（全國通用）中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題13 二次函數(shù)的應(yīng)用（10個高頻考點）（舉一反三）（原卷版+解析）

專題13二次函數(shù)的應(yīng)用（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1圖形面積或周長問題】 1【考點2圖形運動問題】 4【考點3拱橋問題】 5【考點4銷售問題】 7【考點5投球問題】 10【考點6噴水問題】 12【考點7增長率問題】 14【考點8車過隧道問題】 15【考點9行程問題】 17【考點10其他問題】 19【要點1解二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題；檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【考點1圖形面積或周長問題】【例1】（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC=8dm．現(xiàn)計劃將此余料進行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由．【變式1-1】（2022·山東威海·統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．【變式1-2】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD=4m，寬AB=1m的長方形水池ABCD進行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為12m【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長長度DM為xmx>0，加長后水池1的總面積為y1m2，則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1=x+4x>0；設(shè)水池2的邊EF的長為x【問題解決】(1)若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則EF長度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________m2(2)在圖③字母標注的點中，表示兩個水池面積相等的點是_________，此時的xm(3)當水池1的面積大于水池2的面積時，xm(4)在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時x的值；(5)假設(shè)水池ABCD的邊AD的長度為bm，其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積y3m2關(guān)于xmx>0的函數(shù)解析式為：【變式1-3】（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？【考點2圖形運動問題】【例2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接(1)當EQ⊥AD時，求t的值；(2)設(shè)四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【變式2-1】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，AB=23，BC=6，點O是BC的中點．點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC勻速運動；點F從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線OC勻速運動．E，F(xiàn)兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒（0≤t≤52），在兩點運動過程中，以EF為邊作等邊三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線(1)若點G落在邊AD上，求t的值；(2)若t=2，求△EFG和矩形ABCD重疊部分的周長；(3)在整個運動過程中，設(shè)△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)表達式．【變式2-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應(yīng)點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設(shè)BE＝x．（1）當AM＝13時，求x（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出該定值；（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值．【變式2-3】（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┮阎喝鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點P從點B出發(fā)，沿BC向點C勻速運動，速度為1cm/s；過點P作PD∥AB，交AC于點D，同時，點Q從點A出發(fā)，沿AB(1)當t為何值時，四邊形ADPQ為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S四邊形ADPQ:【考點3拱橋問題】【例3】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【變式3-1】（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設(shè)計要求：OE=10m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到OE的距離均為6m，求點A、B【變式3-2】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．【變式3-3】（2022·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）圖示為一座拱橋，當水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面的距離為2m．(1)若圖中的拱形呈拋物線形狀，當水面下降1m后，水面寬為多少？(2)若圖中的拱形呈圓弧形狀，當水面下降1m后，水面寬又為多少？【考點4銷售問題】【例4】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；(2)當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當B品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【變式4-1】（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【變式4-2】（2022·遼寧盤錦·中考真題）精準扶貧工作已經(jīng)進入攻堅階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：x（天）123…x每天的銷售量（千克）101214…

設(shè)第x天的售價為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如下圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤是w元．（利潤＝銷售收入﹣成本）(1)將表格中的最后一列補充完整；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)求銷售草莓的第幾天時，當天的利潤最大？最大利潤是多少元？【變式4-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）“八婺”菜場指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計售價與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y1（噸）關(guān)于售價x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達式為y售價x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y2（噸）關(guān)于售價x（元/千克）的函數(shù)表達式為y③1~7月份該蔬菜售價x1（元/千克），成本x2（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達式分別為x1請解答下列問題：(1)求a，c的值．