平方根 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級下冊

人教版數(shù)學(xué)七年級下冊平方根

第一課時(shí)第6章實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解算術(shù)平方根的概念，會(huì)表示正數(shù)的算術(shù)平方根；了解算術(shù)平方根的非負(fù)性；了解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.同學(xué)們，你們知道宇宙飛船離開地球進(jìn)入地面附近軌道的速度在什么范圍內(nèi)嗎？這時(shí)它的速度要大于第一宇宙速度v1

（單位：m/s）,

而小于第二宇宙速度v2

（單位：m/s）.

v1

，v2的大1 2小滿足v2

=gR，v2

=

2gR

，其中g(shù)是物理中的一個(gè)常數(shù)（重力加速度），g ≈9.8

m/s2，R是地球半徑，R ≈

6.4×106

m

，怎樣求v1

，v2

呢？這就需要用到平方根的概念.問題：學(xué)校要舉行慶國慶美術(shù)作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？分析：∵ ( )2

=25∴這個(gè)正方形畫布的邊長應(yīng)取

dm.問題：學(xué)校要舉行慶國慶美術(shù)作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？分析：∵ 52

=25∴這個(gè)正方形畫布的邊長應(yīng)取

5 dm.a

2a小東還要準(zhǔn)備一些面積如下的正方形畫布，請你幫他把這些正方形的邊長都算出來：上面的問題，實(shí)際上是已知一個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù)的問題.正方形的面積191636425邊長134625算術(shù)平方根一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。正方形的面積191636425邊長134625算術(shù)平方根一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為： a讀作：“根號a”，a叫做被開方數(shù).規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0，即 0=

0課堂練習(xí)一 判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術(shù)平方根；（）（2）36的算術(shù)平方根是-6；（）（3）0的算術(shù)平方根是0；（）（4）0.01是0.1的算術(shù)平方根；（）（5）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是 5

，則這個(gè)數(shù)是5.（）（6） 81的算術(shù)平方根是9.（）請按下暫停鍵，認(rèn)真思考-6課堂練習(xí)一 判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術(shù)平方根；（√）（2）36的算術(shù)平方根是

6

；（）（3）0的算術(shù)平方根是0；（）（4）0.01是0.1的算術(shù)平方根；（）（5）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是 5

，則這個(gè)數(shù)是5.（）（6） 81的算術(shù)平方根是9.（）課堂練習(xí)一

判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術(shù)平方根；-6）0.010.1的（ ）（ ）（ ）（2）36的算術(shù)平方根是

6

；（3）0的算術(shù)平方根是0；（4 0.1 是

0.01

算術(shù)平方根；若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是 5

，則這個(gè)數(shù)是5.81的算術(shù)平方根是9.（√

）（ ）（

√

）課堂練習(xí)一

判斷以下說法是否正確？（1）5是25的算術(shù)平方根；-6）0.010.1的819.（2）36的算術(shù)平方根是

6

；（3）0的算術(shù)平方根是0；（4 0.1 是

0.01

算術(shù)平方根；（5）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是 5

，則這個(gè)數(shù)是5.（√

）（ ）（

√

）（ ）（

√

）（ ）3（6） 9 的算術(shù)平方根是想一想：被開方數(shù)a可以是負(fù)數(shù)嗎？想一想：算術(shù)平方根 a可以是負(fù)數(shù)嗎？請按下暫停鍵，認(rèn)真思考想一想：被開方數(shù)a可以是負(fù)數(shù)嗎？答：不可以，因?yàn)槿我庖粋€(gè)數(shù)的平方都不可能是負(fù)數(shù).

即a是一個(gè)非負(fù)數(shù).想一想:算術(shù)平方根 a可以是負(fù)數(shù)嗎？答：不可以，由算術(shù)平方根的定義可得正數(shù)x= a，即 a>

0，又 0=0，所以 a也是一個(gè)非負(fù)數(shù)。a具有雙重非負(fù)性：（1）被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；（2）非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)不存在算術(shù)平方根.課堂練習(xí)二

