5.1 隨機(jī)事件與樣本空間 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊

高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第五章概率5.1隨機(jī)事件與樣本空間5.1.1隨機(jī)事件教材要點(diǎn)要點(diǎn)一隨機(jī)現(xiàn)象1．在相同的條件下，不同次的試驗(yàn)或觀察會(huì)得到不同的結(jié)果，每一次試驗(yàn)或觀察之前不能確定會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果，我們把這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象．2．對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)、觀察或觀測稱為隨機(jī)試驗(yàn)．隨機(jī)試驗(yàn)一般用大寫字母________表示．

狀元隨筆(1)隨機(jī)現(xiàn)象與確定性現(xiàn)象不同，確定性現(xiàn)象在一定的條件下必然發(fā)生(出現(xiàn))．(2)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果不止一個(gè)，哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)事先并不知道．E要點(diǎn)二樣本空間1．樣本點(diǎn)：對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將該試驗(yàn)的每個(gè)可能________稱為樣本點(diǎn)．一般用________(或帶下標(biāo))表示．2．樣本空間：將隨機(jī)試驗(yàn)所有________構(gòu)成的集合稱為此試驗(yàn)的樣本空間，用________表示．3．如果樣本空間中________的個(gè)數(shù)是有限的，則稱該樣本空間為有限樣本空間．

狀元隨筆樣本點(diǎn)與樣本空間的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系．樣本空間中的元素可以是數(shù)，也可以不是數(shù)．結(jié)果ω樣本點(diǎn)Ω樣本點(diǎn)要點(diǎn)三隨機(jī)事件1．一般地，當(dāng)Ω是試驗(yàn)的樣本空間時(shí)，我們稱Ω的________是Ω的隨機(jī)事件，簡稱為事件，一般用大寫字母A，B，C，…表示．2．由____________組成的集合稱為基本事件．3．由于樣本空間Ω包含了所有的樣本點(diǎn)，所以必然發(fā)生，我們稱樣本空間Ω為________事件．4．空集?也是Ω的子集，所以?也是事件，但空集?中沒有樣本點(diǎn)，永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生，稱?是________事件．狀元隨筆隨機(jī)事件在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生；必然事件一定會(huì)發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生．子集一個(gè)樣本點(diǎn)必然不可能基礎(chǔ)自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是不明確的．(

)(2)必然事件不是樣本空間Ω的子集．(

)(3)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)集合．(

)(4)我們一般用列舉法表示樣本空間和隨機(jī)事件．(

)××√√2．下列事件：①明天下雨；②3>2；③某國發(fā)射航天飛機(jī)成功；④x∈R，x2＋2<0；⑤某商船航行中遭遇海盜；⑥任給x∈R，x＋2＝0.其中隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為(

)A．1

B．2C．3

D．4答案：D解析：①③⑤⑥是隨機(jī)事件，②是必然事件，④是不可能事件．3．從6名男生、2名女生中任選3人，則下列事件中，必然事件是(

)A．3人都是男生B．至少有1名男生C．3人都是女生D．至少有1名女生答案：B解析：由于女生只有2人，而現(xiàn)在選擇3人，故至少要有1名男生．4．拋擲二枚硬幣，面朝上的樣本空間有________________________________________．{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}解析：每枚硬幣都有可能正面朝上、反面朝上，則樣本空間為{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．題型1事件類型的判斷例1指出下列事件是必然事件、不可能事件，還是隨機(jī)事件．(1)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，溫度低于0℃時(shí)，冰融化；(2)某個(gè)數(shù)的絕對值小于0；

(3)擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面；(4)某地12月12日下雨；

(5)導(dǎo)體通電后發(fā)熱；(6)沒有水分，種子發(fā)芽；

(7)三角形的內(nèi)角和為180°；(8)某人購買福利彩票5注，均未中獎(jiǎng)．解析：(5)(7)無論在什么條件下都一定會(huì)發(fā)生，所以是必然事件．(1)(2)(6)一定不會(huì)發(fā)生，所以是不可能事件．(3)(4)(8)有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，所以是隨機(jī)事件．方法歸納要判定事件是何種事件，首先要看清條件，因?yàn)槿N事件都是相對于一定條件而言的．第二步再看它是一定發(fā)生，還是不一定發(fā)生，還是一定不發(fā)生．一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件．跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)下列事件中是隨機(jī)事件的是(

)A．任取一個(gè)整數(shù)，被2整除B．小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測試中成績不低于120分C．甲、乙兩人進(jìn)行競技比賽，甲的實(shí)力遠(yuǎn)勝于乙，在一次比賽中甲獲勝D．當(dāng)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，圓的面積是原來的4倍答案：ABC解析：ABC均是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，為隨機(jī)事件，D是一定發(fā)生的事件，為必然事件．(2)一個(gè)不透明的袋子中裝有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，除顏色外，球的大小、質(zhì)地完全相同，采用不放回的方式從中摸出3個(gè)球．下列事件為不可能事件的是(