(2)根據(jù)圖2，哪個月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時的售價，以及按此價格出售獲得的總利潤．【考點5投球問題】【例5】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖1的小山丘是科研部門的小球彈射實驗場地，在小山丘一側(cè)的山坡上建有小球彈射發(fā)射裝置，另一側(cè)建有圓柱形小球接收裝置，如圖2為實驗場地的縱截面示意圖，小山丘縱截面的外部輪廓線近似為拋物線的一部分，以小山丘縱截面與地面的交線為x軸，以過發(fā)射裝置所在的直線AB為y軸，建立平面直角坐標系，發(fā)射裝置底部在輪廓線的點A處，距離地面為1米，在發(fā)射裝置3米的點B處是發(fā)射點，已知小山丘縱截面的外部輪廓線為C1:y=?1(1)直接寫出c的值，當小球離B處的水平距離和豎直距離都為4米時，求b的值，并求小球到小山丘的豎直距離為1米時，小球離B處的水平距離；(2)若小球最遠著陸點到y(tǒng)軸的距離為15米，當小球飛行到小山丘頂?shù)恼戏?，且與頂部距離不小于23米時，求b的取值范圍，并求小球飛行路線的頂點到x(3)圓柱形小球接收裝置的最大截面為矩形CDEF，已知點E在C1上，其橫坐標為14，CF∥x軸，CD=1.5，DE=1．若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），請直接寫出b【變式5-1】（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y=?112x【變式5-2】（2022·山東青島·校考二模）如圖，一小球M從斜坡OA上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)y=12x(1)求拋物線的表達式；(2)在斜坡OA上的B點有一棵樹，B點的橫坐標為2，樹高為4，小球M能否飛過這棵樹？通過計算說明理由；(3)求小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度．【變式5-3】（2022·河北邯鄲·校考三模）某乒乓球館使用發(fā)球機進行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的長為2.74m．過點A作OA⊥BC，垂足為O，OB＝0.03m，以點O為原點，以直線BC為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運動路線為拋物線的一部分L，設(shè)乒乓球與出球口A的水平距離為x（m），到桌面的高度為y（m），運行時間為t（s），在桌面上的落點為D，經(jīng)測試，得到如下部分數(shù)據(jù)：t（s）00.20.40.60.8．．．x（m）00.511.52．．．y（m）0.250.40.450.40.25．．．(1)當t＝s時，乒乓球達到最大高度；猜想y與x之間是否存在二次函數(shù)關(guān)系，如果存在，求出函數(shù)關(guān)系式；如果不存在，請說明理由；(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，求乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過多長時間位于球網(wǎng)正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(3)乒乓球落在點D后隨即彈起，沿拋物線L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路線運動，小明拿球拍EF與桌面夾角為60°接球，球拍中心線EF長為0.16m，下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線L，L′與EF在同一平面內(nèi)，且乒乓球落在EF上（含端點，點E在點C右側(cè)），求p的值，并直接寫出EF到桌邊的距離【考點6噴水問題】【例6】（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高2.5m時，水柱落點距O點2.5m；噴頭高4m時，水柱落點距O點3m．那么噴頭高_______________m時，水柱落點距O點4m．【變式6-1】（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標系，并設(shè)拋物線的表達式為y=ax??(1)求拋物線的表達式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【變式6-2】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為?（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE=3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d(1)若?=1.5，EF=0.5m①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍；(2)若EF=1m．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出?【變式6-3】（2022·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目．如圖，運動員通過助滑道后在點A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點P處．騰空點A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4，以O(shè)為原點，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．已知這段拋物線經(jīng)過點（4，75），（8，78）．(1)求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達式；(2)在空中飛行過程中，求運動員到坡面BC豎直方向上的最大距離；(3)落點P與坡頂C之間的距離為m．【考點7增長率問題】【例7】（2022·山東東營·統(tǒng)考一模）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？【變式7-1】（2022·浙江麗水·校聯(lián)考三模）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2021年第一季度GDP總值約為2.4千億元人民幣，若我市第三季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是（）A．y=2.41+2x B．C．y=2.41+x2 【變式7-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）某工廠前年的生產(chǎn)總值為10萬元，去年比前年的年增長率為x，預(yù)計今年比去年的年增長率仍為x，今年的總產(chǎn)值為y萬元．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．（2）當x=20%時，今年的總產(chǎn)值為多少？（3）在（2）的條件下，前年、去年和今年三年的總產(chǎn)值為多少萬元？【變式7-3】（2022·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考二模）為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進舊房改造工作的實施方案》推進新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；（2）該市計劃對某小區(qū)進行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？【考點8車過隧道問題】【例8】（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）【綜合與實踐】如圖1，一個橫斷面呈拋物線狀的公路隧道，其高度PH為8米，寬度OA為16米．車輛在此隧道可以雙向通行，但規(guī)定車輛必須在隧道的中心線右側(cè)、距離路邊緣2米（AB=2米）這一范圍內(nèi)行駛，并保持車輛頂部與隧道的最小空隙CD不少于12米．如圖2，以O(shè)點為原點，OA所在直線為x(1)直接寫出點A的坐標是______，拋物線頂點P的坐標是______；(2)求出這條拋物線的函數(shù)表達式；(3)根據(jù)題中的要求，可以確定通過隧道車輛的高度不能超過______米．