判斷以下各式是否有意義，為什么？（1）? 3

；（2）?3

；（3）(?3)2

；（4）1102.請按下暫停鍵，認(rèn)真思考課堂練習(xí)二

判斷以下各式是否有意義，為什么？（1）? 3

；（2）?3

；（3）(?3)2

；（4）1102.有意義有意義無意義有意義例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164請按下暫停鍵，認(rèn)真思考例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164解：（1）∵ 102=100，∴ 100的算術(shù)平方根為10，即 100

=10.例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164∴ 49

的算術(shù)平方根是7，64 8即49=764 8例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）100 （2）49

（3）0.000164（3）∵0.012=

0.0001，∴0.0001的算術(shù)平方根為0.01，即 0.0001

=0.01總結(jié)：求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根常借助于平方運(yùn)算，熟記常用平方數(shù)對求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根有事半功倍的效果；112=121，122=144，132=169，142=196，152

=225，162=256，172=289，182=324，192=361，202

=400.在求a的算術(shù)平方根時(shí)，若a是有理數(shù)的平方，則a的算術(shù)平方根就不帶根號；若a不是有理數(shù)的平方，則a的算術(shù)平方根就帶有根號，如 13；被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.這個(gè)結(jié)論對所有正數(shù)都成立.課堂練習(xí)三（1）求 22，(?3)2， 52，(?6)2， 72， 02的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？請按下暫停鍵，認(rèn)真思考課堂練習(xí)三（1）求 22，(?3)2， 52，(?6)2， 72， 02的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？由此發(fā)現(xiàn)：對于任意數(shù)a，都有 a2=

|a|.解： 22=2， (?3)2

=

3， 52

=5，22=2， 52

=5， 72=7，(?3)2

=

3， (?6)2=

6，02

=0.(?6)2

=

6， 72=7， 02

=0.a

>

0， a2=

a.a

=

0， a2=

0.a<0，a2=?

a.課堂練習(xí)三2 2 2 2 2 2（2）求( 4)

，( 9)

，( 25)

，( 36)

，( 49)

，( 0)

的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？請按下暫停鍵，認(rèn)真思考課堂練習(xí)三2 2 2 2 2 2（2）求( 4) ，( 9) ，( 25) ，( 36) ，( 49) ，( 0) 的值，你有什么發(fā)現(xiàn)？2 2 2解：

( 4) =

4，( 9) =

9，( 25) =

25，2 2 2( 36) =

36，( 49) =

49，( 0) =0.由此發(fā)現(xiàn)：對于任意非負(fù)數(shù)a，都有( a)2=

a.平方根平方根概念算術(shù)平方根性質(zhì)小結(jié)人教版數(shù)學(xué)七年級下冊平方根

第二課時(shí)第6章實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)了解平方根的概念，并理解平方與開平方的關(guān)系；會(huì)求非負(fù)數(shù)的平方根；了解平方根的性質(zhì)，會(huì)利用性質(zhì)解決具體問題.問題：學(xué)校要舉行慶國慶美術(shù)作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？分析：∵ ( )2

=25∴這個(gè)正方形畫布的邊長應(yīng)取

dm.問題：學(xué)校要舉行慶國慶美術(shù)作品比賽，小東想裁出一塊面積為25dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少？分析：∵ 52=25∴這個(gè)正方形畫布的邊長應(yīng)取

5 dm.問題：如果一個(gè)數(shù)的平方為25，那么這個(gè)數(shù)是多少？分析：∵ (±5)2

=25∴這個(gè)數(shù)是5或-5.根據(jù)上面的研究過程填表：x2116049425x±1±

40±

7±

25如果我們把±1、±4、0、±7、±

2分別叫做1、16、0、49、

4 的平方根，5 25你能類比算術(shù)平方根的概念，給出平方根的概念嗎？平方根一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根（squareroot）或二次方根．這就是說，如果

x2=a，那么x

叫做a的平方根．如何求一個(gè)數(shù)的平方根呢？x2 x2149+1-1+2-2+3-3149+2-2+3-3x 平方+1-1開平方 x求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方. 平方與開平方互為逆運(yùn)算！例4

求下列各數(shù)的平方根：（1）100；（2）9

；（3）0.25;（4）1

7.16 9請按下暫停鍵，認(rèn)真思考例4

求下列各數(shù)的平方根：（1）100；（2）9

；（3）0.25;（4）1

7.16 9解：（1）因?yàn)?±10)2

=100，所以100的平方根是±10；（2）因?yàn)?±

3)2

= 9

，所以

9

的平方根是±

3；4 16 16 4（3）因?yàn)?±0.5)2

=0.25，所以0.25的平方根是±0.5；（4）因?yàn)?

