新教材2023版高中數(shù)學第1章數(shù)列1.3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)學生用書湘教版選擇性必修第一冊

1．3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)最新課程標準(1)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．(2)通過指數(shù)函數(shù)理解等比數(shù)列的性質．新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1時點(n，an)均在函數(shù)y＝a1qx－1的圖象上．設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝a1qn－1＝a1q·qn，其形式類似于指數(shù)型函數(shù)，所以{an}的單調性由a1和q共同決定具體情況如下：單調性公比q首項aq>10<q<1q＝1q<0a1>0________________常數(shù)數(shù)列擺動數(shù)列a1<0________________要點二等比數(shù)列的常用性質?1．在等比數(shù)列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，則________．(1)特別地，當m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)時，aman＝ak(2)對有窮等比數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….2．若{an}，{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列，那么{λan}(λ≠0)，{1an}批注?一般地，q>0時，等比數(shù)列各項的符號相同；q<0時，等比數(shù)列各項的符號正負交替．批注?熟練運用性質解題，往往能起到事半功倍的效果．基礎自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)當q>1時，{an}為遞增數(shù)列．()(2)當q＝1時，{an}為常數(shù)列．()(3)若{an}，{bn}都是等比數(shù)列，則{an＋bn}是等比數(shù)列．()(4)若{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．()2．等比數(shù)列{an}的公比q＝－14，a1＝2，則數(shù)列{an}是(A.遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C.常數(shù)列D．擺動數(shù)列3．設{an}是等比數(shù)列，下列說法一定正確的是()A.a1，a3，a9成等比數(shù)列B.a2，a3，a6成等比數(shù)列C.a2，a4，a8成等比數(shù)列D.a3，a6，a9成等比數(shù)列4．對于無窮常數(shù)列7，7，…，7…，下列說法正確的是()A.該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列B.該數(shù)列是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列C.該數(shù)列是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列D.該數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列5．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a5＝3，則a1a9＝________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1等比數(shù)列的性質應用例1(1)[2022·福建寧德高二期中]已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2＝3，a7a8＝27，則a4a5＝()A．7B．8C．9D．10(2)(多選)已知等比數(shù)列{an}中，滿足a1＝1，公比q＝－2，則()A．數(shù)列{2an＋an＋1}是等比數(shù)列B．數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列C．數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列D．數(shù)列{log2|an|}是等比數(shù)列方法歸納有關等比數(shù)列的計算問題，基本方法是運用方程思想列出基本量a1和q的方程組，先解出a1和q，然后利用通項公式求解．但有時運算稍繁，而利用等比數(shù)列的性質解題，卻簡便快捷，為了發(fā)現(xiàn)性質，要充分發(fā)揮項“下標”的指導作用．鞏固訓練1(1)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a3＝9，則log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝()A．52B．C．10D．15(2)若數(shù)列{an}是公比為2的正項等比數(shù)列，則{a2n-1·a2n}是A．公比為22的等比數(shù)列B．公比為2的等比數(shù)列C．公差為22的等差數(shù)列D．公差為2的等差數(shù)列題型2等比數(shù)列的單調性及其應用例2(1)在等比數(shù)列{an}中，如果公比為q，且q<1，那么等比數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．