1.5 向量的數(shù)量積 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第一章平面向量及其應(yīng)用1.5向量的數(shù)量積1.5.1數(shù)量積的定義及計(jì)算

a||b|cos〈a，b〉a⊥b

|b|cosα|a|cosα

b·aa·c＋b·c基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩向量的數(shù)量積仍是一個(gè)向量．(

)(2)設(shè)非零向量a與b的夾角為θ，則cosθ＞0?a·b＞0.(

)(3)對(duì)于向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(

)(4)對(duì)于任意向量a，b，總有(a·b)2＝a2·b2.(

)×√××

答案：A

答案：D

題型1向量數(shù)量積的計(jì)算角度1向量數(shù)量積的計(jì)算例1

已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解析：(1)a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos120°＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.方法歸納求向量的數(shù)量積的方法求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和夾角．若是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡，使問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)單一向量的數(shù)量積，再用數(shù)量積公式計(jì)算．

答案：C

答案：B

2

方法歸納求投影向量的方法(1)依據(jù)投影的定義和平面幾何知識(shí)作出恰當(dāng)?shù)拇咕€，直接得到投影向量．(2)首先根據(jù)題意確定向量a的模，與b同向的單位向量e，及兩向量a與b的夾角θ，然后依據(jù)公式|a|cosθ·e計(jì)算．

答案：C

(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為________．

題型3向量數(shù)量積的應(yīng)用角度1求兩向量的夾角例4已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，則a與b的夾角為________．

答案：A解析：由題意，向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－1，又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，所以|2a＋b|＝2.

方法歸納向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是a⊥b?a·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算律代入，結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)解題．

2

(2)設(shè)向量e1，e2為單位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，則k＝________．2

易錯(cuò)辨析忽視向量共線的特殊情況出錯(cuò)例7設(shè)兩個(gè)向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得若兩向量的夾角為鈍角，則這兩向量的數(shù)量積為負(fù)，反之不成立．所以解題時(shí)注意結(jié)論的應(yīng)用．課堂十分鐘1．已知a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(

)A．4B．3C．2D．0答案：B解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.

答案：B

答案：A

4．已知非零向量a，b，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第一章平面向量及其應(yīng)用1.5向量的數(shù)量積1.5.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

x1x2＋y1y2

x1x2＋y1y2＝0

√×√√2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，則a·b的值是(

)A．23B．7C．－23D．－7答案：D解析：由數(shù)量積的計(jì)算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，則x的值為(

)A．－1B．0

C．1D．2答案：A解析：由題意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.

答案：2

題型1數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例1

(1)設(shè)向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，則向量(a＋2b)·c＝(

)A．(－15，12)B．0C．－3

D．－11

答案：C解析：依題意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.

答案：A

方法歸納向量數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知條件計(jì)算．(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握圖形的特征，看到題目中的直角條件要敏銳地產(chǎn)生建系的想法，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求解．跟蹤訓(xùn)練1

(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，c＝(－1，2)，則(a＋b)·c＝________解析：(1)因?yàn)橄蛄縜＝(2，1)，b＝(－3，4)，所以a＋b＝(－1，5)，所以(a＋b)·c＝－1×(－1)＋5×2＝11。11

2

題型2向量的長度例2已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．(1)求a－2b及其模的大??；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.

方法歸納向量長度的計(jì)算，如果給出了坐標(biāo)，先進(jìn)行線性運(yùn)算，再利用向量的長度公式計(jì)算．

答案：A(2)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2，0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝________．

題型3向量的夾角例3已知向量a＝(1，1)，b＝(0，－2)，當(dāng)k為何值時(shí)，(1)ka－b與a＋b共線？(2)ka－b與a＋b的夾角為120°？

方法歸納利用平面向量數(shù)量積的兩種表示，建立方程，再解方程求解，是處理這類問題的一種重要思路．

題型4向量的垂直例4已知向量a，b，c在同一平面上，且a＝(－2，1)．(1)若a∥c，且|c|＝25，求向量c的坐標(biāo)﹔(2)若b＝(3，2)，且ka－b與a＋2b垂直，求k的值．

方法歸納“a·b＝0?a⊥b”是常用的結(jié)論，需牢記！跟蹤訓(xùn)練4

已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝________．

易錯(cuò)辨析考慮問題不周致誤例5已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)，判斷由此四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的形狀．

易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得在判斷三角形，四邊形的形狀時(shí)，要從向量的共線，向量的垂直、向量的模及夾角等方面考慮，考慮問題要周全，防止出錯(cuò)．課堂十分鐘1．設(shè)向量a＝(3，2)，b＝(－1，4)，則a·b＝(

)A．11B．9C．7D．5答案：D解析：∵a＝(3，2)，b＝(－1，4)，∴a·b＝3×(－1)＋2×4＝－3＋8＝5，故選D.

答案：C

3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，1)，c＝(k，4)，且(a－b)⊥c，則k＝(

)A．－6B．－1C．1D．6答案：C解析：∵a＝(