7

=

16，(±

4)2

=

16，所以1

7的平方根是±

4.9 9 3 9 9 3思考正數(shù)的平方根有什么特點(diǎn)？0的平方根是多少？負(fù)數(shù)有平方根嗎？歸納正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，其中正的平方根就是這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.平方根的表示、讀法正數(shù)a

的平方根用“± a”表示，讀作“正、負(fù)根號a”.正數(shù)a

的正平方根，用“ a”表示，讀作“根號a”,也就是a的算術(shù)平方根.正數(shù)a

的負(fù)平方根，用“? a”表示，讀作“負(fù)根號a”.或是a的算術(shù)平方根的相反數(shù).說一說

77

7

各表示什么意義？請按下暫停鍵，認(rèn)真思考說一說7

7

各表示什么意義？表示7的正的平方根（即算術(shù)平方根）

7表示7的負(fù)的平方根表示7的平方根平方根與算術(shù)平方根的比較0平方根算術(shù)平方根區(qū)別定義不同如果

一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的

平方根

.如果一個(gè)

正數(shù)

的平方等于a，那么這個(gè)正數(shù)就叫做a的

算術(shù)平方根

.個(gè)數(shù)不同正數(shù)a的平方根有兩個(gè).正數(shù)a的算術(shù)平方根有一個(gè).表示不同用 ± a

表示用

a

表示聯(lián)系平方根包括算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中

非負(fù)根

.存在條件相同.只有

非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根.3.0的平方根和算術(shù)平方根是 .課堂練習(xí)一

判斷以下說法是否正確？1的平方根是1；

2是4的一個(gè)平方根；±5是25的平方根；（4）-16的平方根是-4

；（5）0.3是0.9的平方根；（6） 4等于±

2；（7）

± 4等于±

2

.請按下暫停鍵，認(rèn)真思考（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）課堂練習(xí)一

判斷以下說法是否正確？1；2是4的一個(gè)平方根；±5是25的平方根；的平方根是-是0.9的（6） 4等于±

2（ ）（ ）（ ）（7）

± 4等于±

2

.（ ）（√）（√

）（√

）（1）

1的平方根是

±1

（4）

-16 沒有平方根4

；（5）

0.3 0.09

平方根；2

；③

-36的平方根是-6;④平方根等于0的數(shù)是0;⑤64的算術(shù)平方根是8；⑥(?4)2的平方根是?4.課堂練習(xí)二1.下列說法正確的是

①

-3是9的平方根;②25的平方根是5;請按下暫停鍵，認(rèn)真思考②25的平方根是5;③

-36的平方根是-6;④平方根等于0的數(shù)是0;⑤64的算術(shù)平方根是8；⑥(?4)2的平方根是?4.課堂練習(xí)二1.下列說法正確的是

①④⑤ ①

-3是9的平方根;±5沒有平方根±42.下列說法不正確的是

A.0的平方根是0B.?

22的平方根是2C.

?6

是(?6)2的平方根D.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根一定大于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)課堂練習(xí)二請按下暫停鍵，認(rèn)真思考B.

?

22的平方根是2C.

?6

是(?6)2的平方根D.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根一定大于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)課堂練習(xí)二2.下列說法不正確的是

A.0的平方根是0負(fù)數(shù)沒有平方根B.

?22的平方根是2C.

?6

是(?6)2的平方根D.一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根一定大于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)課堂練習(xí)二2.下列說法不正確的是

B A.0的平方根是0負(fù)數(shù)沒有平方根例5

求下列各式的值：（1） 36；（2）?0.81；（3）±949.請按下暫停鍵，認(rèn)真思考例5

求下列各式的值：（1） 36；（2）? 0.81；（3）±949.解：（1）因?yàn)?2

=

36，所以 36 =

6；（2）因?yàn)?.92

=

0.81，所以? 0.81 =?

