新教材2023版高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應用1.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)課件湘教版選擇性必修第二冊

1．3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習要點一函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負之間的關(guān)系定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x)：f′(x)的正負f(x)的單調(diào)性f′(x)>0?單調(diào)遞____f′(x)<0?單調(diào)遞____批注?

f′(x)>0，即函數(shù)f(x)圖象的切線斜率為正，則切線的傾斜角為銳角，曲線呈上升趨勢．批注?

f′(x)<0，即函數(shù)f(x)圖象的切線斜率為負，則切線的傾斜角為鈍角，曲線呈下降趨勢．增減要點二函數(shù)圖象的變化趨勢與導數(shù)的絕對值的大小的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上：導數(shù)的絕對值函數(shù)值變化函數(shù)的圖象越大____比較“________”(向上或向下)越小____比較“________”(向上或向下)快陡峭慢平緩基

礎(chǔ)

自

測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞減．(

)(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f′(x)>0.(

)(3)函數(shù)在某個區(qū)間上變化越快，函數(shù)在這個區(qū)間上的導數(shù)的絕對值越大．(

)×

×

√2．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則(

)A．f′(3)>0B．f′(3)<0C．f′(3)＝0D．f′(3)的符號不確定答案：B解析：由圖象可知，函數(shù)f(x)在(1，5)上單調(diào)遞減，則在(1，5)上有f′(x)<0，所以f′(3)<0.3．函數(shù)f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是(

)A．增函數(shù)

B．減函數(shù)C．先增后減D．不確定答案：A解析：∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)．

答案：(－∞，0)，(0，＋∞)

題型探究·課堂解透題型1單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系例1設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，其圖象如圖所示，則導函數(shù)f′(x)的圖象可能是(

)答案：B解析：由函數(shù)f(x)的圖象，知當x<0時，f(x)是單調(diào)遞減的，所以f′(x)<0；當x>0時，f(x)先減，后增，最后減，所以f′(x)先負后正，最后為負．方法歸納研究函數(shù)與導函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法研究一個函數(shù)的圖象與其導函數(shù)圖象之間的關(guān)系時，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對于原函數(shù)，要注意其圖象在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對于導函數(shù)，則應注意其函數(shù)值在哪個區(qū)間內(nèi)大于零，在哪個區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致．鞏固訓練1

偶函數(shù)f′(x)為f(x)的導函數(shù)，f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能為(

)答案：B

x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減f(1)單調(diào)遞增方法歸納求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟鞏固訓練2

函數(shù)f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為________________．

題型3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍例3

(1)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是________；

解析：(2)對函數(shù)f(x)求導得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)].令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1.因為函數(shù)在區(qū)間(1，4)內(nèi)為減函數(shù)，所以當x∈(1，4)時，f′(x)≤0.又函數(shù)在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數(shù)，所以當x∈(6，＋∞)時，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7.即實數(shù)a的取值范圍為[5，7].方法歸納利用導數(shù)求參數(shù)取值范圍的兩個策略鞏固訓練3

已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．解析：由已知得f′(x)＝3x2－a，因為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