3.2　復數的四則運算 2023-2024學年高中數學湘教版必修第二冊

高中數學湘教版必修第二冊第三章復數3.2復數的四則運算第1課時復數的四則運算(1)教材要點要點一復數的加法與減法1．設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，則z1＋z2＝___________，z1－z2＝____________．2．加法運算律：設z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝___________．狀元隨筆復數加法運算的理解(1)復數的加法中規(guī)定，兩復數相加，是實部與實部相加，虛部與虛部相加，復數的加法可推廣到多個復數相加的情形．(2)在這個規(guī)定中，當b＝0，d＝0時，則與實數的加法法則一致．(3)實數加法的交換律、結合律在復數集C中仍然成立．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)要點二復數的乘法與乘方1．復數的乘法法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________________．2．復數乘法的運算律對任意復數z1、z2、z3∈C，有交換律z1·z2＝________結合律(z1·z2)·z3＝________乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝________(ac－bd)＋(bc＋ad)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z3

基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)兩個復數的和(或差)仍然是一個確定的復數．(

)(2)兩個虛數的和(或差)一定是虛數．(

)(3)復數的加法滿足結合律，但減法不滿足結合律．(

)(4)兩個虛數相乘的結果可能為實數．(

)√××√2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(

)A．2＋2iB．4－2iC．2D．0答案：C解析：(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(3－2＋1)＋(2－1－1)i＝2.3．復數i(2＋i)的虛部為________．2解析：i(2＋i)＝2i＋i2＝－1＋2i，所以復數i(2＋i)的虛部為2.題型

1復數的加減運算例1

(1)計算(3＋5i)＋(3－4i)＝________；6＋i解析：原式＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i

1＋i(3)已知復數z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z.解析：∵z＋1－3i＝5－2i，∴z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.方法歸納(1)復數的加、減運算類似于合并同類項，實部與實部合并，虛部與虛部合并，注意符號是易錯點；(2)復數的加、減運算結果仍是復數；(3)對應復數的加法(或減法)可以推廣到多個復數相加(或相減)的混合運算；(4)實數的加法交換律和結合律在復數集中仍適用．跟蹤訓練1

(1)若z＋5－6i＝3＋4i，則復數z＝(

)A．－2＋10iB．－1＋5iC．－4＋10iD．－1＋10i解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i.答案：A

答案：C解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，故復數z的虛部為－1.(3)設z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，則z1－z2＝________．

－1＋10i題型2復數的乘法與乘方運算例2

計算：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)；(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021.

解析：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)＝(2－i＋2i－i2)(3＋2i)＝(3＋i)(3＋2i)＝9＋6i＋3i＋2i2＝7＋9i.(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2021＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2017＋i2018＋i2019＋i2020)＋i2021＝0＋0＋…＋0＋i＝i.方法歸納(1)復數乘法運算的技巧①復數乘法與實數多項式乘法類似，在計算兩個復數的乘積時，先按照多項式的乘法展開，再將i2換成－1，最后合并同類項即可．②三個或三個以上的復數相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算，混合運算和實數的運算順序一致．③在復數乘法運算時，若符合乘法公式，則可直接運用公式計算．例如(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．(2)利用i冪值的周期性解題的技巧①熟記i冪值的4個結果，當冪指數除以4所得的余數是0，1，2，3時，相應的冪值分別為1，i，－1，－i.②對于n∈N*，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.跟蹤訓練2

(1)復數i(2＋i)的實部為(

)A．－1B．1C．－2D．2解析：i(2＋i)＝－1＋2i的實部為－1.答案：A(2)已知i為虛數單位，則i2020＋i2021＝________．1＋i解析：i2020＋i2021＝i4×505＋i4×505＋1＝1＋i.題型3復數加、減、乘和乘方的綜合運算例3

(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2；(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)．解析：(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2＝1－4i2＋9－24i＋16i2＝－2－24i.(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)＝(1＋i)7(1＋i)3(1－i)7－(1＋3i)＝[(1＋i)(1－i)]7(1＋i)2·(1＋i)－(1＋3i)＝27×2i(1＋i)－(1＋3i)＝28(i－1)－(1＋3i)＝－257＋253i.方法歸納在復數加、減、乘和乘方的運算中，可以運用一些技巧，以簡化運算過程．

跟蹤訓練3

求(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8的值．

解析：(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8＝3＋i－(1－4i－4)－1＋(－2i)4＝21＋5i.課堂十分鐘1．計算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝(

)A．－8iB．13＋8iC．8＋13iD．13－12i答案：D解析：原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.

答案：D解析：∵復數z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是純虛數，∴a＋1＝0，2a－1≠0，∴a＝－1.3．設i為虛數單位，若復數z＝(3＋2i)(1－i)2，則z＝(

)A．4＋6iB．4－6iC．6＋4iD．6－4i答案：B解析：根據復數的乘法運算得：z＝(3＋2i)(1－i)2＝－2i(3＋2i)＝4－6i.4．已知復數z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虛數單位，則z的虛部為________．3解析：z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，所以復數z的虛部為3.5．計算：(1－2i)＋(2＋i)(1－4i)－(1＋i)5.解析：原式＝(1－2i)＋(6－7i)－(2i)2(1＋i)＝(7－9i)＋4(1＋i)＝11－5i.高中數學湘教版必修第二冊第三章復數3.2復數的四則運算第2課時復數的四則運算(2)

×√×2．設zi＝1－2i，則z＝(

)A．－2－i

B．－2＋iC．2＋iD．2－i答案：A

答案：D

4．(2－i)÷i＝________．－1－2i

答案：B

答案：D

答案：A

答案：B

1－i

題型

3在復數范圍內解方程例3在復數范圍內解方程x2＋6x＋10＝0.

方法歸納與復數范圍內一元二次方程有關的問題，一般是利用復數相等的充要條件，把復數問題實數化進行求解．根與系數的關系仍適用，但根的判別式“Δ”不再適用．跟蹤訓練3

已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個根(b，c為實數)．(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是否是方程的根．

課堂十分鐘1．若復數z滿足(1－i)z＝2，則z＝(

)A．2＋i