0.9；（3）因?yàn)?7)2

=

49，所以± 49=±

7.3 9 9 3歸納（1）當(dāng)a

≥

0時(shí)，a：表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；? a：表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)；± a：表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根；（2）當(dāng)知道一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根時(shí)，就可以立即寫出它的負(fù)的平方根，反之也是可以的.小結(jié)平方根算術(shù)平方根概念性質(zhì)平方根知識概念性質(zhì)開平方運(yùn)算類比思想方法分類討論人教版數(shù)學(xué)七年級下冊平方根（第三課時(shí)）第6章實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)以 2

為例初步認(rèn)識無限不循環(huán)小數(shù)；學(xué)習(xí)使用“夾逼法”來逐步估算正有理數(shù)的算術(shù)平方根，初步鍛煉數(shù)學(xué)的估算能力；學(xué)習(xí)使用計(jì)算器求正有理數(shù)的算術(shù)平方根.請按下暫停鍵，仔細(xì)看一看探究1能否用兩個(gè)面積為1

dm2的小正方形拼成一個(gè)面積為2

dm2的大正方形？請按下暫停鍵，仔細(xì)想一想面積探究1能否用兩個(gè)面積為1

dm2

的小正方形拼成一個(gè)面積為2 dm2

的大正方形？1

dm21

dm22

dm2棱長棱長2

面積1

dm1

dm2

dm11211這三個(gè)正方形的棱長分別是多少？探究2：

2

有多大呢？

1.9881，請按下暫停鍵，仔細(xì)想一想思考：）2

=

2？因?yàn)樘?太大12

1，2

2=4所以1

2

2因?yàn)?.52

2.25，1.4

2

1.96，所以1.4

2

1.5因?yàn)?.452

2.1025，

1.422

2.0164，1.412所以1.41

2

1.42所以因?yàn)樗蕴骄?：

2

有多大呢？1.41

2

1.421.4152

2.002225，

1.41421.414

2

1.415夾逼法被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大太小

1.999396太大探究2：

2

有多大呢？發(fā)現(xiàn)：2小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù)探究3：

2

是一個(gè)有理數(shù)嗎？有理數(shù)1分?jǐn)?shù)

0.250.

63

2

99

0.

2525

1

1.0

6

6.0整數(shù)0

0.0有理數(shù)寫成小數(shù)形式，均為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)它不是有理數(shù)！請按下暫停鍵，仔細(xì)想一想它是無限不循環(huán)小數(shù)！通過以上探究得到的知識2

是真實(shí)存在的2 不是一個(gè)有理數(shù)2 是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)3，5，

7

，

，

通過以上探究學(xué)會(huì)的方法學(xué)習(xí)利用“夾逼法”對正有理數(shù)的算術(shù)平方根進(jìn)行估值解：(1)因?yàn)樗?2

9, 42

163< 10

4所以與

10最接近的兩個(gè)整數(shù)是3和4思路：利用“夾逼法”估值請按下暫停鍵，仔細(xì)想一想習(xí)題鞏固例題1(1)估計(jì)與 10

最接近的兩個(gè)整數(shù)是多少？太小 太大解：(2)因?yàn)槎?

10

43.52

12.2510

3.5所以 最接近 10

的整數(shù)是3習(xí)題鞏固例題1(2)估計(jì)與 10

最接近的一個(gè)整數(shù)是多少？分析：對 10

做更精確的估值2(1) 65 和

8 (2) 5

1

和0.5解：(1)因?yàn)樗约?2

64, 92

818

65

965

8分析：利用“夾逼法”估值分析：先對

65 估值例題2

比較下列各組數(shù)的大小請按下暫停鍵，仔細(xì)想一想(1) 65 和

82(2) 5

1和

0.5所以所以解：(1)因?yàn)?82

64, 92

818

65

965

8法二：平方法因?yàn)槎? 65)2

65, 82

6465

6465

8例題2

比較下列各組數(shù)的大小(2) 和

0.525

1解：(2)因?yàn)樗运运约?2

4, 32

92

5

31

5

1

220.5

5

1

125

1

0.5思考：先對 5

估值例題2

比較下列各組數(shù)的大小5估值5

15

12例題3

小麗想用一塊面積為400

cm2

的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300

cm2

的長方形紙片，使它的長寬之比為3:2.

她不知能否裁得出來，正在發(fā)愁。小明見了說:“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片.”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請按下暫停鍵，仔細(xì)想一想