誤差理論與數(shù)據(jù)處理課件

第1章緒論門(mén)捷列夫(1834-1907)

科學(xué)始於測(cè)量,沒(méi)有測(cè)量，便沒(méi)有精密的科學(xué)。門(mén)捷列夫第一節(jié)研究誤差的意義我常說(shuō)的一句話是：當(dāng)你能夠測(cè)量你所關(guān)注的事物，而且能夠用數(shù)量來(lái)描述他的時(shí)候，你就對(duì)其有所認(rèn)識(shí)；當(dāng)你不能測(cè)量他，也不能將其量化的時(shí)候，你對(duì)他的瞭解就是貧乏和不深入的。開(kāi)爾文為了紀(jì)念他在科學(xué)上的功績(jī)，國(guó)際計(jì)量大會(huì)把熱力學(xué)溫標(biāo)（即絕對(duì)溫標(biāo)）稱為開(kāi)爾文（開(kāi)氏）溫標(biāo)，熱力學(xué)溫度以開(kāi)爾文為單位，是現(xiàn)在國(guó)際單位制中七個(gè)基本單位之一。開(kāi)爾文（1824-1907）第一節(jié)研究誤差的意義錢(qián)學(xué)森資訊技術(shù)包括測(cè)量技術(shù)、電腦技術(shù)和通信技術(shù)，測(cè)量技術(shù)是資訊技術(shù)的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。錢(qián)學(xué)森(1911-)第一節(jié)研究誤差的意義王大珩等儀器儀錶是工業(yè)生產(chǎn)的“倍增器”，是高新技術(shù)和科研的“催化劑”，在軍事上體現(xiàn)的是“戰(zhàn)鬥力”。王大珩(1915-)第一節(jié)研究誤差的意義第一節(jié)研究誤差的意義正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因從根本上，消除或減小誤差正確處理測(cè)量和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果通過(guò)計(jì)算得到更接近真值的數(shù)據(jù)正確組織實(shí)驗(yàn)過(guò)程，合理設(shè)計(jì)、選用儀器或測(cè)量方法根據(jù)目標(biāo)確定最佳系統(tǒng)第二節(jié)誤差的基本概念這一節(jié)將介紹測(cè)量誤差的基本概念，如測(cè)量誤差的定義、分類、誤差的來(lái)源等。通過(guò)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以讓讀者對(duì)測(cè)量誤差有個(gè)全面的瞭解。

誤差（Error）：誤差測(cè)得值真值＝－真值（TrueValue）：觀測(cè)一個(gè)量時(shí)，該量本身所具有的真實(shí)大小。分類：理論值約定真值三角形內(nèi)角之和恒為180o一個(gè)整圓周角為360o一、誤差的定義及表示法國(guó)際千克基準(zhǔn)1Kg約定真值(ConventionalTrueValue）指定值、最佳估計(jì)值、約定值或參考值

是指對(duì)於給定用途具有適當(dāng)不確定度的、賦予特定量的值。這個(gè)術(shù)語(yǔ)在計(jì)量學(xué)中常用。由國(guó)家建立的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)（或基準(zhǔn)）所指定的千克副原器品質(zhì)的約定真值為1kg，其複現(xiàn)的不確定度為0.008mg。當(dāng)今保存在國(guó)際計(jì)量局的鉑銥合金千克原器的最小不確定度為0.004mg誤差是針對(duì)真值而言的，真值一般都是指約定真值。

亦稱一、誤差的定義及表示法誤差絕對(duì)誤差相對(duì)誤差粗大誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差表示形式性質(zhì)特點(diǎn)一、誤差的定義及表示法絕對(duì)誤差（AbsoluteError）

測(cè)得值

被測(cè)量的真值，常用約定真值代替

絕對(duì)誤差

特點(diǎn)：1)絕對(duì)誤差是一個(gè)具有確定的大小、符號(hào)及單位的量。2)給出了被測(cè)量的量綱，其單位與測(cè)得值相同。

一、誤差的定義及表示法

L＝L－L0絕對(duì)誤差測(cè)得值真值＝－修正值(Correction)

:為了消除固定的系統(tǒng)誤差用代數(shù)法而加到測(cè)量結(jié)果上的值。

一、誤差的定義及表示法修正值真值測(cè)得值

－特點(diǎn)：1)與誤差大小近似相等，但方向相反。2)修正值本身還有誤差。

誤差－【例1-1】用某電壓表測(cè)量電壓，電壓表的示值為226V，查該表的檢定證書(shū)，得知該電壓表在220V附近的誤差為5V

，被測(cè)電壓的修正值為－5V

，則修正後的測(cè)量結(jié)果為226+(－5V

)=221V。

測(cè)得值真值絕對(duì)誤差一、誤差的定義及表示法定義

被測(cè)量的真值，常用約定真值代替，也可以近似用測(cè)量值L

來(lái)代替

L0相對(duì)誤差

特點(diǎn)：1）相對(duì)誤差有大小和符號(hào)。2）無(wú)量綱，一般用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示。絕對(duì)誤差相對(duì)誤差（RelativeError）：

絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值之比

相對(duì)誤差一、誤差的定義及表示法絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的比較用1μm測(cè)長(zhǎng)儀測(cè)量0.01m長(zhǎng)的工件，其絕對(duì)誤差=0.0006m，但用來(lái)測(cè)量1m長(zhǎng)的工件，其絕對(duì)誤差為0.0105m。前者的相對(duì)誤差為

後者的相對(duì)誤差為用絕對(duì)誤差不便於比較不同量值、不同單位、不同物理量等的準(zhǔn)確度。

一、誤差的定義及表示法引用誤差（FiducialErrorofaMeasuringInstrument）

定義

該標(biāo)稱範(fàn)圍（或量程）上限

引用誤差

儀器某標(biāo)稱範(fàn)圍（或量程）內(nèi)的最大絕對(duì)誤差

引用誤差是一種相對(duì)誤差，而且該相對(duì)誤差是引用了特定值，即標(biāo)稱範(fàn)圍上限（或量程）得到的，故該誤差又稱為引用相對(duì)誤差、滿度誤差。

一、誤差的定義及表示法我國(guó)電工儀錶、壓力錶的準(zhǔn)確度等級(jí)（AccuracyClass）就是按照引用誤差進(jìn)行分級(jí)的。

當(dāng)一個(gè)儀錶的等級(jí)s選定後，用此表測(cè)量某一被測(cè)量時(shí)，所產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差為

最大相對(duì)誤差為絕對(duì)誤差的最大值與該儀錶的標(biāo)稱範(fàn)圍（或量程）上限xm成正比選定儀錶後，被測(cè)量的值越接近於標(biāo)稱範(fàn)圍（或量程）上限，測(cè)量的相對(duì)誤差越小，測(cè)量越準(zhǔn)確

（公式2）（公式1）電工儀錶、壓力錶的準(zhǔn)確度等級(jí)一、誤差的定義及表示法【例1-3

】檢定一只2.5級(jí)、量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)在50V處誤差最大，其值為2V，而其他刻度處的誤差均小於2V，問(wèn)這只電壓表是否合格？

由公式2，該電壓表的引用誤差為

由於所以該電壓表合格?！窘狻恳?、誤差的定義及表示法【例1-4

】

某1.0級(jí)電流錶，滿度值（標(biāo)稱範(fàn)圍上限）為100，求測(cè)量值分別為100，80和20時(shí)的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。根據(jù)題意得

由公式1可知，最大絕對(duì)誤差為

他們的相對(duì)誤差分別為

可見(jiàn)，在同一標(biāo)稱範(fàn)圍內(nèi)，測(cè)量值越小，其相對(duì)誤差越大。

【解】一、誤差的定義及表示法

為了減小測(cè)量誤差，提高測(cè)量準(zhǔn)確度，就必須瞭解誤差來(lái)源。而誤差來(lái)源是多方面的，在測(cè)量過(guò)程中，幾乎所有因素都將引入測(cè)量誤差。主要來(lái)源

