浙教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三系列 專(zhuān)題4.5 因式分解全章五類(lèi)必考?jí)狠S題（教師版）

專(zhuān)題4.5因式分解全章五類(lèi)必考?jí)狠S題【浙教版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1利用因式分解的結(jié)果求參數(shù)1．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開(kāi)中學(xué)?？计谀┰趚3+5x2+7x+kA．2 B．?2 C．6 D．?6【答案】A【分析】根據(jù)因式分解的意義可設(shè)x3+5x2+7x+k=【詳解】解：設(shè)x3∵x+2===x∴m+2=5，n+2m=7，k=2n，解得m=3，n=1，k=2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，掌握因式分解與整式乘法的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·四川南充·九年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？计谀┤?x【答案】±7【分析】根據(jù)題意設(shè)多項(xiàng)式可以分解為：（x+ay+c）（2x+by+d），則2c+d=k，根據(jù)cd=6，求出所有符合條件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，與2a+b=1聯(lián)立求出a、b的值，a、b是整數(shù)則符合，否則不符合，最后把符合條件的值代入k進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)2x即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，∴cd=6，∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，∴①c=1，d=6時(shí)，ad＋bc=6a＋b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=?1或c=6，d=1時(shí)，ad＋bc=a＋6b=0,與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=6②c=2，d=3時(shí)，ad＋bc=3a＋2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=?3或c=3，d=2時(shí)，ad＋bc=2a＋3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=3③c=-2，d=-3時(shí)，ad＋bc=-3a-2b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=2b=?3或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=3④c=-1，d=-6時(shí)，ad＋bc=-6a-b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=?1或c=-6，d=-1時(shí)，ad＋bc=-a-6b=0，與2a＋b=1聯(lián)立求解得a=6∴c=2，d=3時(shí)，c=-2，d=-3時(shí)，符合，∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，∴整數(shù)k的值是7，-7．故答案為：±7．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，設(shè)成兩個(gè)多項(xiàng)式的積的形式是解題的關(guān)鍵，要注意6的所有分解結(jié)果，還需要用a、b進(jìn)行驗(yàn)證，注意不要漏解．3．（2022春·浙江·七年級(jí)期末）甲乙兩個(gè)同學(xué)分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），乙看錯(cuò)了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），則2a+b＝_____．【答案】21．【分析】根據(jù)題意：分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了b，但是a正確，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），a為6；乙看錯(cuò)了a，但是b正確，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），b為9．代入2a+b即可．【詳解】∵分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了b，分解結(jié)果為（x+2）（x+4），∴a＝6，乙看錯(cuò)了a，分解結(jié)果為（x+1）（x+9），∴b＝9，∴2a+b＝12+9＝21．故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解決本題的關(guān)鍵是看錯(cuò)了一個(gè)系數(shù)，但是另一個(gè)沒(méi)看錯(cuò)．學(xué)生做這類(lèi)題時(shí)往往不能理解．4．（2022秋·四川宜賓·八年級(jí)?？计谀┤鬭?3是a2+5【答案】m=?24【分析】設(shè)另一個(gè)因式為a+n，則有a2+5a【詳解】解：設(shè)另一個(gè)因式為a+則有a2即a2∴n?3=5，m∴n=8，m【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、整式的混合運(yùn)算，熟知因式分解是把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)整式積的形式是解答的關(guān)鍵．5．（2022秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)南陽(yáng)市第三中學(xué)?？计谀┮阎獂2+2x+1是多項(xiàng)式【答案】a=?5，b=?3，x+1【分析】由題意可假設(shè)多項(xiàng)式x3?x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，則將其展開(kāi)、合并同類(lèi)項(xiàng)，并與x3?x2+ax+b式子中x的各次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一個(gè)因式即可確定．