)A．3個(gè)都是白球

B．3個(gè)都是紅球C．至少1個(gè)紅球

D．至多2個(gè)白球解析：袋子中裝有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，摸出的3個(gè)球都是白球是不可能發(fā)生的，故3個(gè)都是白球?yàn)椴豢赡苁录?，故選項(xiàng)A正確；摸出的3個(gè)都是紅球?yàn)殡S機(jī)事件，故選項(xiàng)B不正確；袋子中只有2個(gè)白球，摸出3個(gè)球至少1個(gè)紅球?yàn)楸厝皇录?，故選項(xiàng)C不正確；摸出的球至多2個(gè)白球是必然事件，故選項(xiàng)D不正確．答案：A題型2確定試驗(yàn)的樣本空間角度1列表法確定樣本空間例2

袋中有紅、白、黃、黑四個(gè)顏色不同、大小相同的小球，按下列要求分別進(jìn)行試驗(yàn)．(1)從中任取一個(gè)球；(2)從中任取兩個(gè)球；(3)先后各取一個(gè)球(不放回)．分別寫出上面試驗(yàn)的樣本空間，并指出樣本點(diǎn)的總數(shù)．解析：(1)Ω＝{紅，白，黃，黑}，樣本點(diǎn)的總數(shù)為4.(2)一次取兩個(gè)球，若記(紅，白)代表一次取出紅球、白球各一個(gè)，則樣本空間Ω＝{(紅，白)，(紅，黃)，(紅，黑)，(白，黃)，(白，黑)，(黃，黑)}，樣本點(diǎn)的總數(shù)為6.(3)先后取兩個(gè)球，如記(紅，白)代表第一次取出一個(gè)紅球，第二次取出一個(gè)白球．列表如下：第一次第二次紅白黃黑紅

(白，紅)(黃，紅)(黑，紅)白(紅，白)

(黃，白)(黑，白)黃(紅，黃)(白，黃)

(黑，黃)黑(紅，黑)(白，黑)(黃，黑)

則樣本空間為Ω＝{(紅，白)，(白，紅)，(紅，黃)，(黃，紅)，(紅，黑)，(黑，紅)，(黃，黑)，(黑，黃)，(黃，白)，(白，黃)，(白，黑)，(黑，白)}，樣本點(diǎn)的總數(shù)為12.角度2樹狀圖法確定樣本空間例3

將數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，試寫出該試驗(yàn)的樣本空間．解析：這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)實(shí)質(zhì)是由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所作樹狀圖如圖．

這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{1234，1243，1324，1342，1432，1423，2134，2143，2341，2314，2431，2413，3124，3142，3214，3241，3421，3412，4123，4132，4213，4231，4312，4321}．角度3列舉法確定樣本空間例4

從1，2，3，5中任取兩個(gè)數(shù)字作為直線Ax＋By＝0的系數(shù)A，B.(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)；(3)寫出“這條直線的斜率大于－1”這一事件所包含的樣本點(diǎn)．

方法歸納求試驗(yàn)的樣本空間主要是通過觀察、分析、模擬試驗(yàn)，列舉出各個(gè)樣本點(diǎn)．對于樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的計(jì)算，要保證列舉出的試驗(yàn)結(jié)果不重不漏．寫樣本空間時(shí)應(yīng)注意兩大問題：一是抽取的方式是否為不放回抽取；二是試驗(yàn)結(jié)果是否與順序有關(guān)．跟蹤訓(xùn)練2

將一枚骰子先后拋擲兩次，試驗(yàn)的樣本點(diǎn)用(x，y)表示，其中x表示第一次拋擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第二次拋擲出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．(1)求樣本空間中的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)用集合表示事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”．解析：(1)方法一(列舉法)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36個(gè)樣本點(diǎn)．方法二(樹狀圖法)一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹狀圖表示，如圖所示．由圖可知，共36個(gè)樣本點(diǎn)．方法三(坐標(biāo)系法)如圖所示，坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和，樣本點(diǎn)與所描述的點(diǎn)一一對應(yīng)．由圖可知，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為36.(2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”可用集合表示為{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．易錯(cuò)辨析不能正確理解試驗(yàn)結(jié)果致誤例5

隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭，觀察兩個(gè)孩子的性別．(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示隨機(jī)事件A＝“一個(gè)男孩，一個(gè)女孩”．解析：(1)因?yàn)閮蓚€(gè)孩子的性別共有“兩男”“兩女”“男女”“女男”四種基本結(jié)果，所以樣本空間Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．(2)因?yàn)椤耙粋€(gè)男孩，一個(gè)女孩”的結(jié)果有兩種，所以A＝{(男，女)，(女，男)}．易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得將“一男一女”與“一女一男”兩種結(jié)果錯(cuò)認(rèn)為是一種結(jié)果，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)．1.把握隨機(jī)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì)，明確試驗(yàn)的條件．2．若在題干中強(qiáng)調(diào)了“先后”“依次”“順序”“前后”就必須注意順序問題，列舉樣本空間與隨機(jī)事件時(shí)要做到不重不漏．課堂十分鐘1．下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為(