測(cè)量裝置誤差

測(cè)量環(huán)境誤差

測(cè)量方法誤差

測(cè)量人員誤差

二、誤差的來(lái)源測(cè)量裝置誤差標(biāo)準(zhǔn)器件誤差儀器誤差附件誤差以固定形式複現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量值的器具，如標(biāo)準(zhǔn)電阻、標(biāo)準(zhǔn)量塊、標(biāo)準(zhǔn)砝碼等等，他們本身體現(xiàn)的量值，不可避免地存在誤差。一般要求標(biāo)準(zhǔn)器件的誤差占總誤差的1/3～1/10。

測(cè)量裝置在製造過(guò)程中由於設(shè)計(jì)、製造、裝配、檢定等的不完善，以及在使用過(guò)程中，由於元器件的老化、機(jī)械部件磨損和疲勞等因素而使設(shè)備所產(chǎn)生的誤差。

測(cè)量?jī)x器所帶附件和附屬工具所帶來(lái)的誤差。

設(shè)計(jì)測(cè)量裝置時(shí)，由於採(cǎi)用近似原理所帶來(lái)的工作原理誤差

組成設(shè)備的主要零部件的製造誤差與設(shè)備的裝配誤差

設(shè)備出廠時(shí)校準(zhǔn)與定度所帶來(lái)的誤差

讀數(shù)分辨力有限而造成的讀數(shù)誤差

數(shù)字式儀器所特有的量化誤差

元器件老化、磨損、疲勞所造成的誤差

二、誤差的來(lái)源測(cè)量環(huán)境誤差指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對(duì)於電子測(cè)量，環(huán)境誤差主要來(lái)源於環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等鐳射光波比長(zhǎng)測(cè)量中，空氣的溫度、濕度、塵埃、大氣壓力等會(huì)影響到空氣折射率，因而影響鐳射波長(zhǎng)，產(chǎn)生測(cè)量誤差。高精度的準(zhǔn)直測(cè)量中，氣流、振動(dòng)也有一定的影響

二、誤差的來(lái)源測(cè)量方法誤差指使用的測(cè)量方法不完善，或採(cǎi)用近似的計(jì)算公式等原因所引起的誤差，又稱為理論誤差

如用均值電壓表測(cè)量交流電壓時(shí)，其讀數(shù)是按照正弦波的有效值進(jìn)行刻度，由於計(jì)算公式中出現(xiàn)無(wú)理數(shù)和，故取近似公式，由此產(chǎn)生的誤差即為理論誤差。二、誤差的來(lái)源測(cè)量人員誤差測(cè)量人員的工作責(zé)任心、技術(shù)熟練程度、生理感官與心理因素、測(cè)量習(xí)慣等的不同而引起的誤差。

為了減小測(cè)量人員誤差，就要求測(cè)量人員要認(rèn)真瞭解測(cè)量?jī)x器的特性和測(cè)量原理，熟練掌握測(cè)量規(guī)程，精心進(jìn)行測(cè)量操作，並正確處理測(cè)量結(jié)果。

二、誤差的來(lái)源三、誤差分類系統(tǒng)誤差（SystematicError）

在重複性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量的真值之差。

定義特徵

在相同條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，該誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差。

用天平計(jì)量物體品質(zhì)時(shí)，砝碼的品質(zhì)偏差用千分錶讀數(shù)時(shí)，錶盤(pán)安裝偏心引起的示值誤差刻線尺的溫度變化引起的示值誤差系統(tǒng)誤差舉例在實(shí)際估計(jì)測(cè)量器具示值的系統(tǒng)誤差時(shí)，常常用適當(dāng)次數(shù)的重複測(cè)量的算術(shù)平均值減去約定真值來(lái)表示，又稱其為測(cè)量器具的偏移或偏畸（Bias）。

由於系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性，因此可以根據(jù)其產(chǎn)生原因，採(cǎi)取一定的技術(shù)措施，設(shè)法消除或減小；也可以在相同條件下對(duì)已知約定真值的標(biāo)準(zhǔn)器具進(jìn)行多次重複測(cè)量的辦法，或者通過(guò)多次變化條件下的重複測(cè)量的辦法，設(shè)法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)律後，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。三、誤差分類三、誤差分類按對(duì)誤差掌握程度，系統(tǒng)誤差可分為

誤差絕對(duì)值和符號(hào)已經(jīng)明確的系統(tǒng)誤差。

已定系統(tǒng)誤差：舉例：

直尺的刻度值誤差

誤差絕對(duì)值和符號(hào)未能確定的系統(tǒng)誤差，但通常估計(jì)出誤差範(fàn)圍。

未定系統(tǒng)誤差：三、誤差分類按誤差出現(xiàn)規(guī)律，系統(tǒng)誤差可分為

誤差絕對(duì)值和符號(hào)固定不變的系統(tǒng)誤差。

不變系統(tǒng)誤差：舉例：

砝碼品質(zhì)、熱膨脹誤差

誤差絕對(duì)值和符號(hào)變化的系統(tǒng)誤差。按其變化規(guī)律，可分為線性系統(tǒng)誤差、週期性系統(tǒng)誤差和複雜規(guī)律系統(tǒng)誤差。

變化系統(tǒng)誤差：隨機(jī)誤差（RandomError）

測(cè)得值與在重複性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。又稱為偶然誤差。定義特徵

在相同測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差。產(chǎn)生原因?qū)嶒?yàn)條件的偶然性微小變化，如溫度波動(dòng)、雜訊干擾、電磁場(chǎng)微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動(dòng)等。

三、誤差分類隨機(jī)誤差的大小、方向均隨機(jī)不定，不可預(yù)見(jiàn)，不可修正。

雖然一次測(cè)量的隨機(jī)誤差沒(méi)有規(guī)律，不可預(yù)定，也不能用實(shí)驗(yàn)的方法加以消除。但是，經(jīng)過(guò)大量的重複測(cè)量可以發(fā)現(xiàn)，它是遵循某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。因此，可以用概率統(tǒng)計(jì)的方法處理含有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，對(duì)隨機(jī)誤差的總體大小及分佈做出估計(jì)，並採(cǎi)取適當(dāng)措施減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。具體見(jiàn)第二章。

隨機(jī)誤差的性質(zhì)三、誤差分類粗大誤差（GrossError）

指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱為疏忽誤差、過(guò)失誤差或簡(jiǎn)稱粗差。定義產(chǎn)生原因某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，測(cè)量操作疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯(cuò)讀數(shù)或單位、記錄或計(jì)算錯(cuò)誤等）測(cè)量條件的突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械衝擊和振動(dòng)等）。由於該誤差很大，明顯歪曲了測(cè)量結(jié)果。故應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。三、誤差分類三類誤差的關(guān)係及其對(duì)測(cè)得值的影響

標(biāo)準(zhǔn)差期望值

均值

某次測(cè)得值

奇異值

系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的定義是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不能混淆的。但在測(cè)量實(shí)踐中，由於誤差劃分的人為性和條件性，使得他們並不是一成不變的，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。也就是說(shuō)一個(gè)具體誤差究竟屬於哪一類，應(yīng)根據(jù)所考察的實(shí)際問(wèn)題和具體條件，經(jīng)分析和實(shí)驗(yàn)後確定。三、誤差分類如一塊電錶，它的刻度誤差在製造時(shí)可能是隨機(jī)的，但用此電錶來(lái)校準(zhǔn)一批其他電錶時(shí)，該電錶的刻度誤差就會(huì)造成被校準(zhǔn)的這一批電錶的系統(tǒng)誤差。又如，由於電錶刻度不準(zhǔn)，用它來(lái)測(cè)量某電源的電壓時(shí)必帶來(lái)系統(tǒng)誤差，但如果採(cǎi)用很多塊電錶測(cè)此電壓，由於每一塊電錶的刻度誤差有大有小，有正有負(fù)，就使得這些測(cè)量誤差具有隨機(jī)性。誤差性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化三、誤差分類第三節(jié)精度這一節(jié)將介紹測(cè)量誤差的評(píng)定參數(shù)及與誤差的關(guān)係。