【詳解】解：設(shè)x3則x3所以m+2=?1，2m+1=a，m=b，解得m=?3，a=?5，b=?3．所以x3【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用待定系數(shù)法來(lái)解較好．6．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀?637年笛卡爾（R．Descartes，1596－1650）在其《幾何學(xué)》中，首次應(yīng)用待定系數(shù)法最早給出因式分解定理．關(guān)于笛卡爾的“待定系數(shù)法”原理，舉例說(shuō)明如下：分解因式：x3解：觀察可知，當(dāng)x=1時(shí)，原式=0．∴原式可分解為x?1與另一個(gè)整式的積．設(shè)另一個(gè)整式為x2+bx+c．則∵x?1x∴x∵等式兩邊x同次冪的系數(shù)相等，則有：b?1=1c?b=3?c=?5，解得∴x3根據(jù)以上材料，理解并運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問(wèn)題：(1)根據(jù)以上材料的方法，分解因式x3+2x2?3的過(guò)程中，觀察可知，當(dāng)x=______時(shí)，原式=0，所以原式可分解為_(kāi)_____與另一個(gè)整式的積．若設(shè)另一個(gè)整式為x(2)已知多項(xiàng)式x3+ax+1（a為常數(shù)）有一個(gè)因式是x+1，求另一個(gè)因式以及下面是小明同學(xué)根據(jù)以上材料方法，解此題的部分過(guò)程，請(qǐng)幫小明完成他的解答過(guò)程．解：設(shè)另一個(gè)因式為x2+bx+c，則……(3)已知二次三項(xiàng)式2x2+3x?k（k為常數(shù)）有一個(gè)因式是x+4【答案】(1)1；(x?1)；3；3(2)解題過(guò)程見(jiàn)詳解，x(3)(2x?5)；20【分析】（1）根據(jù)材料提示，當(dāng)x=1時(shí)，x3+2x（2）多項(xiàng)式x3+ax+1（a為常數(shù)）有一個(gè)因式是x+1，設(shè)另一個(gè)因式為（3）多項(xiàng)式2x2+3x?k（k為常數(shù)）有一個(gè)因式是x+4【詳解】（1）解：當(dāng)x=1時(shí)，x3+2x∴原式可分解為(x?1)與另一個(gè)整式的積，設(shè)另一個(gè)整式為x2∴x3∵(x?1)(x∴x3∴b?1=2c?b=0?c=?3，解得，∴x3故答案為：1；(x?1)；3；3．（2）解：多項(xiàng)式x3+ax+1（a為常數(shù)）有一個(gè)因式是x+1，設(shè)另一個(gè)因式為x2∵x+1x∴x3∴b+1=0c+b=ac=1，解方程得，∴多項(xiàng)式x3+ax+1（a為常數(shù)）為∴x3+1因式分解為（3）解：多項(xiàng)式2x2+3x?k（k為常數(shù)）有一個(gè)因式是x+4∴2x∵(x+4)(mx+n)=mx∴2x∴m=2n+4m=34n=?k，解方程組得，∴多項(xiàng)式2x2+3x?k（k∴2x2+3x?20故答案為：(2x?5)，20．【點(diǎn)睛】本題主要考查因數(shù)分解，掌握整式的混合運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）方法探究：已知二次多項(xiàng)式x2?4x?21，我們把x=?3代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x2?4x?21=0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個(gè)因式為（x＋k），多項(xiàng)式可以表示成x2?4x?21=x+3x+k，則有問(wèn)題解決：(1)對(duì)于二次多項(xiàng)式x2?4，我們把x＝代入該式，會(huì)發(fā)現(xiàn)(2)對(duì)于三次多項(xiàng)式x3?x2?3x+3，我們把x＝1代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x3?x2?3x+3=0，由此可以推斷多項(xiàng)式中有因式（(3)對(duì)于多項(xiàng)式x3【答案】(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)(x?2)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（3）多項(xiàng)式有因式（x-2），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），則x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可．【詳解】（1）解：當(dāng)x=±2時(shí)，x2-4=0，故答案為：±2；（2）解：由題意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，∴1-a=1，b=-3，∴a=0，b=-3；（3）解：當(dāng)x=2時(shí)，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，∴多項(xiàng)式有因式（x-2），設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，∴a-2=4，2b=18，∴a=6，b=9，∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的意義，理解“試根法”的本質(zhì)，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的正確展開(kāi)是解題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2利用因式分解進(jìn)行有理數(shù)的簡(jiǎn)算1．（2022秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算1?122A．512 B．12 C．712【答案】C【分析】原式各括號(hào)利用平方差公式變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】原式=1?=1=1=7故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平方差公式，掌握運(yùn)算法則和平方差公式是解題關(guān)鍵．2．（2017秋·山東日照·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如果259+517A．20 B．30 C．35 D．