【變式8-1】（2022·北京房山·統(tǒng)考一模）如圖，一個單向隧道的斷面，隧道頂是一條拋物線的一部分，經(jīng)測量，隧道頂?shù)目缍葹?米，最高處到地面的距離為4米，兩側(cè)墻高均為3米，距左側(cè)墻壁1米和3米時，隧道高度均為3.75米．設(shè)距左側(cè)墻壁水平距離為x米的地點，隧道高度為y米．請解決以下問題：(1)在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担鶕?jù)題中數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接；(2)請結(jié)合所畫圖象，寫出拋物線的對稱軸；(3)今有寬為2.4米的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的高度為3.2米，要求卡車從隧道中間通過時，為保證安全，要求卡車載物后最高點到隧道頂面對應(yīng)的點的距離均不小于0.6米，結(jié)合所畫圖象，試判斷該卡車能否通過隧道．【變式8-2】（2022·湖北武漢·統(tǒng)考一模）某坦克部隊需要經(jīng)過一個拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．（1）以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；（2）若支柱每米造價為2萬元，求5根支柱的總造價；（3）拱橋下面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道是坦克的行進方向，現(xiàn)每輛坦克長4m，寬2m，高3m，行駛速度為24km/h，坦克允許并排行駛，坦克前后左右距離忽略不計，試問120輛該型號坦克從剛開始進入到全部通過這座長1000m的拱橋隧道所需最短時間為多少分鐘？【變式8-3】（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設(shè)點P1的橫坐標為m0<m≤6，求柵欄總長l與（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“”型或“”型柵型兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4【考點9行程問題】【例9】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1是城市平直道路，道路限速60km/h，A路口停車線l1和B路口停車線l2之間相距S＝400m，A、B兩路口各有一個紅綠燈．在停車線l1后面停著一輛汽車，該汽車的車頭恰好與停車線l1平齊，已知汽車啟動后開始加速，加速后汽車行駛的路程S、速度v與時間(1)求該汽車從停車線l1(2)求該汽車最快需要多少時間可以通過停車線l2(3)若A路口綠燈亮起29s后B路口綠燈亮起，且B路口綠燈的持續(xù)時間為23s．該汽車先加速行駛，然后一直勻速行駛．若該汽車在B路口綠燈期間能順利通過停車線l2【變式9-1】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考一模）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現(xiàn)前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關(guān)系分別可以用二次函數(shù)和一次函數(shù)表示，其圖象如圖所示．（1）當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？【變式9-2】（2022·安徽合肥·?？级＃┠称嚬緸榇_定一種型號的新能源汽車在高速公路上緊急剎車后滑行的距離y（單位：m）與剎車時的速度大小x（單位：km?）函數(shù)關(guān)系．測得該汽車在速度大小為40km/h時，緊急剎車后滑行的距離為4m；速度大小為80km/h時，緊急剎車后滑行的距離為12m．已知緊急剎車后滑行的距離y（單位：m）與剎車時的速度大小x(1)求a，b的值(2)若兩次測量中，剎車時的速度大小之差為20，滑行距離之差為6，求兩次測量中，剎車時的速度大小的平均值．【變式9-3】（2022·北京·?？家荒＃┠车叵胍ㄔ靸和本€斜坡軌道滑車設(shè)施（如圖），為防止滑車下滑速度過快，軌道與地面夾角要適度，根據(jù)兒童能夠在斜坡軌道上的滑行時間來確定直線斜坡軌道的長度．為解決此問題，小明用小車沿斜面滑下的實驗來模擬此過程．借助打點計時器（一種測量短暫時間的工具，每隔0.02s打一次點），讓小車帶動紙帶通過打點計時器，再按順序測得相鄰各點之間的距離數(shù)據(jù)如下表：時間（秒）00.020.040.060.080.10相鄰各點的距離（厘米）00.30.50.70.91.0(1)當時間為0.04秒時，滑行距離是______厘米；(2)請在下圖網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，以時間為橫坐標，以滑行距離為縱坐標，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計算并描點，用平滑的曲線連起來；(3)通過計算確定滑車能夠在斜坡軌道上滑行10秒時直線斜坡軌道的長度．【考點10其他問題】【例10】（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）某校為配合疫情防控需要，每星期組織學(xué)生進行核酸抽樣檢測；防疫部門為了解學(xué)生錯峰進入操場進行核酸檢測情況，調(diào)查了某天上午學(xué)生進入操場的累計人數(shù)y（單位：人）與時間x（單位：分鐘）的變化情況，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律符合函數(shù)關(guān)系式：y=a時間x（分鐘）0123…88<x?10累計人數(shù)y（人）0150280390…640640(1)求a，b，c的值；(2)如果學(xué)生一進入操場就開始排隊進行核酸檢測，檢測點有4個，每個檢測點每分鐘檢測5人，求排隊人數(shù)的最大值（排隊人數(shù)-累計人數(shù)-已檢測人數(shù)）；(3)在（2）的條件下，全部學(xué)生都完成核酸檢測需要多少時間？如果要在不超過20分鐘讓全部學(xué)生完成核酸檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點？【變式10-1】（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）為增強民眾生活幸福感，市政府大力推進老舊小區(qū)改造工程．和諧小區(qū)新建一小型活動廣場，計劃在360m2的綠化帶上種植甲乙兩種花卉．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種花卉種植費用y（元/m2）與種植面積x（m2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種花卉種植費用為15元/m2．(1)當x≤100時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)當甲種花卉種植面積不少于30m2，且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時．①如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費用w（元）最少？最少是多少元？②受投入資金的限制，種植總費用不超過6000元，請直接寫出甲種花卉種植面積x的取值范圍．【變式10-2】（2022·河北保定·校考一模）新型建材（即新型建筑材料）是區(qū)別于傳統(tǒng)的磚瓦、灰砂石等建材的建筑材料新品種，行業(yè)內(nèi)將新型建筑材料的范圍作了明確的界定，即新型建筑材料主要包括新型墻體材料、新型防水保溫隔熱密封材料和裝飾裝修材料三大類，某開發(fā)商承建一精密實驗室，要求全部使用新型建筑材料，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：新型建筑材料總成本包括裝飾裝修材料成本、新型墻體材料成本和新型防水保溫隔熱密封材料成本，其中裝飾裝修材料成本固定不變?yōu)?00萬元，新型墻體材料成本與建筑面積x（m2）成正比，新型防水保溫隔熱密封材料成本與建筑面積x（m2）的平方成正比，在建筑過程中，設(shè)新型建筑材料總成本為y（萬元），獲得如下數(shù)據(jù)：x（單位：m2）2050y（單位：萬元）240600(1)求新型建筑材料總成本為y（萬元）與建筑面積x（m2）的函數(shù)表達式；(2)在建筑過型中，開發(fā)商測算出此時每平方米的平均成本為12萬元，求此時完成的建筑面積；(3)設(shè)建設(shè)該廠房每平方米的毛利潤為Q（萬元）且有Q＝kx+b（k≠0），已知當x＝50時，Q為12.5萬元，且此時開發(fā)商總純利潤W最大，求k、b的值．