新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章直線與圓1直線與直線的方程1.6平面直角坐標(biāo)系中的距離公式第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離公式兩條平行直線間的距離公式學(xué)生用書北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離公式兩條平行直線間的距離公式[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離公式1．概念：點(diǎn)到直線的距離d就是點(diǎn)到直線的________的長．2．公式：點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝____________________．狀元隨筆(1)點(diǎn)到直線的距離公式的形式是：分母是直線方程Ax＋By＋C＝0的x項(xiàng)、y項(xiàng)系數(shù)平方和的算術(shù)平方根，分子是用x0，y0替換直線方程中x，y所得實(shí)數(shù)的絕對(duì)值．(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上時(shí)，有Ax0＋By0＋C＝0，即d＝0.(3)點(diǎn)到幾種特殊直線的距離：①點(diǎn)P(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|；②點(diǎn)P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|；③點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝a的距離d＝|y0－a|；④點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝b的距離d＝|x0－b|.(4)若給出的直線方程不是一般式，則應(yīng)先化為一般式再利用公式求距離．要點(diǎn)二兩條平行直線間的距離1．概念：兩條平行直線間的距離就是夾在兩條平行直線間的________的長．2．公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全為0，且C1≠C2)之間的距離d＝________．狀元隨筆①求兩平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式．②利用公式求平行線間的距離時(shí)，兩直線方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．③當(dāng)兩直線都與x軸(或y軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決．當(dāng)兩直線都與x軸垂直時(shí)，l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|；當(dāng)兩直線都與y軸垂直時(shí)，l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|.[基礎(chǔ)自測]1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0的距離是|C1－C2|.()(2)原點(diǎn)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式是CA2+(3)平行線間的距離是兩平行線上兩點(diǎn)間距離的最小值．()2．兩條平行線l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距離為()A．3B．2C．1D．13．若第二象限內(nèi)的點(diǎn)P(m，1)到直線x＋y＋1＝0的距離為2，則m的值為________．題型一點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用例1(1)已知點(diǎn)A(a，2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝()A．2B．2－2C．2－1D．2＋1(2)垂直于直線x＋3y－5＝0且與點(diǎn)P(－1，0)的距離是3510的直線l的方程是方法歸納點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(2，2)到直線4x＋3y＋5＝0的距離為________．(2)若直線l到直線x－2y＋4＝0的距離和原點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線l的方程是________．題型二兩條平行線間的距離例2(1)兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________．(2)已知直線l與兩直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程為________．方法歸納求兩條平行線間距離的方法求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝b1-b2k2+1；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí)，d＝跟蹤訓(xùn)練2(1)已知兩平行直線l1，l2分別過點(diǎn)P(－1，3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離的取值范圍是()A．(0，＋∞)B．[0，5]C．(0，5]D．[0，17](2)已知直線l1：2x＋3y＝1和直線l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為2∶1，則直線l的方程為________________.題型三對(duì)稱問題例3如圖，一束光線從原點(diǎn)O(0，0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點(diǎn)P(－4，3)，求反射光線的方程及光線從O點(diǎn)到達(dá)P點(diǎn)所走過的路程．先求出原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，然后利用反射光線的反向延長線過對(duì)稱點(diǎn)可求方程．方法歸納光線的入射、反射的問題以及在某定直線取點(diǎn)，使它與兩定點(diǎn)距離之和最小這類問題均屬于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題．(1)點(diǎn)A(x0，y0)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0的對(duì)稱點(diǎn)M(x，y)，可由方程組y-(2)常用對(duì)稱的特例有：①A(a，b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(a，－b)；②B(a，b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－a，b)；③C(a，b)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為C′(b，a)；④D(a，b)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為D′(－b，－a)；⑤P(a，b)關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)關(guān)于直線y＝n的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(a，2n－b)．