40【答案】B【分析】?jī)身?xiàng)的底數(shù)可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，25寫(xiě)成5的平方，利用冪的乘方轉(zhuǎn)化后，就可提取公因數(shù)進(jìn)行分解即可解答．【詳解】259∴25故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式在計(jì)算中的應(yīng)用，將所給的式子化成積的形式，關(guān)鍵是將兩項(xiàng)的底數(shù)轉(zhuǎn)化成相同的．3．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)期末）803A．76 B．78 C．79 D．82【答案】C【詳解】分析：先提取公因數(shù)80，再用平方差公式運(yùn)算.詳解：因?yàn)?03－80＝80(802－1)＝80(80＋1)(80－1)＝80×81×79，所以803－80能被80，81，79整除.故選C.點(diǎn)睛：本題考查了用提公因式法和平方差公式因式分解，在進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，如果能提取公因式數(shù)，且提取公因數(shù)后能用乘法公式因式分解，則可參照因式分解的方法運(yùn)算.4．（2022春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：20202【答案】2【分析】把20202分成(2001+19)【詳解】2020====2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用因式分解對(duì)有理數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：102【答案】55【分析】運(yùn)用因式分解得原式=10+910?9【詳解】10=10+9=19+15+11+7+3=55故答案為：55【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：因式分解應(yīng)用.利用因式分解將式子進(jìn)行變形是關(guān)鍵.6．（2022秋·江西南昌·八年級(jí)期末）計(jì)算2019202【答案】403839【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解再計(jì)算即可．【詳解】解：201920故答案為：403839．【點(diǎn)睛】本題考查了利用因式分解進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握利用平方差公式進(jìn)行因式分解．必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3利用因式分解探究三角形形狀1．（2022秋·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省隆昌市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若a、b、c是△ABC的三邊，且滿(mǎn)足b2+bc?ba?ca=0，a2+ab?cb?ac=0A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)b2+bc?ba?ca=0，a2+ab?cb?ac=0，分別提取公因式即可得到(b+c)(b?a)=0，(a+b)(a?c)=0，再根據(jù)b+c≠0，a+b≠0，得到【詳解】解：∵b2+bc?ba?ca=0∴(b+c)(b?a)=0，(a+b)(a?c)=0，又∵a、b、c是△ABC∴b+c≠0，a+b≠0，∴b?a=0，a?c=0，∴b=a，a=c，∴a=b=c，∴該三角形是等邊三角形，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)︻}目提供的式子進(jìn)行因式分解．2．（2022秋·江西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）先閱讀下面的材料，再解決問(wèn)題：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，并提出a；把它的后兩項(xiàng)分成一組，并提出b，從而得到am+n+bm+n.這時(shí)，由于am+n+bm+n，又有因式m+n，于是可提公因式m+n，從而得到在三角形中，若任意兩條邊的差均為0，則這個(gè)三角形是等邊三角形；若只有兩條邊的差為0，則這個(gè)三角形是等腰三角形；若有兩條邊的平方和與第三邊的平方的差為0，則這個(gè)三角形是直角三角形。請(qǐng)用上面材料中提供的方法解決問(wèn)題：（1）將多項(xiàng)式ab?ac+b（2）若ΔABC的三邊a、b、c滿(mǎn)足條件：a4?b【答案】（1）（a+b）（b-c）；（2）直角三角形【分析】（1）將前兩項(xiàng)以及后兩項(xiàng)重新分組進(jìn)而分解因式得出答案；（2）利用分組分解法將原式分解進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）ab-ac+b2-bc=（ab-ac）+（b2-bc）=a（b-c）+b（b-c）=（a+b）（b-c）；（2）由已知，得（a2-b2）（a2+b2）+c2（a2+b2）=0．即（a2+b2）（a2-b2+c2）=0∵a2+b2＞0∴a2-b2+c2=0即

a2+c2=b2∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分解法分解因式以及勾股定理逆定理，正確分組是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）若a、b、c是三角形的三條邊，求證：a2（2）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿(mǎn)足a+b+c=322，a（3）在△ABC中，三邊分別為a、b、c，且滿(mǎn)足a2b?c+【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△ABC是等邊三角形，見(jiàn)解析；（3）△ABC是等腰三角形，見(jiàn)解析【分析】（1）用分組分解法進(jìn)行因式分解，先變形為a2（2）由題意可得a+b+c2=92．結(jié)合a2+b（3）對(duì)a2b?c據(jù)此可解．【詳解】解：（1）∵a=∵a、b、c是三角形三邊，∴a+b+c>0且a<b+c．∴a+b+ca?b?c即a2（2）△ABC是等邊三角形，理由如下：∵a+b+c=3∴a+b+c2∴a2又∵a2∴2ab+2bc+2ac=3．∴2ab+2bc+2ac=2a∴2a∴a?b2∵a?b2≥0，b?c2∴a?b=0，b?c=0，a?c=0．∴a=b=c．∴△ABC是等邊三角形．