（純利潤＝毛利潤﹣成本）【變式10-3】（2022·河北承德·統(tǒng)考二模）在建筑工人臨時宿舍外，有兩根高度相等且相距10米的立柱AB，CD垂直于水平地面上，在AB，CD間拉起一根晾衣繩，由于繩子本身的重力，使繩子無法繃直，其形狀可近似看成拋物線y=120x2+bx+c，已知繩子最低點距離地面74米．以點B為坐標原點，直線BD為(1)求立柱AB的長度；(2)一段時間后，繩子被抻長，下垂更多，為了防止衣服碰到地面，在線段BD之間與AB相距4米的地方加上一根立柱MN撐起繩子，這時立柱左側(cè)的拋物線F1的最低點相對點A下降了1米，距立柱MN也是1米，如圖2所示，求MN(3)若加在線段BD之間的立柱MN的長度是2.4米，并通過調(diào)整MN的位置，使拋物線F1的開口大小與拋物線y=112x2+1專題13二次函數(shù)的應(yīng)用（10個高頻考點）（舉一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考點1圖形面積或周長問題】 1【考點2圖形運動問題】 9【考點3拱橋問題】 19【考點4銷售問題】 26【考點5投球問題】 32【考點6噴水問題】 40【考點7增長率問題】 48【考點8車過隧道問題】 51【考點9行程問題】 58【考點10其他問題】 65【要點1解二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系）；設(shè)：設(shè)出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設(shè)變量的單位要準確；列：列函數(shù)解析式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)；解：按題目要求結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題；檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【考點1圖形面積或周長問題】【例1】（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB=8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC=8dm．現(xiàn)計劃將此余料進行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由．【答案】(1)96?325dm(2)20dm；(3)能切得半徑為3dm的圓．【分析】（1）先把二次函數(shù)解析式求出來，設(shè)正方形的邊長為2m，表示在二次函數(shù)上點的坐標，代入即可得到關(guān)于m的方程進行求解；（2）如詳解2中圖所示，設(shè)矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數(shù)解析式求解F點坐標，進而表示出矩形的周長求最大值即可；（3）設(shè)半徑為3dm的圓與AB相切，并與拋物線小腳，設(shè)交點為N，求出交點N的坐標，并計算點N是⊙M與拋物線在y軸右側(cè)的切點即可．【詳解】（1）由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，∵對稱軸為y軸，∴b=0，將A、C代入得，a=?12，則二次函數(shù)解析式為y=?1如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設(shè)其邊長為2m，則P點坐標可以表示為（m，2m）代入二次函數(shù)解析式得，?12m∴2m=45?4則正方形的面積為96?325（2）如下如所示矩形DEFG，設(shè)DE=2n，則E（n，0）將x=n代入二次函數(shù)解析式，得y=?1則EF=?1矩形DEFG的周長為：2（DE+EF）=2（2n+?12n當n=2時，矩形的周長最大，最大周長為20dm；（3）若能切成圓，能切得半徑為3dm的圓，理由如下：如圖，N為⊙M上一點，也是拋物線上一點，過點N作⊙M的切線交y軸于點Q，連接MN，過點N作NP⊥y軸于P，設(shè)Nm,?由勾股定理得：PM∴m解得：m1=22∴N2∴PM=4?3=1∵cos∴QM=3MN=9∴Q設(shè)QN的解析式為：y=kx+b∴b=12∴k=?2∴QN的解析式為：y=?2與拋物線聯(lián)立為：?1Δ所以此時N為⊙M與拋物線在y軸右側(cè)的唯一公共點，所以若切割成圓，能夠切成半徑為3dm的圓．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何結(jié)合，熟練掌握各圖形的性質(zhì)，能靈活運用坐標與線段長度之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．【答案】288m2【分析】設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長為47?x+12m，設(shè)雞場面積為ym2【詳解】解：設(shè)與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長為47?x+12m，設(shè)雞場面積為ym2根據(jù)題意，得y=x?47?x+1∴當x=24時，y有最大值為288，∴雞場面積的最大值為288m2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出二次函數(shù)解析式．【變式1-2】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD=4m，寬AB=1m的長方形水池ABCD進行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為12m【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長長度DM為xmx>0，加長后水池1的總面積為y1m2，則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1=x+4x>0；設(shè)水池2的邊EF的長為x【問題解決】(1)若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則EF長度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________m2(2)在圖③字母標注的點中，表示兩個水池面積相等的點是_________，此時的xm(3)當水池1的面積大于水池2的面積時，xm(4)在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時x的值；(5)假設(shè)水池ABCD的邊AD的長度為bm，其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積y3m2關(guān)于xmx>0的函數(shù)解析式為：【答案】(1)3<x<6；9(2)C，E；1，4；(3)0<x<1或4<x<6(4)94，(5)25【分析】（1）將函數(shù)解析式化為頂點式即可解決問題；（2）交點即為面積相等的點，聯(lián)立方程組，求出交點坐標即可；（3）觀察函數(shù)圖象，結(jié)合點C，點E的坐標可得結(jié)論；（4）求出面積差的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（5）根據(jù)面積相等列出一元二次方程，依據(jù)Δ=0，求出b【詳解】（1）∵y∴拋物線的頂點坐標為（3，9），對稱軸為x=3，∵水池2的面積隨EF長度的增加而減小，∴EF長度的取值范圍是3<x<6；水池2面積的最大值是9m2故答案為：3<x<6；9；（2）由圖象得，兩函數(shù)交于點C，E，所以，表示兩個水池面積相等的點是C，E；聯(lián)立方程組y=x+4y=?解得，x∴x的值為1或4，故答案為：C，E；1或4（3）由（2）知，C（1，5），E（4，8），又直線在拋物線上方時，0<x<1或4<x<6，所以，水池1的面積大于水池2的面積時，xm的取值范圍是0<x<1或4<x<6故答案為0<x<1或4<x<6；（4）在1<x<4范圍內(nèi)，兩個水池面積差M=(?x∵?1<0,∴函數(shù)有最大值，∵0<x<6∴當x=52即，當x=52（5）∵水池3與水池2的面積相等，∴x+b=?x整理得，x2∵xm∴Δ=解得，b=【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE=1m的水池且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？