第三節(jié)精度它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響。準(zhǔn)確度（Correctness）它反映測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度。精密度（Precision）精確度（Accuracy）

它反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影星程度，簡(jiǎn)稱精度。精確度（精度）在數(shù)值上一般多用相對(duì)誤差來(lái)表示，但不用百分?jǐn)?shù)。如某一測(cè)量結(jié)果的相對(duì)誤差為0.001%，則其精度為10-5。

準(zhǔn)確度、正確度和精密度三者之間的關(guān)係彈著點(diǎn)全部在靶上，但分散。相當(dāng)於系統(tǒng)誤差小而隨機(jī)誤差大，即精密度低，正確度高。彈著點(diǎn)集中，但偏向一方，命中率不高。相當(dāng)於系統(tǒng)誤差大而隨機(jī)誤差小，即精密度高，正確度低。彈著點(diǎn)集中靶心。相當(dāng)於系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差均小，即精密度、正確度都高，從而準(zhǔn)確度亦高。第三節(jié)精度

指在相同條件下在短時(shí)間內(nèi)對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行多次測(cè)量所得測(cè)量結(jié)果之間的一致程度，一般用測(cè)量結(jié)果的分散性來(lái)定量表示。

重複性（Repeatability）指在變化條件下，對(duì)同一個(gè)量進(jìn)行多次測(cè)量所得測(cè)量結(jié)果之間的一致程度，一般用測(cè)量結(jié)果的分散性來(lái)定量表示。複現(xiàn)性也稱為再現(xiàn)性。

複現(xiàn)性（Reproducibility）常用品質(zhì)名詞術(shù)語(yǔ)第三節(jié)精度指測(cè)量?jī)x器保持其計(jì)量特性隨時(shí)間恒定的能力。它可以用幾種方式來(lái)定量表示，如用計(jì)量特性變化某個(gè)規(guī)定的量所經(jīng)過(guò)的時(shí)間；或用計(jì)量特性經(jīng)規(guī)定的時(shí)間所發(fā)生的變化等。

穩(wěn)定性（Stability）指測(cè)量?jī)x器的示值與對(duì)應(yīng)輸入量的真值之差。由於真值不能確定，故在實(shí)際應(yīng)用中常採(cǎi)用約定真值。

示值誤差（ErrorofIndication）常用品質(zhì)名詞術(shù)語(yǔ)第三節(jié)精度指測(cè)量?jī)x器示值的系統(tǒng)誤差。通常用適當(dāng)次數(shù)重複測(cè)量的示值誤差的平均來(lái)估計(jì)。

偏移（Bias）

指對(duì)於給定的測(cè)量?jī)x器，規(guī)範(fàn)、規(guī)程等所允許的誤差極限值。有時(shí)也稱為允許誤差限。

最大允許誤差（MaximumPermissible）常用品質(zhì)名詞術(shù)語(yǔ)第三節(jié)精度第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算這一節(jié)將介紹有效數(shù)字的定義、數(shù)字的射入原則和數(shù)據(jù)的運(yùn)算原則。

第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算一、有效數(shù)字

含有誤差的任何數(shù)，如果其絕對(duì)誤差界是最末尾數(shù)的半個(gè)單位，那麼從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不管是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。

測(cè)量結(jié)果保留位數(shù)的原則1：最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字是可靠的。測(cè)量結(jié)果保留位數(shù)的原則2：在進(jìn)行重要的測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果和測(cè)量誤差可比上述原則再多取一維數(shù)字作為參考。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算二、數(shù)字舍入規(guī)則

計(jì)算和測(cè)量過(guò)程中，對(duì)很多位的近似數(shù)進(jìn)行取捨時(shí)，應(yīng)按照下述原則進(jìn)行湊整：若舍去部分的數(shù)值，大於保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)加1。若舍去部分的數(shù)值，小於保留部分末位的半個(gè)單位，則末位數(shù)減1。若舍去部分的數(shù)值，等於保留部分末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)，即當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)則末位不變，當(dāng)末位是奇數(shù)時(shí)則末位加1。第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算三、數(shù)字運(yùn)算規(guī)則

在近似數(shù)運(yùn)算時(shí)，為了保證最後結(jié)果有盡可能高的精度，所有殘餘運(yùn)算的數(shù)字，在有效數(shù)字後可多保留一維數(shù)字作為參考數(shù)字（或稱為安全數(shù)字）。在近似數(shù)做加減運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其餘各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最後結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。在近似數(shù)乘除運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其餘各數(shù)據(jù)可多取一位有效數(shù)，但最後結(jié)果應(yīng)與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。在近似數(shù)平方或開(kāi)方運(yùn)算時(shí)，近似數(shù)的選取與乘除運(yùn)算相同。在對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)，n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應(yīng)該用n位對(duì)數(shù)表，或用（n+1）位對(duì)數(shù)表，以免損失精度。三角函數(shù)運(yùn)算時(shí)，所取函數(shù)值的位數(shù)應(yīng)隨角度誤差的減小而增多，其對(duì)應(yīng)關(guān)係：第四節(jié)有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算角度誤差10”1”0.1”0.01”函數(shù)值位數(shù)5678第2章

誤差的基本性質(zhì)與處理

本章分別詳細(xì)闡述隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來(lái)源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過(guò)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法並進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。教學(xué)目標(biāo)三大類誤差的特徵、性質(zhì)以及減小各類誤差對(duì)測(cè)量精度影響的措施掌握等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法掌握不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)處理方法重點(diǎn)與難點(diǎn)

當(dāng)對(duì)同一測(cè)量值進(jìn)行多次等精度的重複測(cè)量時(shí)，得到一系列不同的測(cè)量值（常稱為測(cè)量列），每個(gè)測(cè)量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒(méi)有確定的規(guī)律，即前一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)後，不能預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差是由很多暫時(shí)未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：

①測(cè)量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號(hào)處理電路的隨機(jī)雜訊等。溫度、濕度、氣壓的變化，光照強(qiáng)度、電磁場(chǎng)變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。第一?jié)隨機(jī)誤差一、隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因

隨機(jī)誤差的分佈可以是正態(tài)分佈，也有在非正態(tài)分佈，而多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分佈。我們首先來(lái)分析服從正態(tài)分佈的隨機(jī)誤差的特性。設(shè)被測(cè)量值的真值為，一系列測(cè)得值為，則測(cè)量列的隨機(jī)誤差可表示為：(2-1)式中。正態(tài)分佈的分佈密度與分佈函數(shù)為

(2-2)

(2-3)式中：σ——標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）

e——自然對(duì)數(shù)的底，基值為2.7182……。它的數(shù)學(xué)期望為(2-4)它的方差為：(2-5)第一節(jié)隨機(jī)誤差二、正態(tài)分佈其平均誤差為：(2-6)此外由可解得或然誤差為：

(2-7)由式（2-2）可以推導(dǎo)出：

①有,可推知分佈具有對(duì)稱性，即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)相等，這稱為誤差的對(duì)稱性；

②當(dāng)δ=0時(shí)有，即，可推知單峰性，即絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多，這稱為誤差的單峰性；

③雖然函數(shù)的存在區(qū)間是[-∞,+∞]，但實(shí)際上，隨機(jī)誤差δ只是出現(xiàn)在一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，即[-kσ,+kσ],稱為誤差的有界性；

④隨著測(cè)量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨向於零：這稱為誤差的補(bǔ)償性。返回本章目錄從正態(tài)分佈的隨機(jī)誤差都具有的四個(gè)特徵：對(duì)稱性、單峰性、有界性、抵償性。由於多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分佈，因此正態(tài)分佈在誤差理論中佔(zhàn)有十分重要的地位。第一節(jié)隨機(jī)誤差

圖2-1為正態(tài)分佈曲線以及各精度參數(shù)在圖中的座標(biāo)。σ值為曲線上拐點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，θ值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，ρ值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。

第一節(jié)隨機(jī)誤差對(duì)某量進(jìn)行一系列等精度測(cè)量時(shí)，由於存在隨機(jī)誤差，因此其獲得的測(cè)量值不完全相同，此時(shí)應(yīng)以算術(shù)平均值作為最後的測(cè)量結(jié)果。