（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：a==a=a=b?c=b?c=b?c∵a∴b?ca?b∴b=c或b=a或a=c．∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，靈活運(yùn)用提公因式法、公式法、分組分解法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.4．（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）求解下列問(wèn)題：(1)若x2+2y(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b【答案】(1)1(2)等腰三角形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式因式分解，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x,y的值，代入計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a=3,b=4,c=4，即可判斷三角形的形狀【詳解】（1）解：∵∴(x∴(x?y)∵∴x?y=0,y+4=0,∴x=y=?4.

y（2）∵∴(a(a?3)2∵∴a?3=0,b?4=∴a=3,b=4,c=4.∴c=b≠a.∵a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式，等腰三角形的定義，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤簟鰽BC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿(mǎn)足等式3a【答案】等邊三角形【分析】將已知等式化為a?b2+b?c【詳解】解：∵3a∴3即2即a∴a?b2∴a?b2=0，b?c∴a?b=0，b?c=0，a?c=0，即a=b=c∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∴該三角形是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，等邊三角形的判定，得出a=b=c是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，要將多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b，從而得到：am+an+bm+bn=am+n+bm+n，這時(shí)am+n+bm+n中又有公因式m+n，于是可以提出(1)嘗試填空：ac?bc+ab?a(2)解決問(wèn)題：因式分解2x?18+xy?9y；(3)拓展應(yīng)用：已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且滿(mǎn)足a2【答案】(1)a?bc?a(2)2+y(3)△ABC是等邊三角形，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用分組分解法因式分解即可；（2）利用分組分解法因式分解即可；（3）利用分組分解法因式分解，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明a=b=c即可．【詳解】（1）解：ac?bc+ab?=ac?bc?=c=a?b故答案為：a?bc?a（2）2x?18+xy?9y=2=2+y（3）結(jié)論：△ABC是等邊三角形．理由：∵a2∴a2?2ab+∵a?b2≥0，∴a?b=0，c?b=0，∴a=b=c∴△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)范例熟練掌握分組分解．7．（2022春·山東青島·八年級(jí)校考期中）數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想．我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開(kāi)后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式____________________．(2)探究二：類(lèi)似地，我們可以借助一個(gè)棱長(zhǎng)為a的大正方體進(jìn)行以下探索：在大正方體一角截去一個(gè)棱長(zhǎng)為b(b<a)的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為_(kāi)___________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長(zhǎng)方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵BC=a，AB=a?b，CF=b，∴長(zhǎng)方體①的體積為ab(a?b)．類(lèi)似地，長(zhǎng)方體②的體積為_(kāi)_______，長(zhǎng)方體③的體積為_(kāi)_______；（結(jié)果不需要化簡(jiǎn)）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為_(kāi)_____________．(5)問(wèn)題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問(wèn)題：已知a-b=6，ab=2，求a3(6)類(lèi)比以上探究，嘗試因式分解：a3+b【答案】(1)a(2)a(3)b2a?b(4)a(5)252(6)a+b【分析】（1）圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，圖2中陰影部分的面積等于長(zhǎng)為a+b、寬為a?b的長(zhǎng)方形的面積，由此即可得；（2）直接利用大正方體的體積減去小正方體的體積即可得出答案；（3）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式即可得；（4）根據(jù)（2）和（3）的結(jié)論可得a3（5）先利用完全平方公式求出a2（6）將a3+b（1）解：圖1中陰影部分的面積為a2圖2中陰影部分的面積為a+ba?b∵拼圖前后圖形的面積不變，∴a∴可得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式為a2故答案為：a2（2）解：由題意，得到的幾何體的體積為a3故答案為：a3（3）解：∵EN=b,DE=b,DM=a?b，∴長(zhǎng)方體②的體積為b2∵GH=a,FG=a?b,HR=a，∴長(zhǎng)方體③的體積為a2故答案為：b2a?b，（4）解：由（2）和（3）得：a3則可以得到的恒等式（將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解）為a3故答案為：a3（5）解：∵a?b=6,ab=2，∴a∴a（6）解：由（4）可知，a3則a==a+b故答案為：a+ba【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積、利用完全平方公式變形求值、利用提公因式法分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握利用不同的方法表示同一個(gè)幾何體的體積得到代數(shù)恒等式是解題關(guān)鍵．