新教材2023版高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何4向量在立體幾何中的應(yīng)用4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系第1課時(shí)直線與直線直線與平面的夾角學(xué)生用書北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第1課時(shí)直線與直線、直線與平面的夾角[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一空間兩直線的夾角若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b所成的角θ∈________，且θ與兩個(gè)方向向量所成的角〈a，b〉________或________，也就是說：當(dāng)0≤〈a，b〉≤π2時(shí)，θ＝________當(dāng)π2＜〈a，b〉≤π時(shí)，θ＝π－〈a，b〉，故cosθ＝________要點(diǎn)二直線與平面的夾角設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量，n是平面α的一個(gè)法向量，則直線l與平面α所成的角θ∈0，π2，且θ＝π2－〈l，n〉(圖1)，或θ＝〈l，n〉－π2(圖2)，故sinθ＝|cos〈[基礎(chǔ)自測(cè)]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等．()(2)直線與平面的夾角都是銳角．()(3)直線與平面所成的角等于直線與該平面法向量夾角的余角．()(4)當(dāng)直線與平面的夾角為0°時(shí)，說明直線與平面平行．()2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均錯(cuò)3．設(shè)直線l1的方向向量為s1＝(1，1，1)，直線l2的方向向量為s2＝(－2，2，－2)，則l1，l2夾角的余弦值為()A．－13B．C．33D．4．已知直線l的方向向量為s＝(1，0，0)，平面π的法向量為n＝(2，1，1)，則直線與平面夾角的正弦值為__________．題型一直線間的夾角例1如圖所示，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求異面直線A1B與O1A夾角的余弦值．方法歸納求異面直線的夾角，用向量法比較簡(jiǎn)單，若用基向量求解，則必須選好空間的一組基向量，若用坐標(biāo)系求解，一定要將每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫正確．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求異面直線BA1和AC的夾角．題型二直線與平面間的夾角例2正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，求AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角．方法歸納求直線與平面所成角的步驟1．分析圖形關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系；2．求出直線的方向向量a和平面的法向量n；3．求出夾角〈a，n〉；4．判斷直線和平面所成的角θ和〈a，n〉的關(guān)系，求出角θ.跟蹤訓(xùn)練2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD所成的角．題型三線面角的綜合問題例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC＝12AD，E為AD的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)O(1)證明：PO⊥平面ABCD；(2)求直線BC與平面PBD所成角的正弦值．方法歸納根據(jù)圖形與已知條件，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，本題建系是解決線面角的關(guān)鍵所在．跟蹤訓(xùn)練3如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(diǎn)．(1)證明：EF⊥BC；(2)求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值．[課堂十分鐘]1．若平面α的一個(gè)法向量為n＝(4，1，1)，直線l的一個(gè)方向向量為a＝(－2，－3，3)，則直線l與平面α夾角的余弦值為()A．－1111B．C．－11011D．2．已知在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DC的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則直線A．1010B．C．－1010D．－3.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是上底棱CD、BC的中點(diǎn)，AB1與平面B1D1EF所成的角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知直線l1的一個(gè)方向向量為a＝(1，－1，2)，直線l2的一個(gè)方向向量為b＝(3，－2，0)，則兩條直線夾角的余弦值為________．5．已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N為AB上一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC(1)求異面直線CM與SN的夾角；(2)求SN與平面 CMN的夾角．第1課時(shí)直線與直線、直線與平面的夾角新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一0，π2相等互補(bǔ)〈a，b〉|cos〈a，[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，則sinθ＝|cos120°|＝12，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝答案：C3．解析：∵cos〈s1，s2〉＝（－2）∴l(xiāng)1，l2夾角的余弦值為1故選B.答案：B4．