(一)算術(shù)平均值的意義設(shè)為n次測(cè)量所得的值，則算術(shù)平均值為:

(2-8)

第一節(jié)隨機(jī)誤差三、算術(shù)平均值下麵來(lái)證明當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，算術(shù)平均值必然趨近於真值Lo。即由前面正態(tài)分佈隨機(jī)誤差的第四特徵可知，因此

由此我們可得出結(jié)論：如果能夠?qū)δ骋涣窟M(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量，就可得到不受隨機(jī)誤差影響的測(cè)量值，或其影響很小，可以忽略。這就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)上稱之為最大或然值）被認(rèn)為是最接近於真值的理論依據(jù)。但由於實(shí)際上都是有限次測(cè)量，因此，我們只能把算術(shù)平均值近似地作為被測(cè)量的真值。第一節(jié)隨機(jī)誤差

一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不可能按式（2-1）求得隨機(jī)誤差，這時(shí)可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算。此時(shí)的隨機(jī)誤差稱為殘餘誤差，簡(jiǎn)稱殘差：(2-9)

此時(shí)可用更簡(jiǎn)便演算法來(lái)求算術(shù)平均值。任選一個(gè)接近所有測(cè)得值的數(shù)作為參考值，計(jì)算每個(gè)測(cè)得值與的差值：(2-10)

式中的為簡(jiǎn)單數(shù)值，很容易計(jì)算，因此按（2-10）求算術(shù)平均值比較簡(jiǎn)單。

若測(cè)量次數(shù)有限，由參數(shù)估計(jì)知，算術(shù)平均值是該測(cè)量總體期望的一個(gè)最佳的估計(jì)量，即滿足無(wú)偏性、有效性、一致性，並滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分佈條件下滿足最大似然原理。第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-1

測(cè)量某物理量10次，得到結(jié)果見(jiàn)表2-1，求算術(shù)平均值。

解：任選參考值=1879.65，計(jì)算差值和列於表很容易求得算術(shù)平均值＝1879.64。

（二）算術(shù)平均值的計(jì)算校核算術(shù)平均值及其殘餘誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘餘誤差代數(shù)和來(lái)校核。由，式中的是根據(jù)（2-8）計(jì)算的，當(dāng)求得的為未經(jīng)湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，則有：(2-11)殘餘誤差代數(shù)和為零這一性質(zhì)，可用來(lái)校核算術(shù)平均值及其殘餘誤差計(jì)算的正確性。但當(dāng)實(shí)際得到的為經(jīng)過(guò)湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在

序號(hào)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01

第一節(jié)隨機(jī)誤差舍入誤差Δ，即有：成立。而經(jīng)過(guò)分析證明，用殘餘誤差代數(shù)和校核算術(shù)平均值及其殘差，其規(guī)則為：

①殘差代數(shù)和應(yīng)符合：當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為零；當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為正，其大小為求時(shí)的餘數(shù)；當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為負(fù)，其大小為求時(shí)的虧數(shù)。

②殘差代數(shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。以上兩種校核規(guī)則，可根據(jù)實(shí)際運(yùn)算情況選擇一種進(jìn)行校核，但大多數(shù)情況選用第二種規(guī)則可能較方便，它不需要知道所有測(cè)得值之和。第一節(jié)隨機(jī)誤差

例2-2

用例2-1數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行校核。解：因n為偶數(shù)，A＝0.01，由表2-1知

故計(jì)算結(jié)果正確。例2-3

測(cè)量某直徑11次，得到結(jié)果如表2-2所示，求算術(shù)平均值並進(jìn)行校核。

解：算術(shù)平均值為：

?。?000.067

序號(hào)

(mm)

(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.003

第一節(jié)隨機(jī)誤差用第一種規(guī)則校核，則有：用第二種規(guī)則校核，則有：故用兩種規(guī)則校核皆說(shuō)明計(jì)算結(jié)果正確。第一節(jié)隨機(jī)誤差（一）均方根誤差（標(biāo)準(zhǔn)偏差）σ

為什麼用σ來(lái)作為評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度？可以從高斯（正態(tài)）分佈的分佈密度推知：令，則有：

高斯參數(shù)h為精密度。由於h值無(wú)法以實(shí)驗(yàn)中得到，故以σ值代之。

第一節(jié)隨機(jī)誤差四、測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差

由於σ值反映了測(cè)量值或隨機(jī)誤差的散佈程度，因此σ值可作為隨機(jī)誤差的評(píng)定尺度。σ值愈大，函數(shù)減小得越慢；σ值愈小，減小得愈快，即測(cè)量到的精密度愈高，如圖2-2所示。

標(biāo)準(zhǔn)差σ不是測(cè)量到中任何一個(gè)具體測(cè)量值的隨機(jī)誤差，σ的大小只說(shuō)明，在一定條件下等精度測(cè)量列隨機(jī)誤差的概率分佈情況。在該條件下，任一單次測(cè)得值的隨機(jī)誤差δ，一般都不等於σ，但卻認(rèn)為這一系列測(cè)量列中所有測(cè)得值都屬於同樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差σ的概率分佈。在不同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行兩個(gè)系列的等精度測(cè)量，其標(biāo)準(zhǔn)差也不相同。

第一節(jié)隨機(jī)誤差（二）或然誤差ρ

測(cè)量列的或然誤差ρ，它將整個(gè)測(cè)量列的n個(gè)隨機(jī)誤差分為個(gè)數(shù)相等的兩半。其中一半（n/2個(gè)）隨機(jī)誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ範(fàn)圍內(nèi)，而另一半隨機(jī)誤差的數(shù)值落在-ρ—+ρ範(fàn)圍以外：，查表，得到時(shí)，z=0.6745，故有其實(shí)際意義是：若有n個(gè)隨機(jī)誤差，則有n/2個(gè)落在區(qū)間[-ρ,+ρ]之內(nèi)，而另外n/2個(gè)隨機(jī)誤差則落在此區(qū)間之外。（三）算術(shù)平均誤差θ

測(cè)量列算術(shù)平均誤差θ的定義是：該測(cè)量列全部隨機(jī)誤差絕對(duì)值的算術(shù)平均值，用下式表示：由概率積分可以得到θ與σ的關(guān)係：

目前世界各國(guó)大多趨於採(cǎi)用σ作為評(píng)定隨機(jī)誤差的尺度。這是因?yàn)椋?/p>

①σ的平方恰好是隨機(jī)變數(shù)的數(shù)字特徵之一（方差），σ本身又第一節(jié)隨機(jī)誤差恰好是高斯誤差方程式中的一個(gè)參數(shù)，即，所以採(cǎi)用σ，正好符合概率論原理，又與最小二乘法最切合；

②σ對(duì)大的隨機(jī)誤差很敏感，能更準(zhǔn)確地說(shuō)明測(cè)量列的精度；

③極限誤差與標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)係簡(jiǎn)單：；

④公式推導(dǎo)和計(jì)算比較簡(jiǎn)單。五、標(biāo)準(zhǔn)偏差的幾種計(jì)算方法

（一）等精度測(cè)量到單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算1、貝塞爾(Bessel)公式

(2-13)

式中，稱為算術(shù)平均值誤差將它和代入上式，則有(2-14)

第一節(jié)隨機(jī)誤差將上式對(duì)應(yīng)相加得：，即(2-15)若將式(2-14)平方後再相加得：(2-16)將式(2-15)平方有：當(dāng)n適當(dāng)大時(shí)，可以認(rèn)為趨近於零，並將代入式(2-16)得：(2-17)由於，代入式(2-17)得：，即(2-18)第一節(jié)隨機(jī)誤差2、別捷爾斯法

由貝賽爾公式得：進(jìn)一步得：則平均誤差有：

由式2-6得：故有：

(2-26)

此式稱為別捷爾斯（Peters）公式，它可由殘餘誤差的絕對(duì)值之和求出單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：(2-27)第一節(jié)隨機(jī)誤差