8．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：若m2∵根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：（1）已知一個(gè)不等邊三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a、b、c都是正整數(shù)，并滿(mǎn)足a2（2）已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足a2+c（3）試探究關(guān)于x、y的代數(shù)式5x【答案】（1）4；（2）等邊三角形；（3）最小值為16，此時(shí)x=-3，y=-6．【分析】（1）首先根據(jù)a2+b2?4a?6b+13=0（2）先把原式化為（a-b）2+（b-c）2=0，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a=b=c，那么△ABC是等邊三角形；（3）將原式變形為x+32【詳解】解：（1）a2∴a?22∴a=2，b=3，∴1＜c＜5，∴c=4；（2）a2∴a2∴a2∴a?b2∴a-b=0且b-c=0，即a=b且b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形；（3）有最小值，5=x=x+3∵x+32≥0，∴原式≥16，此時(shí)x=-3，y=-6．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形的三條邊之間的關(guān)系，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是明確題目中的材料，可以將問(wèn)題中方程轉(zhuǎn)化為材料中的形式．9．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（0，b），已知a，b滿(mǎn)足a2+b2+8a+8b+32=0．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）如圖1，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，且AF=AE，連接BF交x軸于點(diǎn)D，若點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，c），求c的值及OE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BC//x軸交EG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接OC、AC，試判斷△AOC的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】（1）A?4,0、B0,?4；（2）c=4，OE的長(zhǎng)為2；（3）【分析】（1）把a(bǔ)2+b2+8a+8b+32=0（2）如詳解圖：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AO于M，利用角度的等量代換可得∠MFA=∠OAE，∠AMF=∠AOE=90°，從而可證△AMF≌△EOA，可得AM=OE,OA=MF，進(jìn)而可得答案；（3）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出直線AB的解析式為：y=?x?4，再利用EG⊥AB，設(shè)CE所在直線的解析式為：y=x+b，根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)可求CE所在直線的解析式為：y=x?2，根據(jù)點(diǎn)B、C縱坐標(biāo)相同，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式即可分別求出AC、OC、AO的長(zhǎng)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵a2∴a+42∴a+4=0,b+4=0，∴a=b=?4，∴A?4,0（2）如圖：過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AO于M，∵AF⊥AE,∴∠FAE=90°,∴∠OAE+∠FAO=90°,∵FM⊥AO，∴∠FMA=∠AOE=90°，∴∠AFM+∠FAO=90°，∴∠AFM=∠OAE，∴在△AMF和△AOE中∠FMA=∠AOE∴△AMF≌△EOA，∴AM=EO,FM=AO=4，∴c=4∵點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為：?2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為：?4∴AM=OE=?2∴OE的長(zhǎng)為2，（3）設(shè)AB所在直線的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A?4,0?4k+b=0b=?4解得k=?1b=?4∴直線AB的解析式為：y=?x?4，設(shè)CE所在直線的解析式為：y=x+m，將E0,?2代入可得，?2=0+m，解得：m=?2∴CE所在直線的解析式為：y=x?2，∵BC//x∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為?4，將y=?4，代入y=x?2得：x=?2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為?2,?4，∴OCACOA∴OC=AC∴△AOC是以C為頂點(diǎn)的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，以及配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵．必考點(diǎn)4必考點(diǎn)4利用拆項(xiàng)或添項(xiàng)進(jìn)行因式分解1．