解析：∵cos〈s，n〉＝s·n|s||n|＝21×6＝∴直線l與平面π的夾角θ＝π2－〈s，n∴sinθ＝sin(π2-〈s，n〉)＝cos答案：6題型探究·課堂解透例1解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O(0，0，0)，O1(0，1，3)，A(3，0，0)，A1(3，1，3)，B(0，2，0)，∴A1B＝(－3，1，－3O1A＝(3，－1，－∴|cos〈A1B，O1A＝|（－3，∴異面直線A1B與O1A夾角的余弦值為17答案：1跟蹤訓(xùn)練1解析：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a).∴BA1＝(0，－a，a)，AC＝(－a，a，∴cos〈BA1，AC＝-a2∴〈BA1，AC〉＝2π3，∴異面直線BA1和答案：π例2解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，()則A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，2a)，C1(-32a,a2,2a)，B1則AB＝(0，a，0)，AA1＝(0，0，2a設(shè)側(cè)面ABB1A1的法向量為n＝(λ，x，y)，則n·AB＝0，且n·AA1＝∴ax＝0，且2ay＝0，∴x＝y(tǒng)＝0，故n＝(λ，0，0).又AC1＝(-3∴cos〈AC1，n〉＝AC1·設(shè)AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為θ，則sinθ＝|cos〈AC1，n〉|＝∴θ＝30°，即AC1與側(cè)面ABB1A1的夾角為30°.跟蹤訓(xùn)練2解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0，0，0，)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1).所以A1B＝(0，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1B1＝(0，1，0).設(shè)平面A1B1CD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，由n⊥A1D所以x故可取n＝(1，0，－1).故cos〈A1B，n〉＝11所以〈A1B，n〉＝所以A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.例3解析：(1)證明：∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，∴AP⊥CD，∵AD∥BC，BC＝12AD，E為AD的中點(diǎn)，則BC∥DE且BC＝DE∴四邊形BCDE為平行四邊形，∴BE∥CD，∴AP⊥BE.又∵AB⊥BC，AB＝BC＝12AD，且E為AD的中點(diǎn)，∴四邊形ABCE為正方形，∴BE⊥AC，又AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC∵PO?平面APC，∴BE⊥PO.∵AP⊥平面PCD，PC?平面PCD，∴AP⊥PC，又AC＝2AB＝2AP，∴△PAC為等腰直角三角形，∵O為斜邊AC上的中點(diǎn)，∴PO⊥AC且AC∩BE＝O，∴PO⊥平面ABCD(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示．不妨設(shè)OB＝1，則B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－2，1，0)，則BC＝(－1，1，0)，PB＝(1，0，－1)，PD＝(－2，1，－1).設(shè)平面PBD的法向量為n＝(x，y，z)，則n·PB即x令z＝1，得n＝(1，3，1).設(shè)BC與平面PBD所成角為θ，則sinθ＝|cos〈BC，n〉|＝|－1×跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)證明：方法一：如圖，連接A1E，因?yàn)锳1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC.又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F，又A1E∩A1F＝A1，所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.方法二：連接A1E，因?yàn)锳1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.不妨設(shè)AC＝4，則A1(0，0，23)，B(3，1，0)，B1(3，3，23)，F(xiàn)(32,32,23)，因此，EF＝(32,BC＝(－3，1，0)，由EF·BC＝0，得EF⊥BC.(2)設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ.由(1)可得BC＝(－3，1，0)，A1C＝(0，2，－2設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x，y，z)，由BC·n取n＝(1，3，1)，故sinθ＝|cos〈EF，n〉|＝|EF·n因此，直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為35[課堂十分鐘]1．解析：∵cos〈a，n〉＝a·n|a||∴直線l與平面α夾角的正弦值為4311，余弦值為1-（4答案：D2．解析：∵A(2，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，1，0)，D1(0，2，2)，∴AB1＝(0，－2，2)，ED1＝(0，1|AB1|＝22，|ED1|＝5，AB1·ED1＝0－∴cos〈AB1，ED1〉＝|AB1∴直線AB1與ED1夾角的余弦值為1010.故選答案：A3．解析：建立以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系D1-xyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則：A(1，0，1)，B1(1，1，0)，D1(0，0，0)，E(0，12，1)，設(shè)平面D1B1E的法向量為n＝(x，y，z則n·D1解得n＝(1，－1，12又AB1＝(0，1，－設(shè)直線AB1與平面B1D1EF所成的角的大小為θ故可得sinθ＝|cos〈n，AB1〉|＝故可得AB1與平面B1D1EF所成的角的大小為π4故選B.答案：B4．解析：據(jù)題意知cos〈a，b〉＝a·b|a||b|答案：55．解析：設(shè)PA＝1