例2-4

用別捷爾斯法求得表2-3的標(biāo)準(zhǔn)差。

解：計(jì)算得到的值分別填於表中，因此有3、極差法用貝賽爾公式和別捷爾斯公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差均需先求算術(shù)平均值，再求殘餘誤差，然後進(jìn)行其他運(yùn)算，計(jì)算過(guò)程比較複雜。當(dāng)要求簡(jiǎn)便迅速序號(hào)1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

第一節(jié)隨機(jī)誤差算出標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用極差法。若等精度多次測(cè)量測(cè)得值服從正態(tài)分佈，在其中選取最大值與最小值，則兩者之差稱為極差：(2-28)

根據(jù)極差的分佈函數(shù)，可求出極差的數(shù)學(xué)期望為(2-29)

因故可得的無(wú)偏估計(jì)值，若仍以表示，則有(2-30)

式中的數(shù)值見(jiàn)表2-4。n2345678910111213141516171819201.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-5仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，用極差法求得標(biāo)準(zhǔn)差。解：4、最大誤差法在某些情況下，我們可以知道被測(cè)量的真值或滿足規(guī)定精度的用來(lái)代替真值使用的量值（稱為實(shí)際值或約定值），因而能夠算出隨機(jī)誤差，取其中絕對(duì)值最大的一個(gè)值，當(dāng)各個(gè)獨(dú)立測(cè)量值服從正態(tài)分佈時(shí)，則可求得關(guān)係式：(2-31)

一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，不能按（2-31）式求標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)按最大殘餘誤差進(jìn)行計(jì)算，其關(guān)係式為：(2-32)

式（2-31）和（2-32）中兩係數(shù)、的倒數(shù)見(jiàn)表2-5。第一節(jié)隨機(jī)誤差最大誤差法簡(jiǎn)單、迅速、方便，且容易掌握，因而有廣泛用途。當(dāng)時(shí)，最大誤差法具有一定精度。例2-6

仍用表2-3的測(cè)量數(shù)據(jù)，按最大誤差法求標(biāo)準(zhǔn)差，則有，而故標(biāo)準(zhǔn)差為n1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.45

0.450.440.44

0.44

0.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-7

某鐳射管發(fā)出的鐳射波長(zhǎng)經(jīng)檢定為，由於某些原因未對(duì)次檢定波長(zhǎng)作誤差分析，但後來(lái)又用更精確的方法測(cè)得鐳射波長(zhǎng)，試求原檢定波長(zhǎng)的標(biāo)準(zhǔn)差。解：因後測(cè)得的波長(zhǎng)是用更精確的方法，故可認(rèn)為其測(cè)得值為實(shí)際波長(zhǎng)(或約定真值)，則原檢定波長(zhǎng)的隨機(jī)誤差為：

故標(biāo)準(zhǔn)差為：

5、四種計(jì)算方法的優(yōu)缺點(diǎn)

①貝塞爾公式的計(jì)算精度較高，但計(jì)算麻煩，需要乘方和開(kāi)方等，其計(jì)算速度難於滿足快速自動(dòng)化測(cè)量的需要；

②別捷爾斯公式最早用於前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺(tái)，它的計(jì)算速度較快，但計(jì)算精度較低，計(jì)算誤差為貝氏公式的1.07倍；

③用極差法計(jì)算σ，非常迅速方便，可用來(lái)作為校對(duì)公式，當(dāng)n<10時(shí)可第一節(jié)隨機(jī)誤差用來(lái)計(jì)算σ，此時(shí)計(jì)算精度高於貝氏公式；

④用最大誤差法計(jì)算σ更為簡(jiǎn)捷，容易掌握，當(dāng)n<10時(shí)可用最大誤差法，計(jì)算精度大多高於貝氏公式，尤其是對(duì)於破壞性實(shí)驗(yàn)(n=1)只能應(yīng)用最大誤差法。（二）多次測(cè)量的測(cè)量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

在多次測(cè)量的測(cè)量列中，是以算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，因此必須研究算術(shù)平均值不可靠的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。如果在相同條件下對(duì)同一量值作多組重複的系列測(cè)量，每一系列測(cè)量都有一個(gè)算術(shù)平均值，由於隨機(jī)誤差的存在，各個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值也不相同，它們圍繞著被測(cè)量的真值有一定的分散，此分散說(shuō)明了算術(shù)平均值的不可靠性，而算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差則是表徵同一被測(cè)量的各個(gè)獨(dú)立測(cè)量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。由式(2-8)已知算術(shù)平均值為：取方差得因故有第一節(jié)隨機(jī)誤差

所以(2-21)

即在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的，當(dāng)n愈大，算術(shù)平均值越接近被測(cè)量的真值，測(cè)量精度也愈高。增加測(cè)量次數(shù)，可以提高測(cè)量精度，但測(cè)量精度是與n的平方根成反比，因此要顯著提高測(cè)量精度，必須付出較大的勞動(dòng)。由圖2-3可知,σ一定時(shí)，當(dāng)n>10以後，的減小很慢。此外，由於增加測(cè)量次數(shù)難以保證測(cè)量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況下取n=10以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y(cè)量精度，應(yīng)採(cǎi)取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y(cè)量次數(shù)。第一節(jié)隨機(jī)誤差評(píng)定算術(shù)平均值的精度標(biāo)準(zhǔn)，也可用或然誤差R或平均誤差T，相應(yīng)公式為：

(2-22)(2-23)

若用殘餘誤差表示上述公式，則有：(2-24)(2-25)

例2-8用遊標(biāo)卡尺對(duì)某一尺寸測(cè)量10次，假定已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，得到數(shù)據(jù)如下(單位為mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08。求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：本例題中的測(cè)量數(shù)據(jù)與表2-3中的測(cè)量數(shù)據(jù)一樣，表中的算術(shù)平均值為。因?yàn)椋?/p>

第一節(jié)隨機(jī)誤差與表中的結(jié)果一致，故計(jì)算正確。根據(jù)上述各個(gè)誤差計(jì)算公式可得：六、測(cè)量的極限誤差

測(cè)量的極限誤差是極端誤差，測(cè)量結(jié)果（單次測(cè)量或測(cè)量列的算術(shù)平均值）的誤差不超過(guò)該極端誤差的概率為p，並使差值（1-p）可予忽略。（一）單次測(cè)量的極限誤差測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)足夠多和單次測(cè)量誤差為正態(tài)分佈時(shí)，根據(jù)概第一節(jié)隨機(jī)誤差率論知識(shí)，正態(tài)分佈曲線和橫坐標(biāo)軸間所包含的面積等於其相應(yīng)區(qū)間確定的概率，即：當(dāng)研究誤差落在區(qū)間（-δ,+δ）之間的概率時(shí)，則得：(2-33)

將上式進(jìn)行變數(shù)置換，設(shè)經(jīng)變換，上式成為：(2-34)

這樣我們就可以求出積分值p，為了應(yīng)用方便，其積分值一般列成表格形式，稱為概率函數(shù)積分值表。當(dāng)t給定時(shí)，φ(t)值可由該表查出?，F(xiàn)已查出t=1,2,3,4等幾個(gè)特殊值的積分值，並求出隨機(jī)誤差不超出相應(yīng)區(qū)間的概率p=2φ(t)和超出相應(yīng)區(qū)間的概率p’=1-2φ(t)，如表2-6所示（圖2－4）。由表可以看出，隨著t的增大，超出|δ|的概率減小得很快。當(dāng)?shù)谝还?jié)隨機(jī)誤差

t=2，即|δ|=2σ時(shí)，在22次測(cè)量中只有1次的誤差絕對(duì)值超出2σ範(fàn)圍；而當(dāng)t=3，即

|δ|=3σ時(shí)，在370次測(cè)量中只有1次誤差絕對(duì)值超出3σ範(fàn)圍。由於在一般測(cè)量中，測(cè)量次數(shù)很少超過(guò)幾十次，因此可以認(rèn)為絕對(duì)值大於3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測(cè)量的極限誤差，即

(2-35)