閱讀材料：我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2?2ab+b2叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值，最小值等．例分解因式：x2+2x?3=x2+2x+1?4=(x+1)根據(jù)閱讀材料，利用“配方法”，解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：a2(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2?4a+b(3)當(dāng)x、y為何值時(shí)，多項(xiàng)式?x【答案】(1)(a+1)(a?5)(2)5(3)x=y=3時(shí)，最大值為16．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料，先將a2?4a?5變形為a2（2）根據(jù)配方法得出兩個(gè)完全平方式，再根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，每一部分為0可得a，b的值，最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，可得c的取值范圍和最小值；（3）根據(jù)題目中的例子，先將所求式子配方，再根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得到當(dāng)x、y為何值時(shí)，所求式子取得最大值，并求出這個(gè)最大值；【詳解】（1）解：原式=a=a?2=a?2=(a+1)(a?5)；故答案為：(a+1)(a?5)（2）∵a∴a∴(a?2)∴a?2=0b?6=0解得：∵a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，∴4<c<8，又∵c是整數(shù)，c=5,6,7；∴邊長(zhǎng)c的最小值是5；（3）?=?=?(x?y)∵(x?y)2≥0∴?(x?y)∴當(dāng)x?y=0y?3=0時(shí),即x=y=3時(shí)，?【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過(guò)程中不要改變式子的值．2．閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項(xiàng)法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決問(wèn)題．例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6第1步：拆項(xiàng)法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過(guò)添括號(hào)進(jìn)行分組；＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．（1）請(qǐng)你試一試分解因式x3﹣7x+6．（2）請(qǐng)你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．【答案】（1）（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x+【分析】（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．【詳解】（1）x3﹣7x+6＝x3﹣x﹣6x+6＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；（2）x4﹣5x2+6＝（x2﹣2）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生因式分解的知識(shí)及學(xué)以致用的能力，掌握因式分解結(jié)合題意并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：x2②拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項(xiàng)法．例如：x③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項(xiàng)式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫(xiě)在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項(xiàng)，所得結(jié)果分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)；4．觀察得出原二次三項(xiàng)式的兩個(gè)因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個(gè)因式分別為(x+7)與(x?1)例如：x分析：解：原式=(x+7)(x?1)（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4②（拆項(xiàng)法）x③x2（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b【答案】（1）①(2x+y+1)(2x?y+1)，②(x?4)(x?2)，③(x?2)(x?3)；（2）7【分析】（1）①將原式化為(4x2+4x+1)?（2）先利用完全平方公式對(duì)等式a2+b2+c2【詳解】解：（1）①4=(4==(2x+y+1)(2x?y+1)；②x===(x?3?1)(x?3+1)=(x?4)(x?2)；③x2故答案為：(x?2)(x?3)；（2）∵a2∴(a∴(a?2)2∴a=2，b=2，c=3，∴a+b+c=2+2+3=7．∴△ABC的周長(zhǎng)為7．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的方法及其在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，讀懂題中的分解方法并熟練掌握整式乘法公式是解題的關(guān)鍵．4．閱讀下列分解因式的過(guò)程：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-4a2=(x+a+2a)(x+a-2a)(x+3a)(x-a)．像上面這樣通過(guò)加減項(xiàng)配出完全平方式后再把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做配方法，請(qǐng)你用配方法將下面的多項(xiàng)式因式分解：（1）m2-4mn+3n2；（2）x2-4x-12．【答案】（1）（m-n）（m-3n）；（2）（x+2）（x-6）．【分析】（1）、（2）分別利用閱讀材料中的配方法分解即可．