【答案】(1)CG長為8m，DG長為4m(2)當BC=72m時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=1474【分析】（1）兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-72)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當BC=72m時，y最大=1474m【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．【考點2圖形運動問題】【例2】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接CD．點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s．PQ交AC于點F，連接(1)當EQ⊥AD時，求t的值；(2)設(shè)四邊形PCDQ的面積為S(cm2)，求S(3)是否存在某一時刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)16(2)S=(3)存在，t=【分析】（1）利用△AQE∽△AED得AQAE=AE（2）分別過點C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分別為M，N，證△ABC∽△CAM得，ABCA=BCAM=ACCM，求得AM=125（3）當PQ∥CD時∠AQP=∠ADC，易證△APQ∽△MCD，得出APMC=AQMD，則（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，∵△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE∴AD=5∵EQ⊥AD∴∠AQE=∠AED=90°又∠EAQ=∠DAE∴△AQE∽△AED∴AQ∴t∴t=答：當EQ⊥AD時，t的值為165（2）解：分別過點C，P作CM⊥AD,PN⊥BC，垂足分別為M，N∵∠B+∠BAC=90°,∠CAM+∠BAC=90°∴∠B=∠CAM又∠BCA=∠AMC=90°∴△ABC∽△CAM∴AB∴5∴AM=∵∠B=∠B∴△BPN∽△BAC∴BP∴t∴PN=∴SS∴S==6+8?=∴S=（3）解：假設(shè)存在某一時刻t，使PQ∥CD∵AD=5,AM=∴DM=AD?AM=5?∵PQ∥CD∴∠AQP=∠ADC又∠PAQ=∠CMD=90°∴△APQ∽△MCD∴AP∴5?t∴t=∴存在時刻t=6529s【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與相似，利用勾股定理求線段長，平行線的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到相似圖形是解決問題的關(guān)鍵，是中考中的?？碱}．【變式2-1】（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，矩形ABCD中，AB=23，BC=6，點O是BC的中點．點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線BC勻速運動；點F從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線OC勻速運動．E，F(xiàn)兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒（0≤t≤52），在兩點運動過程中，以EF為邊作等邊三角形EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線(1)若點G落在邊AD上，求t的值；(2)若t=2，求△EFG和矩形ABCD重疊部分的周長；(3)在整個運動過程中，設(shè)△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)表達式．【答案】(1)1(2)11+(3)s=【分析】（1）由題意得BE=t，OF=2t，EFt=3＋t，列出方程求解即可；（2）設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點M，N，F(xiàn)G與CD相交于點K，求出KF=2，KC=3，再求出KN=2，MN=1，ME=4，最后求得△EFG和矩形ABCD重疊部分的周長；（3）分當0≤t≤1時、當1＜t≤32時、當32＜t≤52時，對三種情況進行討論，分別求出S(1)由題意，得OB=OC=3，BE=t，OF=2t，∴EF=OB－BE＋OF=3－t＋2t=3＋t．當G落在AD上時，如圖①，G到EF的距離為2∴EF=4，即3＋t=4，t=1．(2)當t=2時（如圖②），設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點M，N，F(xiàn)G與CD相交于點K，則BE=2，OF=4，EC=4，CF=1．在Rt△CFK中，∠F=60°，∴KF=2，KC=3．∵CD=23∴KC=3，即K是CD的中點．∴KN=2，MN=1，ME=4．∴重疊部分的周長=4+3+2+1+4=11+3．(3)(i)當0≤t≤1時，由（1）知，S=S△EFG=3(t+3)24(ii)當1＜t≤32設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點M，N，則MN=t－1，∴S=S四邊形MNFE=(t－1＋t＋3)×232=

(iii)當32＜t≤5設(shè)EG，F(xiàn)G分別與AD相交于點M，N，F(xiàn)G與CD相交于點K，則MN=t－1，CF=2t－3，CK=3(2t?3)∴S=S四邊形MNFE－S△CFK=(t－1＋t＋3)×232－3(2t?3)綜上所述，S=3【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何動點問題的有關(guān)知識以及多邊形面積求法，關(guān)鍵是根據(jù)特殊三角形的性質(zhì)，分類討論得出．【變式2-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應(yīng)點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設(shè)BE＝x．（1）當AM＝13時，求x（2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出該定值；（3）設(shè)四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值．【答案】（1）x＝59；（2）不變，△MDP的周長為2；（3）S=12t?122+【分析】（1）利用折疊的性質(zhì)得ME＝BE＝x，則AE＝1－x，在根據(jù)勾股定理列式求出x的值；（2）連接AM、BO，過點B作BH⊥MN，垂足為H，證明△BAM≌△BHM和Rt△BHP≌Rt△BCP，可以得到△PDM的周長就等于AD＋DC，是定值；（3）連接BM，過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，證明△AMB≌△QEF，得到AM＝EQ，設(shè)AM＝a，根據(jù)勾股定理列式得到a與x的關(guān)系式，表示出CF和BE長，得到三角形面積表達式，再求出最值．【詳解】（1）由折疊可知ME＝BE＝x，∴AE＝1－x，在Rt△AEM中，由AM＝13，得1解得x＝59（2）如圖，連接AM、BO，過點B作BH⊥MN，垂足為H，∵EB＝EM，∴∠EBM＝∠EMB，∵∠EBC＝∠EMN，∴∠MBC＝∠BMN，∵∠A＝∠MHB，BM＝BM，∴△BAM≌△BHM，∴AM＝HM，BH＝AB，∵BC＝AB，∴BH＝BC，∵BP＝BP，∴Rt△BHP≌Rt△BCP，∴HP＝PC，∴△MDP的周長＝MD＋DP＋MP＝MD＋DP＋MH＋HP＝MD＋AM＋DP＋PC＝AD＋DC＝2，∴△MDP的周長為2；（3）如圖，連接BM，過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，則QF＝BC＝AB，∵∠BEF＋∠EBM＝90°，∠AMB＋∠EBM＝90°，∴∠BEF＝∠AMB，∵∠A＝∠EQF，∴△AMB≌△QEF，∴AM＝EQ，設(shè)AM＝a，則a2∴a＝2x?1，∴CF＝x－2x?1，∴S＝12＝12(x－2x?1＋x＝12(2x－2x?1設(shè)2x?1＝t，則2x=tS=1∴當t＝12，即x＝58時，面積的最小值為【點睛】本題考查幾何動點問題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，折疊性質(zhì)的運用，全等三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)最值的求解，需要掌握數(shù)形結(jié)合的思想．