當(dāng)t＝3時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率p＝99.73％。在實(shí)際測(cè)量中，有時(shí)也可取其他t值來(lái)表示單次測(cè)量的極限誤差。如第一節(jié)隨機(jī)誤差t不超出的概率超出的概率測(cè)量次數(shù)n超出的測(cè)量次數(shù)0.6712340.6712340.49720.68260.95440.99730.99990.50280.31740.04560.00270.000123223701562611111取t＝2.58，p＝99％；t＝2，p＝95.44％；t＝1.96，p＝95％等。因此一般情況下，測(cè)量列單次測(cè)量的極限誤差可用下式表示：(2-36)

若已知測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ，選定置信係數(shù)t，則可由上式求得單次測(cè)量的極限誤差。（二）算術(shù)平均值的極限誤差測(cè)量列的算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值之差稱為算術(shù)平均值誤差，即。當(dāng)多個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值誤差為正態(tài)分佈時(shí)，根據(jù)概率論知識(shí)，同樣可得測(cè)量列算術(shù)平均值的極限運(yùn)算式為：(2-37)

式中的t為置信係數(shù)，為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。通常取t＝3，則(2-38)

實(shí)際測(cè)量中有時(shí)也可取其他t值來(lái)表示算術(shù)平均值的極限誤差。但當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，應(yīng)按“學(xué)生氏”分佈(“student”distribution)或稱t分佈來(lái)計(jì)算測(cè)量列算術(shù)平均值的極限誤差，即

(2-39)第一節(jié)隨機(jī)誤差式中的為置信係數(shù)，它由給定的置信概率和自由度來(lái)確定，具體數(shù)值見(jiàn)附錄3；為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水準(zhǔn)），通常取=0.01或0.02,0.05；n為測(cè)量次數(shù)；為n次測(cè)量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)於同一測(cè)量列，按正態(tài)分佈和t分佈分別計(jì)算時(shí)，即使置信概率的取值相同，但由於置信係數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。例2-9

對(duì)某量進(jìn)行6次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：802.40，802.50，802.38，802.48，802.42，802.46。求算術(shù)平均值及其極限誤差。解：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差

因測(cè)量次數(shù)較少，應(yīng)按t分佈計(jì)算算術(shù)平均值的極限誤差。已知，取，則由附錄表3查得，則有：第一節(jié)隨機(jī)誤差若按正態(tài)分佈計(jì)算，取，相應(yīng)的置信概率，由附錄表1查得t＝2.60，則算術(shù)平均值的極限誤差為：由此可見(jiàn)，當(dāng)測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，按兩種分佈計(jì)算的結(jié)果有明顯的差別。七、不等精度測(cè)量

①在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由於客觀條件的限制，測(cè)量條件是變動(dòng)的，得到了不等精度測(cè)量。

②對(duì)於精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)而言，為了得到極其準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果，需要在不同的實(shí)驗(yàn)室，用不同的測(cè)量方法和測(cè)量?jī)x器，由不同的人進(jìn)行測(cè)量。如果這些測(cè)量結(jié)果是相互一致的。那麼測(cè)量結(jié)果就是真正可以信賴的。這是人為地改變測(cè)量條件而進(jìn)行的不等精度測(cè)量。

③對(duì)於某一個(gè)未知量，歷史上或近年來(lái)有許多人進(jìn)行精心研究和精密測(cè)量，得到了不同的測(cè)量結(jié)果。我們就需要將這些測(cè)量結(jié)果進(jìn)行分析研究和綜合，以便得到一個(gè)最為滿意的準(zhǔn)確的測(cè)量結(jié)果。這也是不等精度測(cè)量。對(duì)於不等精度測(cè)量，計(jì)算最後測(cè)量結(jié)果及其精度（如標(biāo)準(zhǔn)差），不第一節(jié)隨機(jī)誤差能套用前面等精度測(cè)量的計(jì)算公式，需推導(dǎo)出新的計(jì)算公式。（一）權(quán)的概念在等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量值認(rèn)為同樣可靠，並取所有測(cè)得值的算術(shù)平均值作為最後的測(cè)量結(jié)果。在不等精度測(cè)量中，各個(gè)測(cè)量結(jié)果的可靠程度不一樣，因而不能簡(jiǎn)單地取各測(cè)量結(jié)果地算術(shù)平均值作為最後的測(cè)量結(jié)果，應(yīng)讓可靠程度大的測(cè)量結(jié)果在最後測(cè)量結(jié)果中佔(zhàn)有的比重大些，可靠程度小的占比重小些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來(lái)表示，這數(shù)值即稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為，可以理解為當(dāng)它與另一些測(cè)量結(jié)果比較時(shí)，對(duì)該測(cè)量結(jié)果所給予信賴程度。（二）權(quán)的確定方法測(cè)量結(jié)果的權(quán)說(shuō)明了測(cè)量的可靠程度，因此可根據(jù)這一原則來(lái)確定權(quán)的大小。最簡(jiǎn)單的方法可按測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)，即測(cè)量條件和測(cè)量者水準(zhǔn)皆相同，則重複測(cè)量次數(shù)愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可由測(cè)量的次數(shù)來(lái)確定權(quán)的大小，即。假定同一被測(cè)量有m組不等精度的測(cè)量結(jié)果，這m組測(cè)量結(jié)果是從單次測(cè)量精度相同而測(cè)量次數(shù)不同的一系列測(cè)量值求得的算術(shù)平均值。因第一節(jié)隨機(jī)誤差為單次測(cè)量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為σ，則各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：(2-40)

由此得下列等式因?yàn)?，故上式又可?xiě)成(2-41)

或表示為(2-42)

即：每組測(cè)量結(jié)果的權(quán)（）與其相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差平方（）成反比，若已知（各組算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差），則可由（2-42）得到相應(yīng)的大小。測(cè)量結(jié)果的權(quán)的數(shù)值只表示各組間的相對(duì)可靠程度，它是一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)，允許各組的權(quán)數(shù)同時(shí)增大或減小若干倍，而各組間的比例關(guān)係不變，但通常皆將各組的權(quán)數(shù)予以約簡(jiǎn)，使其中最小的權(quán)數(shù)為不可再放簡(jiǎn)的整數(shù)，以便用簡(jiǎn)單的數(shù)值來(lái)表示各組的權(quán)。例2-10

對(duì)一級(jí)鋼卷尺的長(zhǎng)度進(jìn)行了三組不等精度測(cè)量，其結(jié)果為第一節(jié)隨機(jī)誤差求各測(cè)量結(jié)果的權(quán)。解：由式(2-42)得因此各組的權(quán)可取為（三）加權(quán)算術(shù)平均值

若對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果為：，設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為n1,n2,…,nm，即：

(2-43)

根據(jù)等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理，全部測(cè)量的算術(shù)平均值應(yīng)為：第一節(jié)隨機(jī)誤差將式(2-43)代入上式得：或簡(jiǎn)寫(xiě)為(2-44)

當(dāng)各組的權(quán)相等，即時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均值可簡(jiǎn)化為：(2-45)

由上式求得得結(jié)果即為等精度的算術(shù)平均值，由此可見(jiàn)等精度測(cè)量是不等精度測(cè)量得特殊情況。為簡(jiǎn)化計(jì)算，加權(quán)算術(shù)平均值可表示為：(2-46)

式中的為接近的任選參考值。第一節(jié)隨機(jī)誤差例2-11

工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國(guó)家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長(zhǎng)度為999.9425mm(三次測(cè)量的)，999.9416mm(兩次測(cè)量的)，999.9419mm(五次測(cè)量的)，求最後測(cè)量結(jié)果。解：按測(cè)量次數(shù)來(lái)確定權(quán)：，選，則有

(四)單位權(quán)的概念由式（2-41）知，此式又可表示為

(2-47)

