diǎn)E，若反比例函數(shù)（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過AF的中點(diǎn)D，且△AEO的面積為6，則k的值為.【變式訓(xùn)練03】（2021·大豐模擬）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，且軸，，垂足為點(diǎn)，交軸于點(diǎn).則的面積為（）

A．3 B．4 C．5 D．6易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析06與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)一定要會(huì)求。面積最大值的求解方法，距離之和的最小值的求解方法，距離之差最大值的求解方法。此類問題需要掌握一定的解題技巧，特別是輔助線的作法上，掌握必要的輔助線作法模型很重要，對(duì)解題速度，正確率都有很大的幫助。（2022·南通模擬）若拋物線的圖像與軸有交點(diǎn)，那么的取值范圍是．【答案】m＜1【思路點(diǎn)撥】答案有誤，沒有考慮到多種情況。令y=0，根據(jù)拋物線的圖象與x軸有交點(diǎn)可得△≥0，代入求解可得m的范圍.【規(guī)范解答】解：拋物線的圖像與軸有交點(diǎn)，令，有，即該方程有實(shí)數(shù)根，，

．故答案是：m≤1．【變式訓(xùn)練01】（2022九上·鹽城期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則三個(gè)代數(shù)式①abc，②，③中，值為正數(shù)的有.（填序號(hào)）【變式訓(xùn)練02】（2021九上·浦口月考）已知二次函數(shù)y＝（x－m）2－1（m為常數(shù)）.（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）請(qǐng)根據(jù)m的不同取值，探索該函數(shù)圖象過哪些象限?（直接寫出答案）（3）當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y的最小值為3，求m的值.【變式訓(xùn)練03】（2021九上·淮陰月考）如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)E為第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE、CE.（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求四邊形BOCE面積的最大值.易錯(cuò)分析易錯(cuò)分析07數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用，還應(yīng)注意結(jié)合圖像性質(zhì)解題。函數(shù)圖象與圖形結(jié)合學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形分解為簡(jiǎn)單圖形的方法，圖形為圖像提供數(shù)據(jù)或者圖像為圖形提供數(shù)據(jù)。（2016·丹陽(yáng)模擬）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中，正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【思路點(diǎn)撥】答案有誤。根據(jù)二次函數(shù)圖象與x交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判定b2﹣4ac的符號(hào)；將x=﹣1時(shí)，y＜0來推知a﹣b+c的符號(hào)；根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的位置以及對(duì)稱軸的位置來判定abc的符號(hào)；根據(jù)圖象的對(duì)稱軸來判斷b=2a的正誤．【規(guī)范解答】解：①根據(jù)二次函數(shù)的圖象知，該拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以b2﹣4ac＞0；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②根據(jù)圖示知，當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本選項(xiàng)正確；③∵拋物線的開口向下，

∴a＜0；又∵該拋物線與y交于正半軸，∴c＞0，而對(duì)稱軸x=﹣=﹣1，∴b=2a＜0，∴abc＞0；故本選項(xiàng)正確；④由③知，b=2a；故本選項(xiàng)正確；綜上所述，正確的選項(xiàng)有3個(gè)．故選C．【變式訓(xùn)練01】（2022·連云港）已知二次函數(shù)，其中.（1）當(dāng)該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖象與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值.【變式訓(xùn)練02】（2022·泗陽(yáng)模擬）如圖1，已知矩形的邊長(zhǎng)，.

某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)：同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.（1）若是等腰直角三角形，則t=（直接寫出結(jié)果）.（2）是否存在時(shí)刻t，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）如圖2，連接，試求的最小值.【變式訓(xùn)練03】（2022九下·揚(yáng)州期中）已知：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一直線：y＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，拋物線在x軸上方部分上有一動(dòng)點(diǎn)D，連結(jié)AC；

（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)D在第一象限，求D到直線BC的最大距離；（3）是否存在D點(diǎn)某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.一、選擇題1．（2022九上·通州月考）拋物線的對(duì)稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝22．（2022九上·通州月考）拋物線可以看作是由拋物線經(jīng)過以下哪種變換得到的（）A．向左平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位D．向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位3．（2022九上·吳江月考）如圖，已知點(diǎn)A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）

A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）4．（2022·南通）如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，若過點(diǎn)O且與邊分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）A． B．C． D．5．（2022·南通）根據(jù)圖像，可得關(guān)于x的不等式的解集是（）

A． B． C． D．二、填空題6．（2022·淮安）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是.7．（2022九上·通州月考）拋物線開口方向是．8．（2022九上·洪澤月考）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），則反比例函數(shù)的關(guān)系式為．9．（2022九上·海陵月考）如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，D是線段上一點(diǎn)．若，連接，記，的面積分別為，，則的值為．10．（2022·鹽城）《莊子?天下篇》記載“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭．”如圖，直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)

，以此類推，令，，，，若對(duì)任意大于1的整數(shù)恒成立，則的最小值為