【變式2-3】（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┮阎喝鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，點P從點B出發(fā)，沿BC向點C勻速運動，速度為1cm/s；過點P作PD∥AB，交AC于點D，同時，點Q從點A出發(fā)，沿AB(1)當t為何值時，四邊形ADPQ為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形ADPQ的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使S四邊形ADPQ:【答案】(1)20(2)y=(3)存在，2【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PQ∥（2）過點P作PE⊥AB，證明△BPE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PE、PD，根據(jù)梯形的面積公式計算即可；（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求出t，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理計算即可．【詳解】（1）解：∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4∴AB=A∵PD∥∴當PQ∥AC時，四邊形∴QBAB=BP解得，t=20答：當t=2013時，四邊形（2）解：過點P作PE⊥AB，垂足為E，∵∠PEB=∠C=90°，∠B=∠B，∴△BPE∽△BAC，∴PEAC=BP解得，PE=3∵PD∥∴∠DPC=∠B，∠C=∠C，∴△CPD∽△CBA，∴PDAB=CP解得，PD=20?5t∴y===9（3）解：若存在某一時刻，使S四邊形則y=∵S∴940解得，t1=0（舍去），則t為2s時，S【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理．【考點3拱橋問題】【例3】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【答案】149##【分析】根據(jù)已知得出直角坐標系，通過代入A點坐標（?3，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．【詳解】解：建立平面直角坐標系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標為（0，2），通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)=ax2+2，把點A點坐標（?3，0）代入得，∴9a+2=0，∴a=?2∴拋物線解析式為：y=?2當水面下降，水面寬為8米時，有把x=4代入解析式，得y=?2∴水面下降149故答案為：149【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標原點，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系．根據(jù)設(shè)計要求：OE=10m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9(1)求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點A、B處分別安裝照明燈．已知點A、B到OE的距離均為6m，求點A、B【答案】(1)y=?(2)A(5?【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a(x?5)2+9（2）根據(jù)題意知，A，B兩點的縱坐標為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點的橫坐標，從而可解決問題．【詳解】（1）依題意，頂點P(5,9)，設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a(x?5)將(0,0)代入，得0=a(0?5)2+9∴拋物線的函數(shù)表達式為y=?9（2）令y=6，得?9解之，得x1∴A(5?5【點睛】本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，由函數(shù)值求自變量的值的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．【答案】任務(wù)一：見解析，y=?120x2；任務(wù)二：懸掛點的縱坐標的最小值是【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意，以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，待定系數(shù)法求解析式即可求解；任務(wù)二：根據(jù)題意，求得懸掛點的縱坐標y≥?5+1.8+1+0.4=?1.8，進而代入函數(shù)解析式即可求得橫坐標的范圍；任務(wù)三：有兩種設(shè)計方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠；方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8m，根據(jù)題意求得任意一種方案即可求解．【詳解】任務(wù)一：以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，則頂點為(0,0)，且經(jīng)過點(10,?5)．設(shè)該拋物線函數(shù)表達式為y=ax則?5=100a，∴a=?1∴該拋物線的函數(shù)表達式是y=?1任務(wù)二：∵水位再上漲1.8m達到最高，燈籠底部距離水面至少1m，燈籠長0.4m，∴懸掛點的縱坐標y≥?5+1.8+1+0.4=?1.8，∴懸掛點的縱坐標的最小值是?1.8．當y=?1.8時，?1.8=?120x2，解得∴懸掛點的橫坐標的取值范圍是?6≤x≤6．任務(wù)三：有兩種設(shè)計方案方案一：如圖2（坐標系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠．∵?6≤x≤6，相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m，∴若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則1.6×4>6，若頂點一側(cè)掛3盞燈籠，則1.6×3<6，∴頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，∴共可掛7盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是?4.8．方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8m，∵若頂點一側(cè)掛5盞燈籠，則0.8+1.6×(5?1)>6，若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則0.8+1.6×(4?1)<6，∴頂點一側(cè)最多可掛4盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，∴共可掛8盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是?5.6．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立坐標系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022·湖北咸寧·統(tǒng)考一模）圖示為一座拱橋，當水面寬AB為12m時，橋洞頂部離水面的距離為2m．(1)若圖中的拱形呈拋物線形狀，當水面下降1m后，水面寬為多少？(2)若圖中的拱形呈圓弧形狀，當水面下降1m后，水面寬又為多少？【答案】（1）66m；（2）當水面下降1m后，水面寬為2【分析】（1）先建立直角坐標系，求出函數(shù)解析式，計算當y=-1時的橫坐標即可得到答案；（2）設(shè)弧AB的圓心為O，過點O作AB的垂線，交弧于點D，垂足為點C，連接OB，設(shè)圓的半徑為xm，根據(jù)勾股定理列方程求出半徑，設(shè)水位下降1m后的水面寬為EF，交OD于點M，根據(jù)勾股定理即可求出答案.【詳解】（1）以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，則點B（6，0），A（-6，0），∵（0，2）在拋物線上，∴設(shè)其拋物線為：y=ax2+2，把（6，0）代入得：0=a×62+2，∴a=?1∴拋物線為：y=?1當y=-1時，有?1=?1解得x=±36∴此時水面的寬為：2×36（2）如圖，設(shè)弧AB的圓心為O，過點O作AB的垂線，交弧于點D，垂足為點C，連接OB，則CD=2，BC=6．設(shè)圓的半徑為xm，則OC=(x-2)m由勾股定理得：(x-2)2+62=x2解得：x=10設(shè)水位下降1m后的水面寬為EF，交OD于點M，則OM=10-3=7(m)，