式中為某精度單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差。因此，具有同一方差的等精度單次測(cè)量值的權(quán)數(shù)為1。若已知，只要確定，根據(jù)（2-47）式就可求出各組的方差。由於測(cè)得值的方差的權(quán)數(shù)為1在此有特殊用途，故稱等於1的權(quán)為單位權(quán)，而為具有單位權(quán)的測(cè)得值方差，為具有單位權(quán)的測(cè)得值標(biāo)準(zhǔn)差。利用單位權(quán)化的思想，可以將某些不等權(quán)的測(cè)量問(wèn)題化為等權(quán)測(cè)量問(wèn)題來(lái)處理。單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)，是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。第一節(jié)隨機(jī)誤差例如，將不等精確測(cè)量的各組測(cè)量結(jié)果皆乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，此時(shí)得到的新值z(mì)的權(quán)數(shù)就為1。證明之：設(shè)取方差

以權(quán)數(shù)字表示上式中的方差，則

由此可知，單位權(quán)化以後得到的新值的權(quán)數(shù)為1，用這種方法可以把不等精度的各組測(cè)量結(jié)果皆進(jìn)行了單位權(quán)化，使該測(cè)量列轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量列。不等精度測(cè)量列，經(jīng)單位權(quán)化處理後，就可按等精度測(cè)量列來(lái)處理。第一節(jié)隨機(jī)誤差（五）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)同一個(gè)被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果為：若已知單位權(quán)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差σ，則由式（2-40）知

全部（m×n個(gè)）測(cè)得值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：比較上面兩式可得：(2-48)

因?yàn)榇胧剑?-48）得(2-49)第一節(jié)隨機(jī)誤差當(dāng)各組測(cè)得的總權(quán)數(shù)為已知時(shí)，可由任一組的標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的權(quán)，或者由單位權(quán)的標(biāo)準(zhǔn)差σ求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。當(dāng)各組測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為未知時(shí)，則不能直接用式（2-49），而必須由各測(cè)量結(jié)果的殘餘誤差來(lái)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。已知各組測(cè)量結(jié)果的殘餘誤差為：將各組單位權(quán)比，則有：上式中各組新值已為等精度測(cè)量列的測(cè)量結(jié)果，相應(yīng)的殘差也成為等精度測(cè)量列的殘餘誤差，則可用等精度測(cè)量時(shí)的Bessel公式推導(dǎo)得到：(2-50)將式（2-50）代入式（2-49）得(2-51)第一節(jié)隨機(jī)誤差用式（2-51）可由各組測(cè)量結(jié)果的殘餘誤差求得加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，但是只有組數(shù)m足夠多時(shí)，才能得到較為精確的值。一般情況下的組數(shù)較少，只能得到近似的估計(jì)值。例2-12

求例2-11的加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。解：由加權(quán)算術(shù)平均值，可得各組測(cè)量結(jié)果的殘餘誤差為：，又已知

代入式(2-51)得八、隨機(jī)誤差的其他分佈正態(tài)分佈是隨機(jī)誤差最普遍的一種分佈規(guī)律，但不是唯一分佈規(guī)律。下麵介紹幾種常見(jiàn)的非正態(tài)分佈。(一)均勻分佈

在測(cè)量實(shí)踐中，均勻分佈是經(jīng)常遇到的一種分佈，其主要特點(diǎn)是，誤差有一確定的範(fàn)圍，在此範(fàn)圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形第一節(jié)隨機(jī)誤差分佈或等概率分佈。均勻分佈的分佈密度（圖2-5）和分佈函數(shù)分別為：（2-52）（2-53）它的數(shù)學(xué)期望為：（2-54）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：（2-55）（2-56）(二)反正弦分佈反正弦分佈實(shí)際上是一種隨機(jī)誤差的函數(shù)分佈規(guī)律，其特點(diǎn)是該隨機(jī)誤差與某一角度成正弦關(guān)係。反正弦分佈的分佈密度（圖2-6）和分佈函數(shù)分別為：(2-57)第一節(jié)隨機(jī)誤差（2-57）它的數(shù)學(xué)期望為：（2-58）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：（2-59）（2-60）（三）三角形分佈

當(dāng)兩個(gè)誤差限相同且服從均勻分佈的隨機(jī)誤差求和時(shí)，其和的分佈規(guī)律服從三角形分佈，又稱辛普遜（Simpson）分佈。實(shí)際測(cè)量中，若整個(gè)測(cè)量過(guò)程必須進(jìn)行兩次才能完成，而每次測(cè)量的隨機(jī)誤差服從相同的均勻分佈，則總的測(cè)量誤差為三角形分佈誤差。三角形分佈的分佈密度（圖2-7）和分佈函數(shù)分別為：(2-61)第一節(jié)隨機(jī)誤差（2-63）它的數(shù)學(xué)期望為：（2-64）它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：（2-65）

（2-66）如果對(duì)兩個(gè)誤差限為不相等的均勻分佈隨機(jī)誤差求和時(shí)，則其和的分佈規(guī)律不再是三角形分佈而是梯形分佈。在測(cè)量工作中，除上述的非正態(tài)分佈外，還有直角分佈、截尾正態(tài)分佈、雙峰正態(tài)分佈及二點(diǎn)分佈等，在此不做一一敘述。（四）分佈令為個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)，每個(gè)隨機(jī)變數(shù)都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分佈。定義一個(gè)新的隨機(jī)變數(shù)

(2-67)

隨機(jī)變數(shù)稱為自由度為的卡埃平方變數(shù)。自由度表示上式中項(xiàng)數(shù)或

第一節(jié)隨機(jī)誤差獨(dú)立變數(shù)的個(gè)數(shù)。分佈的分佈密度如圖2-8所示。

(2-68)

式中的函數(shù)。它的數(shù)學(xué)期望為：

(2-69)

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：(2-70)(2-71)

在本書(shū)最小二乘法中要用到分佈，此外它也是t分佈和F分佈的基礎(chǔ)。

由圖2-8的兩條理論曲線看出，當(dāng)逐漸增大時(shí)，曲線逐漸接近對(duì)稱?？梢宰C明當(dāng)足夠大時(shí)，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這裏稱為自由度，它的改變將引起分佈曲線的相應(yīng)改變。（五）t分佈 第一節(jié)隨機(jī)誤差令和是獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，具有自由度為的分佈函數(shù)，具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分佈函數(shù)，則定義新的隨機(jī)變數(shù)為(2-72)

隨機(jī)變數(shù)t稱自由度為的學(xué)生氏t變數(shù)。

t分佈的分佈密度為（圖2-9）：

(2-73)

它的數(shù)學(xué)期望為：(2-74)

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：(2-75)(2-76)

t分佈的數(shù)學(xué)期望為零，分佈曲線對(duì)稱於縱坐標(biāo)軸，但它和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分佈密度曲線不同，如圖2-9所示?？梢宰C明，當(dāng)自由度較小時(shí)，t分佈與正態(tài)分佈有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度時(shí)，t分佈曲線趨於正態(tài)分佈曲線。t分佈是一種重要分佈，當(dāng)測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)，或者在檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到它。第一節(jié)隨機(jī)誤差（六）F分佈若具有自由度為的卡埃平方分佈函數(shù)，具有自由度為的卡埃平方分佈函數(shù)，定義新的隨機(jī)變數(shù)為(2-77)

隨機(jī)變數(shù)F稱為自由度為、的F變數(shù)。

F分佈的分佈密度如圖2-10所示。

(2-78)

它的數(shù)學(xué)期望為：(2-79)

它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：

(2-80)(2-81)

F分佈也是一種重要分佈，在檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。第一節(jié)隨機(jī)誤差

第二節(jié)系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的特徵與分類系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法研究系統(tǒng)誤差的重要意義第二節(jié)系統(tǒng)誤差實(shí)際上測(cè)量過(guò)程中往往存在系統(tǒng)誤差，在某些情況下的系統(tǒng)誤差數(shù)值還比較大。因此測(cè)量結(jié)果的精度，不僅取決於隨機(jī)誤差，還取決於系統(tǒng)誤差的影響。由於系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差同時(shí)存在測(cè)量數(shù)據(jù)之中，而且不易被發(fā)現(xiàn)，多次重複測(cè)量又不能減小它對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，這種潛伏使得系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差具有更大的危險(xiǎn)性，因此研究系統(tǒng)誤差的特徵與規(guī)律性，用一定的方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差，就顯得十分重要。系統(tǒng)誤差是指在確定的測(cè)量條件下，某種測(cè)量方法和裝置，在測(cè)量之前就已存在誤差，並始終以必然性規(guī)律影響測(cè)量結(jié)果的正確度，如果這種影響顯著的話，就要影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度。一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因