無法確定單調性(2)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項之積為Tn，且a2＝27，a3·a6·a9＝127，則當Tn最大時，n的值為(A．5或6B．6C．5D．4或5方法歸納借助指數(shù)函數(shù)的單調性，輕而易舉地解決數(shù)列最大項的問題．在解決等比數(shù)列的有關問題時，應注意結合指數(shù)函數(shù)的有關性質．鞏固訓練2(1)設{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“0<q<1”是“{an}為遞減數(shù)列”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(2)在等比數(shù)列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，則數(shù)列{an}為()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．無法確定單調性題型3等比數(shù)列的判斷與證明例3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝13(an－1)(n∈N＋(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．方法歸納判斷數(shù)列是等比數(shù)列的3種常用方法鞏固訓練3已知數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}滿足bn＝3an(n∈N＋)，試判斷：{an1．3.2等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)新知初探·課前預習[教材要點]要點一遞增數(shù)列遞減數(shù)列遞減數(shù)列遞增數(shù)列要點二1．a(chǎn)kal＝aman[基礎自測]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：∵q<0，a1>0，∴所有奇數(shù)項為正、偶數(shù)項為負，故成擺動數(shù)列．答案：D3．解析：根據(jù)題意，{an}是等比數(shù)列，依次分析選項：A．1＋9≠2×3，則(a3)2≠a1×a9，則a1，a3，a9不成等比數(shù)列，A錯誤；B．2＋6≠2×3，則(a3)2≠a2×a6，則a2，a3，a6不成等比數(shù)列，B錯誤；C．2＋8≠2×4，則(a4)2≠a2×a8，則a2，a4，a8不成等比數(shù)列，C錯誤；D．3＋9＝2×6，則(a6)2＝a3×a9，則a2，a3，a6成等比數(shù)列，D正確．答案：D4．解析：由題意可知，對于無窮常數(shù)列7，7，…，7…是以7為首項，0為公差的等差數(shù)列；同時也是以7為首項，1為公比的等比數(shù)列．答案：D5．解析：由題意a1a9＝a52答案：9題型探究·課堂解透例1解析：(1)由a1a7＝a42，a2a8＝a52，有a42a52＝a1a7(2)對于A，因為{an}是等比數(shù)列，所以an＋1＝－2an，2an＋an＋1＝0，錯誤；對于B，an＝a1·qn－1＝(－1)n－1·2n－1，an＋1＝(－1)n·2n，于是an＋1－an＝(－1)n·2n－(－1)n－1·2n－1＝(－1)n·3·2n－1，符合函數(shù)y＝cqx的形式，可以用定義進一步驗證，故{an＋1－an}是等比數(shù)列，正確；對于C，anan＋1＝(－1)n－1·2n－1·(－1)n·2n＝-22n-1＝(－2)－1·(－2)2n＝－12·4n，符合函數(shù)y＝cqx的形式，可以用定義進一步驗證數(shù)列{anan＋1}是等比數(shù)列，正確；對于D，log2|an|＝log22n－1答案：(1)C(2)BC鞏固訓練1解析：(1)因為等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a3＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝log?log3(a35)＝log3(95)(2)數(shù)列{an}是公比為2的正項等比數(shù)列，則anan-1＝2(n≥2)，設bn＝a2n-1·a2n，則bnbn-1＝a2n-1·a2na2n-3·a答案：(1)C(2)A例2解析：(1)如等比數(shù)列{(－1)n}的公比為－1，是擺動數(shù)列，不具有單調性；等比數(shù)列12n的公比為12，是遞減數(shù)列；等比數(shù)列-(2)設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，因為a3·a6·a9＝127，a3·a9＝(a6)2，所以a6＝13，又a2＝27，q4＝a6a2＝181，故q＝13，所以a1＝81，Tn＝a1nqnn-1答案：(1)D(2)D鞏固訓練2解析：(1)當?shù)缺葦?shù)列{an}的首項a1<0而公比0<q<1時，{an}是遞增數(shù)列；當{an}為遞減數(shù)列，也可能是a1<0，公比q>1.故{an}為等比數(shù)列，q為公比，則“0<q<1”是“{an}為遞減數(shù)列”的既不充分也不必要條件．(2)由8a2－a5＝0，可知a5a2＝q3＝8，解得又a1>0，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．答案：(1)D(2)A例3解析：(1)當n＝1時，S1＝13(a1－1)＝a1，解得：a1＝－1當n＝2時，S2＝13(a2－1)＝a1＋a2，解得a2＝1(2)證明：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝13(an－1)－13(an－1－得a