跟蹤訓(xùn)練3若點(diǎn)P(m，0)到點(diǎn)A(－3，2)及B(2，8)的距離之和最小，求實(shí)數(shù)m的值．易錯(cuò)辨析選用直線方程的形式不當(dāng)引發(fā)錯(cuò)誤例4過點(diǎn)P(2，5)，且與點(diǎn)(－4，1)距離等于6的直線方程為________．解析：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式得：-4k-1-2k+5k2故所求直線方程為5x＋12y－70＝0.當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線平行于y軸，直線方程為x＝2，符合題意．綜上，所求直線方程為5x＋12y－70＝0或x＝2.答案：5x＋12y－70＝0或x＝2【易錯(cuò)警示】易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽略了直線的斜率不存在的情況而漏解致錯(cuò)．一般地，求直線方程，設(shè)為點(diǎn)斜式或斜截式是常見的兩種形式．因此，一定要考慮斜率不存在而直線存在的形式．[課堂十分鐘]1．原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離d為()A．1B．3C．2D．52．已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為()A．1B．2C．3D．23．[多選題]若直線l1與直線l：3x－4y－20＝0平行且距離為3，則直線l1的方程為()A．3x－4y－5＝0B．3x－4y－35＝0C．3x－4y－23＝0D．3x－4y－17＝04．已知兩條平行直線l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0之間的距離為2，則b＋c＝________．5．點(diǎn)A(2，2)關(guān)于直線2x－4y＋9＝0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為________．第2課時(shí)點(diǎn)到直線的距離公式兩條平行直線間的距離公式新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一1．垂線段2.|Ax0＋By0＋要點(diǎn)二1．公垂線段2.|[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)√2．解析：由平行線間的距離公式得：d＝|-7-(答案：C3．解析：由|m+1+1|12+12＝2，得m又∵m＜0，∴m＝－4.答案：－4題型探究·課堂解透例1解析：(1)由點(diǎn)到直線的距離公式知，d＝|a-2+3|2＝|a+1|2＝1，得a＝－1±2.又∵a＞0，∴(2)設(shè)與直線x＋3y－5＝0垂直的直線的方程為3x－y＋m＝0，則由點(diǎn)到直線的距離公式知：d＝|3×（－1）－0所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.得m＝9或m＝－3，故所求直線l的方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.答案：(1)C(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝|4×2+3×(2)由題意設(shè)所求l的方程為x－2y＋C＝0，則|C－4|12+（-2）2＝|C|12+（-答案：(1)195(2)x－2y＋2＝例2解析：(1)由題意，得63＝m∴m＝2，將直線3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，由兩平行線間距離公式，得|-1+6|62+(2)設(shè)直線l的方程為2x－y＋C＝0，由題意，得|3-C|22+12＝|C+1|22+12，解得C＝1，答案：(1)104(2)2x－y＋1＝跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)當(dāng)直線l1，l2與直線PQ垂直時(shí)，它們之間的距離d達(dá)到最大，此時(shí)d＝[2-(-1)]2+（-1-(2)直線l1的方程可轉(zhuǎn)化為4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可設(shè)直線l的方程為4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9).由題意，可得|C+2|42+62＝2×|C+9|42+62，解得C＝－16或C＝－203.故直線l的方程為4x＋6y－16＝0或4x＋6y－203＝0，即2x＋3y－8答案：(1)C(2)2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0例3解析：設(shè)原點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b)，由直線OA與l垂直和線段AO的中點(diǎn)在l上得b解得a∴A的坐標(biāo)為(4，3)，∵反射光線的反向延長線過A(4，3)，又由反射光線過P(－4，3)，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等．故反射光線所在直線方程為y＝3.由方程組

y解得x由于反射光線為射線，故反射光線的方程為y＝3(x≤78由光的性質(zhì)可知，光線從O到P的路程即為AP的長度|AP|，由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，∴光線從O經(jīng)直線l反射后到達(dá)P點(diǎn)所走過的路程為8.跟蹤訓(xùn)練3解析：點(diǎn)A(－3，2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－3，－2).因?yàn)辄c(diǎn)P(m，0)在x軸上，由對(duì)稱性可知|PA|＝|PA′|，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，所以當(dāng)A′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|＋|PB|最?。?yàn)閗A′B＝8-22+3所以直線A′B的方程為y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.令y＝0，得x＝－2，即A′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，0)，所以所求實(shí)數(shù)m的值為－2.[課堂十分鐘]1．解析：d＝|0＋2×0－5|1答案：D2．解析：l1的斜率為k1＝－1，l2的斜率為k2＝－1.∵k1＝k2，∴l(xiāng)1∥l2.∴l(xiāng)1，l2之間的距離為|1－(-1)|1答案：B3．解析：設(shè)l1的方程為3x－4y＋m＝0.由題意得|m＋20|3解得m＝－5或m＝－35，所以l1的方程為3x－4y－5＝0或3