系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來(lái)源於：

①測(cè)量裝置方面的因素

②環(huán)境方面的因素

③

測(cè)量方法的因素

④

測(cè)量人員的因素第二節(jié)系統(tǒng)誤差計(jì)量校準(zhǔn)後發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計(jì)原理缺陷、儀器製造和安裝的不正確等。測(cè)量時(shí)的實(shí)際溫度對(duì)標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測(cè)量過(guò)程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。採(cǎi)用近似的測(cè)量方法或計(jì)算公式引起的誤差等。測(cè)量人員固有的測(cè)量習(xí)性引起的誤差等。第二節(jié)系統(tǒng)誤差二、系統(tǒng)誤差的分類和特徵系統(tǒng)誤差的特徵是在同一條件下，多次測(cè)量同一測(cè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。由系統(tǒng)誤差的特徵可知，在多次重複測(cè)量同一值時(shí)，系統(tǒng)誤差不具有抵償性，它是固定的或服從一定函數(shù)規(guī)律的誤差。從廣義上講，系統(tǒng)誤差是指服從某一確定規(guī)律變化的誤差。圖2-11為各種系統(tǒng)誤差⊿隨測(cè)量過(guò)程t變化而表現(xiàn)出不同特徵。曲線a為不變的系統(tǒng)誤差，曲線b為線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線c為非線性變化的系統(tǒng)誤差，曲線d為週期性變化的系統(tǒng)誤差，曲線e為複雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測(cè)量過(guò)程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為不變系統(tǒng)誤差和變化系統(tǒng)誤差兩大類。第二節(jié)系統(tǒng)誤差（一）不變系統(tǒng)誤差

固定系統(tǒng)誤差是指在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和符號(hào)始終是不變的。

如千分尺或測(cè)長(zhǎng)儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差，量塊或其他標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等，均為不變系統(tǒng)誤差。它對(duì)每一測(cè)量值的影響均為一個(gè)常量，屬於最常見(jiàn)的一類系統(tǒng)誤差。（二）變化系統(tǒng)誤差

變化系統(tǒng)誤差指在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，誤差的大小和方向隨測(cè)試的某一個(gè)或某幾個(gè)因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化，其種類較多，又可分為以下幾種：

①線性變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，隨某因素而線性遞增或遞減的系統(tǒng)誤差。例如，量塊中心長(zhǎng)度隨溫度的變化：第二節(jié)系統(tǒng)誤差

②週期變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，隨某因素作週期變化的系統(tǒng)誤差。例如，儀錶指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤(pán)中心有一個(gè)偏心量e

，則指針在任一轉(zhuǎn)角

處引起的讀數(shù)誤差為。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線規(guī)律，當(dāng)指針在0

和180

時(shí)誤差為零，而在90

和270

時(shí)誤差絕對(duì)值達(dá)最大。

③複雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中，隨某因素變化，誤差按確定的更為複雜的規(guī)律變化，稱其為複雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。

例如，微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)係，而錶盤(pán)仍採(cǎi)用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬於複雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。這些複雜規(guī)律一般可用代數(shù)多項(xiàng)式、三角多項(xiàng)式或其他正交函數(shù)多項(xiàng)式來(lái)描述。第二節(jié)系統(tǒng)誤差

由於形成系統(tǒng)誤差的原因複雜，目前尚沒(méi)有能夠適用於發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法。但是……我們可針對(duì)不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識(shí)別：

1、用於發(fā)現(xiàn)測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實(shí)驗(yàn)對(duì)比法、殘餘誤差觀察法、殘餘誤差校核法和不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；

2、用於發(fā)現(xiàn)各組測(cè)量這間的系統(tǒng)誤差，包括計(jì)算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗(yàn)法、和t

檢驗(yàn)法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差

1、實(shí)驗(yàn)對(duì)比法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

這種方法適用於發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。

2、殘餘誤差觀察法殘餘誤差觀察法是根據(jù)測(cè)量列的各個(gè)殘餘誤差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來(lái)判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差。

這種方法適於發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。（一）測(cè)量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法故有(2-82)若系統(tǒng)誤差顯著大於隨機(jī)誤差，可予忽略，則得(2-83)

3、殘餘誤差校核法(有兩種方法)①用於發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差：設(shè)有測(cè)量列，它們的系統(tǒng)誤差為，它們不含系統(tǒng)誤差之值為，有下式成立：第二節(jié)系統(tǒng)誤差它們的算術(shù)平均值為:因由上式看出，顯著含有系統(tǒng)誤差的測(cè)量列，其任一測(cè)量值的殘餘誤差約為系統(tǒng)誤差與測(cè)量列系統(tǒng)誤差平均值之差。根據(jù)式(2-82)，若將測(cè)量列中前K個(gè)殘餘誤差相加，後n-K個(gè)殘餘誤差相加(當(dāng)n為偶數(shù)，取K=n/2；n為奇數(shù)，取K=(n+1)/2)，兩者相減得：

當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，有：第二節(jié)系統(tǒng)誤差所以得：(2-84)若上式的兩部分值Δ顯著不為O，則有理由認(rèn)為測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱“馬列科夫準(zhǔn)則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時(shí)按殘餘誤差校核法求得差值Δ=0，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。

②用於發(fā)現(xiàn)週期性系統(tǒng)誤差：若一等精度測(cè)量列，接測(cè)量先後順序?qū)堭N誤差排列為，如果存在著按此順序呈週期性變化的系統(tǒng)誤差，則相鄰的殘餘誤差的差值()符號(hào)也將出現(xiàn)週期性的正負(fù)號(hào)變化，因此由差值()可以判斷是否存在週期性系統(tǒng)誤差，但是這種方法只有當(dāng)週期性系統(tǒng)誤差是整個(gè)測(cè)量誤差的主要成分時(shí)，才有實(shí)用效果。否則，差值()符號(hào)變化將主要取決於隨機(jī)誤差，以致不能判斷出週期性系統(tǒng)誤差。在此情況下，可用統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行判斷，令

第二節(jié)系統(tǒng)誤差若(2-85)則認(rèn)為該測(cè)量列中含有週期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫阿卑——赫梅特準(zhǔn)則（Abbe-Helmert準(zhǔn)則），它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。

4、不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法對(duì)等精度測(cè)量，可用不同分式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，通過(guò)比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式：

按別捷爾斯公式：令若(2-86)則懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。在判斷含有系統(tǒng)誤差時(shí)，違反“準(zhǔn)則”時(shí)就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則”時(shí)，不能得出“不含系統(tǒng)誤差”的結(jié)論，因?yàn)槊總€(gè)準(zhǔn)則均有局限性，不具有“通用性”。

第二節(jié)系統(tǒng)誤差則任意兩組結(jié)果與間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)誌是：若對(duì)同一量獨(dú)立測(cè)量得m組結(jié)果，並知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：(二)測(cè)量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第二節(jié)系統(tǒng)誤差(2-87)而任意兩組結(jié)果之差為：其標(biāo)準(zhǔn)差為：1、計(jì)算數(shù)據(jù)比較法對(duì)同一量進(jìn)行多組測(cè)量得到很多數(shù)據(jù)，通過(guò)多組數(shù)據(jù)計(jì)算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機(jī)誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。2、秩和檢驗(yàn)法——用于檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)間的系統(tǒng)誤差

對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗(yàn)法根據(jù)兩組分布是否相同來(lái)判斷。第二節(jié)系統(tǒng)誤差若獨(dú)立測(cè)得兩組的數(shù)據(jù)為：

將它們混和以後，從1開(kāi)始，按從小到大的順序重新排列，觀察測(cè)量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的