連接OF，由勾股定理得：MF=102∴當水面下降1m后，水面寬為251【點睛】此題考查函數(shù)解析式的求法，勾股定理，圓的性質(zhì)，正確理解拋物線和圓的圖形特點是解題的關(guān)鍵.【考點4銷售問題】【例4】（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購進A、B兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，總費用為8100元．(1)求A、B兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；(2)當B品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對B品牌粽子進行降價銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當B品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元(2)當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；（2）設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低a元，利潤為w元，列出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)A種品牌粽子每袋的進價是x元，B種品牌粽子每袋的進價是y元，根據(jù)題意得，100x+150y=7000180x+120y=8100解得x=25y=30故A種品牌粽子每袋的進價是25元，B種品牌粽子每袋的進價是30元；（2）解：設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價降低a元，利潤為w元，根據(jù)題意得，w=54?a?30∵?5<0，∴當B品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．【點睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式和二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)y=?2x+100；(2)40元或20元；(3)當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元；【分析】（1）直接由待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當天玩具的銷售單價是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出w與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】（1）解：由圖可知，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，把點（25，50）和點（35，30）代入，得25k+b=5035k+b=30，解得k=?2∴一次函數(shù)的解析式為y=?2x+100；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)當天玩具的銷售單價是x元，則(x?10)×(?2x+100)=600，解得：x1=40，∴當天玩具的銷售單價是40元或20元；（3）解：根據(jù)題意，則w=(x?10)×(?2x+100)，整理得：w=?2(x?30)∵?2<0，∴當x=30時，w有最大值，最大值為800；∴當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的找出題目的關(guān)系，從而進行解題．【變式4-2】（2022·遼寧盤錦·中考真題）精準扶貧工作已經(jīng)進入攻堅階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：x（天）123…x每天的銷售量（千克）101214…

設(shè)第x天的售價為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如下圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤是w元．（利潤＝銷售收入﹣成本）(1)將表格中的最后一列補充完整；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)求銷售草莓的第幾天時，當天的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)見解析(2)y＝{(3)銷售草莓的第30天時，當天的利潤最大，最大利潤是272元【分析】（1）設(shè)每天的銷售量為z，則用待定系數(shù)法可求出每天的銷售量與銷售天數(shù)x的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式填表即可；（2）根據(jù)圖像寫出分段函數(shù)即可；（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系列出x和w之間的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）設(shè)每天的銷量為z，∵每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，∴z＝sx+t，∵當x＝1時，z＝10，x＝2時z＝12，∴{s+t=10解得{s=2即z＝2x+8，當x=30時，銷售量z=68，則將表格中的最后一列補充完整如下表：x（天）123…30每天的銷售量（千克）101214…68（2）由函數(shù)圖像知，當0＜x≤20時，y與x成一次函數(shù)，且函數(shù)圖像過(10，14)，(20，9)，設(shè)y＝kx+b，∴{10k+b=14解得{k=?∴y＝-12當20＜x≤30時，y＝9，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝{?（3）由題意知，當0＜x≤20時，w＝(2x+8)(?12x+19?5)∴此時當x＝12時，w有最大值為256，當20＜x≤30時，w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，∴此時當x＝30時，w有最大值為272，綜上所述，銷售草莓的第30天時，當天的利潤最大，最大利潤是272元．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，熟練掌握一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）“八婺”菜場指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計售價與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y1（噸）關(guān)于售價x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達式為y售價x（元/千克）…2.533.54…需求量y1…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y2（噸）關(guān)于售價x（元/千克）的函數(shù)表達式為y③1~7月份該蔬菜售價x1（元/千克），成本x2（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達式分別為x1請解答下列問題：(1)求a，c的值．(2)根據(jù)圖2，哪個月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．(3)求該蔬菜供給量與需求量相等時的售價，以及按此價格出售獲得的總利潤．【答案】(1)a=?(2)在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大，見解析(3)該蔬菜供給量與需求量相等時的售價為5元/千克，按此價格出售獲得的總利潤為8000元【分析】（1）運用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)w=x（3）根據(jù)題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤即可．