數(shù)學(xué)-專項(xiàng)25 直角三角形中由動點(diǎn)引起的分類討論問題（原版）

專題25直角三角形中由動點(diǎn)引起的分類討論問題【模型展示】特點(diǎn)解直角三角形的動點(diǎn)問題，一般分三步走第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．結(jié)論直角三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用【題型演練】一、單選題1．如圖，M，A，N是直線l上的三點(diǎn)，，P是直線l外一點(diǎn)，且，若動點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，向點(diǎn)N移動，移動到點(diǎn)N停止，在形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（

）A．直角三角形--等邊三角形--直角三角形--等腰三角形B．直角三角形--等腰三角形--直角三角形--等邊三角形C．等腰三角形--直角三角形--直角三角形--等腰三角形D．等腰三角形--直角三角形--等邊三角形--直角三角形二、填空題2．如圖，中，，，cm，為的中點(diǎn)，若動點(diǎn)以1cm/s的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿著的方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒（），連接，當(dāng)是直角三角形時，的值為_____________．

3．如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是上一動點(diǎn)，將沿折疊到，連接，當(dāng)是直角三角形時，的長為___________．4．已知：如圖，正方形中，，，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊，上的動點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段，的端點(diǎn)重合）．且，連接，，．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動的過程中，有下列四個說法：①是等腰直角三角形；②面積的最小值是；③至少存在一個，使得的周長是；④四邊形的面積是1．其中正確結(jié)論的序號有_______________．

5．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上一動點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交邊BC于點(diǎn)F，若△CB′F為直角三角形，則CB′的長為______．6．如圖，已知∠B＝45°，AB＝2cm，點(diǎn)P為∠ABC的邊BC上一動點(diǎn)，則當(dāng)BP2＝________cm時，△BAP為直角三角形．7．如圖，長方形中，，．為邊上的一個動點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)落在處．題：當(dāng)時，的長為___________．題：當(dāng)為直角三角形時的長為____________．8．如圖，△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，若點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)，連接BF，則BF的最小值是_____．9．如圖，等邊的邊長是，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，當(dāng)是直角三角形時，則線段的長度為______．

10．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關(guān)系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點(diǎn)M是DE上一個動點(diǎn)，則線段CM長的最小值為_________．三、解答題11．已知：如圖，在中，，，，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為秒．(1)求邊的長；(2)當(dāng)為直角三角形時，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時，求t的值．12．如圖，在矩形中，設(shè)，，且．(1)若為方程的兩根，且，求的值．

(2)在（1）的條件下，為上一點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），在什么位置時，為直角三角形？(3)為上一動點(diǎn)（異于兩點(diǎn)），當(dāng)滿足什么條件時，使為直角三角形的點(diǎn)有且只有一個？請直接寫出滿足的數(shù)量關(guān)系．13．如圖，是邊長是的等邊三角形，動點(diǎn)，同時從，兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿，方向勻速移動，其中點(diǎn)運(yùn)動的速度是，點(diǎn)運(yùn)動的速度是，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，、兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，解答下列問題：(1)當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，與的位置關(guān)系如何？請說明理由.(2)在點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動過程中，是否能成為等邊三角形？若能，請求出，若不能，請說明理由.(3)則當(dāng)為何值時，是直角三角形？14．已知△ABC是等邊三角形，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AD上的動點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)得到BF，連接EF、CF、AF．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時，猜想∠AFC和∠FAC的數(shù)量關(guān)系；（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長線上時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論，若不成立，請寫出你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論；(3)點(diǎn)E在直線AD上運(yùn)動，當(dāng)△ACF是等腰直角三角形時，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．15．如圖，在三角形ABC中，AB＝3，BC＝3，AC＝6，點(diǎn)D是AC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，交AB于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)四邊形ADFE為菱形時，則∠AED＝_____．（2）當(dāng)△DEF為直角三角形時，則CD＝_____．16．如圖，矩形OABC頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，3)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為(12，0)，動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸的正方向勻速運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動，P、Q兩點(diǎn)同時運(yùn)動，相遇時停止．在運(yùn)動過程中，以PQ為斜邊在x軸上方作等腰直角三角形PQR，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，△PQR和矩形OABC重疊部分的面積為S．(1)當(dāng)t=___________時，△PQR的邊QR經(jīng)過點(diǎn)B(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．17．如圖，在中，，，P是BC邊上一動點(diǎn)，，過A點(diǎn)作射線，交射線PN于點(diǎn)D．(1)求AC的長；(2)求證：；(3)連接CD，若為直角三角形，求BP的長．18．矩形的邊在x軸上，點(diǎn)C、D在第一象限，且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

，如圖（1）．(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）；(2)過點(diǎn)A的直線與矩形的一條邊交于點(diǎn)E，如果直線把矩形分成兩部分圖形的面積比為，求直線的解析式；(3)P是線段上動點(diǎn)，，連接，以為直角邊在的逆時針方向作等腰直角三角形，且，，如圖（2）．①求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；②連接，當(dāng)線段的長度最短時，求m的值；19．問題的提出：如果點(diǎn)P是銳角內(nèi)一動點(diǎn)，如何確定一個位置，使點(diǎn)P到的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小？(1)問題的轉(zhuǎn)化：如圖，把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了，請你利用圖1畫出上述操作的最終圖象的示意圖，并證明：；(2)問題的解決：當(dāng)點(diǎn)P到銳角的三頂點(diǎn)的距離之和PA+PB+PC的值為最小時，則∠APB的度數(shù)是___________，∠APC的度數(shù)是___________；(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30°的直角三角形，如果斜邊為2，點(diǎn)P是這個三角形內(nèi)一動點(diǎn)，請你利用以上方法，求點(diǎn)P到這個三角形各頂點(diǎn)的距離之和的最小值．

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M，N分別是直線，在第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，且，連接MN．(1)直接寫出m的值，點(diǎn)B的坐標(biāo)，及的度數(shù)；(2)求的值；(3)當(dāng)是直角三角形時，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，，，且a，b滿足．(1)證明為等邊三角形；(2)現(xiàn)有一動點(diǎn)P從點(diǎn)A沿y軸負(fù)方向運(yùn)動，速度為1個單位長度每秒，連接，在的下方作等邊三角形過點(diǎn)Q作軸，垂足為D，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，的長度為d，求d與t之間的關(guān)系式；（用含t的式子表示d）

(3)在（2）問的條件下，已知，當(dāng)為等腰直角三角形時，求t的值，并求出此時直線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)．22．如圖1，在矩形中，，，E是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)D恰好落在邊上點(diǎn)F處，延長交的延長線于點(diǎn)G．(1)求線段的長；(2)如圖2，M，N分別是線段上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點(diǎn)N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．23．如圖，矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿軸的正方向勻速運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿軸的負(fù)方向勻速運(yùn)動．、兩點(diǎn)同時運(yùn)動，相遇時停止．在運(yùn)動過程中，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，設(shè)運(yùn)動時間為秒，和矩形重疊部分的面積為．(1)當(dāng)______時，的邊經(jīng)過點(diǎn)；(2)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的斜邊AB在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，∠ACB＝90°，點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣9，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+12，點(diǎn)D是線段BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），過點(diǎn)D作直線DE⊥OB，垂足為E．

(1)求點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線AC的解析式；(3)若點(diǎn)N在射線DE上，是否存在點(diǎn)N使BCN是等腰直角三角形？若