)①明天是陰天；②方程x2＋2x＋5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③明年鴨河水庫儲(chǔ)水量將達(dá)到80%；④一個(gè)三角形的大邊對大角，小邊對小角．A．1B．2

C．3D．4答案：B解析：①③是隨機(jī)事件；④是必然事件；Δ＝4－20<0，無實(shí)數(shù)根，②是不可能事件．2．下列事件是必然事件的是(

)A．從分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到標(biāo)有數(shù)字4的標(biāo)簽B．函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)為增函數(shù)C．平行于同一條直線的兩條直線平行D．隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù)x，得2x<0答案：C解析：A是隨機(jī)事件，5張標(biāo)簽都可能被取到；B是隨機(jī)事件，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝logax為減函數(shù)；C是必然事件；D是不可能事件，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象可得，對任意實(shí)數(shù)x，2x>0.3．從1，2，3，…，10這10個(gè)數(shù)中，任取3個(gè)數(shù)，那么“這3個(gè)數(shù)的和不大于8”這一事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(

)A．4B．5C．6D．7答案：A解析：從1，2，3，…，10這10個(gè)數(shù)中，任取3個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)之和不大于8，列舉如下：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}四種情況．4．從數(shù)字1，2，3，4，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，則事件A＝“這個(gè)兩位數(shù)大于40”的集合表示是________________________________．{41，42，43，45，51，52，53，54}解析：因?yàn)檫@個(gè)兩位數(shù)大于40，所以十位數(shù)字為4或5，所以A＝{41，42，43，45，51，52，53，54}．5．隨意安排甲、乙、丙三人在3天節(jié)假日中值班，每天1人值班，試寫出值班順序的樣本空間．解析：樣本空間Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．高中數(shù)學(xué)湘教版必修第二冊第五章概率5.1隨機(jī)事件與樣本空間5.1.2事件的運(yùn)算教材要點(diǎn)要點(diǎn)事件的運(yùn)算事件的關(guān)系定義表示法圖示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，即事件A中的每個(gè)樣本點(diǎn)都在B中，則稱A包含于B，或B包含A.對于任何事件A，都有??A?Ω.________事件相等對于事件A，B，如果A?B，且B?A，則稱A與B等價(jià)，或稱A與B相等．A＝B兩個(gè)相等的圓A?B事件的交(或積)如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B________發(fā)生，則稱該事件為事件A與B的交(或積)．________(或AB)事件的并(或和)如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A________事件B發(fā)生，則稱該事件為事件A與B的并(或和)．________(或A＋B)互斥事件同時(shí)

或

不可能事件的差如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則稱該事件為事件A與B的差．________事件對立如果某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A不發(fā)生，則稱該事件為A的對立事件．Ω\A或________A\B

狀元隨筆(1)事件A與事件B互為對立事件，則集合A與集合B互為補(bǔ)集．(2)若事件A與事件B相互對立，那么事件A與事件B一定互斥，事件A與事件B互斥，A與B不一定對立．(3)事件A與事件B互為對立事件，也即事件A與事件B有且只有一個(gè)發(fā)生．

√×√×2．抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對立事件為(

)A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案：B解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9種結(jié)果，故它的對立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．(多選)從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品”，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．A與C互斥

B．B與C互斥C．任何兩個(gè)都互斥

D．任何兩個(gè)都不互斥答案：ABC解析：由題意知事件A、B、C兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，因此兩兩互斥．

至少有一次中靶

題型1事件關(guān)系的判斷例1某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件：(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”與“全是男生”；(3)“至少有1名男生”與“全是女生”；(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”．解析：從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件；但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí)，該兩事件都不發(fā)生，所以它們不是對立事件．(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果，與事件“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥，由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1男1女時(shí)，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件．方法歸納(1)要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件，只需要分別找出各個(gè)事件包含的所有結(jié)果，看它們之間能不能同時(shí)發(fā)生．在互斥的前提下，看兩個(gè)事件的并事件是否為必然事件，從而可判斷是否為對立事件．(2)事件的結(jié)果間是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對于較難判斷的關(guān)系，也可考慮列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析．跟蹤訓(xùn)練1

從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，點(diǎn)數(shù)均為1～10)中任取一張．判斷下面給出的每對事件是不是互斥事件，是不是對立事件，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌的點(diǎn)數(shù)大于9”．

解析：(1)是互斥事件，但不是對立事件．理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是因?yàn)檫€可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．(2)既是互斥事件，又是對立事件．理由：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對立事件．理由：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得點(diǎn)數(shù)為10的牌．因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對立事件．題型2事件的運(yùn)算例2

盒子里有6個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{取得的3個(gè)球有1個(gè)紅球、2個(gè)白球}，事件B＝{取得的3個(gè)球有2個(gè)紅球、1個(gè)白球}，事件C＝{取得的3個(gè)球至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{取得的3個(gè)球既有紅球又有白球}．問：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？

變式探究在本例中，設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)白球}，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？

方法歸納事件間的運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算．(2)利用Venn圖．借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算．