（1）把x=3,y=7.2，x=4,y=5.8代入9a+c=7.2,②-①，得7a=?1.4，解得a=?1把a=?15代入①，得∴a=?1（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)題意，有w=x化簡，得w=?1∵?14<0,t=4∴當t=4時，w有最大值．答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大．（3）由y供給=y化簡，得x2+5x?50=0，解得∴售價為5元/千克．此時，y供給=y把x=5代入x售價=1把t=6代入w=?14t∴總利潤=w?y=2×4000=8000（元）．答：該蔬菜供給量與需求量相等時的售價為5元/千克，按此價格出售獲得的總利潤為8000元．【點睛】此題主要考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)圖象得出各點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【考點5投球問題】【例5】（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖1的小山丘是科研部門的小球彈射實驗場地，在小山丘一側(cè)的山坡上建有小球彈射發(fā)射裝置，另一側(cè)建有圓柱形小球接收裝置，如圖2為實驗場地的縱截面示意圖，小山丘縱截面的外部輪廓線近似為拋物線的一部分，以小山丘縱截面與地面的交線為x軸，以過發(fā)射裝置所在的直線AB為y軸，建立平面直角坐標系，發(fā)射裝置底部在輪廓線的點A處，距離地面為1米，在發(fā)射裝置3米的點B處是發(fā)射點，已知小山丘縱截面的外部輪廓線為C1:y=?1(1)直接寫出c的值，當小球離B處的水平距離和豎直距離都為4米時，求b的值，并求小球到小山丘的豎直距離為1米時，小球離B處的水平距離；(2)若小球最遠著陸點到y(tǒng)軸的距離為15米，當小球飛行到小山丘頂?shù)恼戏?，且與頂部距離不小于23米時，求b的取值范圍，并求小球飛行路線的頂點到x(3)圓柱形小球接收裝置的最大截面為矩形CDEF，已知點E在C1上，其橫坐標為14，CF∥x軸，CD=1.5，DE=1．若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），請直接寫出b【答案】(1)c=4；b=32；小球離(2)98≤b≤193(3)157【分析】（1）有題意可得點B坐標，然后代入可求得c的值；先求出C2的函數(shù)表達式，根據(jù)兩個函數(shù)值的差為1可求得此時小球離B（2）先將x=15代入拋物線C1，可得最遠著陸點在小山丘外的平地上，再將x=15代入拋物線C2，可得b的取值范圍，然后求出（3）由題意可得，小球恰好落在裝置內(nèi)時，對應(yīng)的橫坐標范圍是13—14，分別將x=13和x=14代入函數(shù)表達式求出對應(yīng)b的取值范圍即可．【詳解】（1）由題意可得點B的坐標為0,4，將B0,4代入C解得c=4；∵C1與y軸交于點A∴A0,1，B0,4．由題意可知，拋物線∴?18×∴拋物線C2的函數(shù)表達式y(tǒng)=?∵小球與小山丘的豎直距離為1米，∴?1解得：x1=?4（不合題意，舍去），∴當小球與小山丘的豎直距離為1米時，小球離B處的水平距離為12米；（2）將x=15代入拋物線C1，得y=?∴最遠著陸點在小山丘外的平地上，其坐標為（15，0）將x=15代入拋物線C2，得y=?解得：b≤∵拋物線C1:y=?1∵當小球飛行到小山丘頂正上方，且與頂部距離不小于23∴y=?18∴b的取值范圍是98∵c=4，∴拋物線C2:y=?18x∵98≤b≤193120，∴當b=9∴小球飛行路線的項點到x軸距離的最小值為20932（3）∵拋物線C當x=14時，y=?1∴E14,1∵DE=1，CD=1.5，∴C13,2.5當x=13時，y=?1∴C1與CD的交點坐標為若小球恰好落入該裝置內(nèi)（不觸碰裝置側(cè)壁），則當x=13時，y=?18×當x=14時，y=?18×故b的取值范圍：157104【點睛】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時，鉛球行進過程中形成的拋物線．按照圖中所示的平面直角坐標系，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y=?112x【答案】10【分析】由圖可知，要求OA的長實際是需要點A的橫坐標，已知點A的縱坐標為0，將y=0代入函數(shù)的解析式，求出x的值，再舍去不符合實際的一個x的值即可．【詳解】將y=0代入y=?10=?整理得：x（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）∴鉛球推出的水平距離OA的長是10m．故答案為：10【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)得實際應(yīng)用，熟練地掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·山東青島·?？级＃┤鐖D，一小球M從斜坡OA上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)y=12x(1)求拋物線的表達式；(2)在斜坡OA上的B點有一棵樹，B點的橫坐標為2，樹高為4，小球M能否飛過這棵樹？通過計算說明理由；(3)求小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度．【答案】(1)y=?(2)小球M能飛過這棵樹，理由見解析(3)小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度為49【分析】（1）根據(jù)最高點的坐標為4,8，設(shè)拋物線解析式為y=a(x?4)2+8（2）把x=2分別代入y=?12(x?4)（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：小球到達的最高的點坐標為4,8，∴設(shè)拋物線的表達式為y=a(x?4)把0,0代入得，0=a(0?4)解得：a=?1∴拋物線的表達式為y=?1（2）當x=2時，y1=1∵6?1>4，∴小球M能飛過這棵樹；（3）小球M在飛行的過程中離斜坡OA的高度?=?1∴小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度為498【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到兩函數(shù)圖象交點的求解方法，二次函數(shù)頂點坐標的求解方法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·河北邯鄲·校考三模）某乒乓球館使用發(fā)球機進行輔助訓(xùn)練，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的長為2.74m．過點A作OA⊥BC，垂足為O，OB＝0.03m，以點O為原點，以直線BC為x軸，OA所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，從出球口A發(fā)出的乒乓球運動路線為拋物線的一部分L，設(shè)乒乓球與出球口A的水平距離為x（m），到桌面的高度為y（m），運行時間為t（s），在桌面上的落點為D，經(jīng)測試，得到如下部分數(shù)據(jù)：t（s）00.20.40.60.8．．．x（m）00.511.52．．．y（m）0.250.40.450.40.25．．．(1)當t＝s時，乒乓球達到最大高度；猜想y與x之間是否存在二次函數(shù)關(guān)系，如果存在，求出函數(shù)關(guān)系式；如果不存在，請說明理由；(2)桌面正中間位置安裝的球網(wǎng)GH的高度為0.15m，求乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過多長時間位于球網(wǎng)正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約為多少？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(3)乒乓球落在點D后隨即彈起，沿拋物線L′：y＝﹣0.53（x﹣p）（x﹣3.5）的路線運動，小明拿球拍EF與桌面夾角為60°接球，球拍中心線EF長為0.16m，下沿E在x軸上，假設(shè)拋物線L，L′與EF在同一平面內(nèi)，且乒乓球落在EF上（含端點，點E在點C右側(cè)），求p的值，并直接寫出EF到桌邊的距離【答案】(1)0.4；y與x之間存在二次函數(shù)關(guān)系，y=?0.2(2)乒乓球從出球口A發(fā)出經(jīng)過0.56s時間位于球網(wǎng)正上方，此時乒乓球到球網(wǎng)頂端H的距離約0.27m；(3)2.5；0.45m【分析】（1）先