【詳解】解：（1）m2-4mn+3n2=m2-4mn+4n2-4n2+3n2=m2-4mn+4n2-n2=（m-2n）2-n2=（m-2n+n）（m-2n-n）=（m-n）（m-3n）；（2）x2-4x-12=x2-4x+4-4-12=（x-2）2-42=（x-2+4）（x-2-4）=（x+2）（x-6）．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用．要運(yùn)用配方法，只要二次項(xiàng)系數(shù)為1，只需加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可配成完全平方公式．5．閱讀以下文字并解決問(wèn)題：對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，我們可以直接用公式法把它分解成x+a2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+6x?27，就不能直接用公式法分解了。此時(shí)，我們可以在x2+6x?27（1）利用“配方法”因式分解：x2（2）若a+b=6，ab=5，求：①a2+b（3）如果a2+2b【答案】（1）（x+5y）（x-y）；（2）①26，②626；（3）8【分析】（1）原式變形后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）利用完全平方公式變形，代入計(jì)算即可；（3）已知等式左邊配方后，利用完全平方公式變形，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【詳解】解：（1）原式=x2+4xy+4y2-9y2=（x+2y）2-（3y）2=（x+5y）（x-y）；（2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=36-10=26，②a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=626；（3）∵a2+2b2+c2-2ab-6b-4c+13=0．∴a2+b2-2ab+b2-6b+9+c2-4c+4=0∴（a-b）2+（b-3）2+（c-2）2=0，可得a=b=3，c=2，則原式=3+3+2=8．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次冪，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．6．閱讀理解：添項(xiàng)法是代數(shù)變形中非常重要的一種方法，在整式運(yùn)算和因式分解中使用添項(xiàng)法往往會(huì)起到意想不到的作用，例如：例1：計(jì)算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝12(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332＝12(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332……＝3例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝(x2+1)2﹣x2＝(x2+1+x)(x2+1﹣x)根據(jù)材料解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：(1+1(2)小明在作業(yè)中遇到了這樣一個(gè)問(wèn)題，計(jì)算(14+4)(54①分解因式：x4+4；②計(jì)算：(1【答案】(1)21024?121023；(2)①(x2+2x+2)(x【分析】(1)配成平方差公式只要在前面乘以2×(1﹣12(2)①根據(jù)配方法在原式的基礎(chǔ)上(+4x2﹣4x2)，轉(zhuǎn)化為完全平方公式，再利用拆項(xiàng)法配方，最后化為兩個(gè)因式的積，②根據(jù)x4+4的分解結(jié)果，分別求出當(dāng)x＝1，x＝3，x＝5，x＝7，x＝9，x＝11……所對(duì)應(yīng)的x4+4個(gè)結(jié)果，從而得到一個(gè)規(guī)律，再代入求值即可.【詳解】解：(1)原式＝2×(1﹣12)×＝2×(1﹣12＝21024(2)①x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝(x2+2)2﹣(2x)2＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)，②∵x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)∴x4+4＝(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)＝[(x+1)2+1]?[(x﹣1)2+1]原式＝(02【點(diǎn)睛】考查因式分解，平方差公式、完全平方公式等知識(shí)，掌握公式，通過(guò)因式分解的變形，找出存在的規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7．我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項(xiàng)法：例如：x2仿照以上方法分解因式：(1)4x(2)x2【答案】(1)2x+1+y(2)x?2【分析】（1）采用分組法，結(jié)合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）將原式先變形為x2【詳解】（1）解：4=4==2x+1+y（2）解：x====x?2【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是理解分組分解法，熟練掌握平方差公式，完全平方公式．8．閱讀下面的材料：分解因式有一種很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的關(guān)鍵是“拆兩頭，湊中間”，例如，分解因式4x2+3xy?y2，方法如下：拆兩頭，4x2拆為4x?x，?(1)解方程：4(2)已知x2?xy?12y【答案】(1)x1=(2)xy的值為4或【分析】（1）先用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（2）先將原方程變?yōu)閤?4yx+3y=0，得出x=4y或x=?3y，求出xy【詳解】（1）解：4x因式分解得：4x?1x?1∴4x?1=0或x?1=0，解得：x1=1（2）解：x2因式分解得：x?4yx+3y∴x?4y=0或x+3y=0，即x=4y或x=?3y，∵xy≠0，∴x≠0，y≠0，當(dāng)x=4y時(shí)，xy當(dāng)x=?3y時(shí)，xy綜上分析可知，xy的值為4或?3【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握十字相乘法．必考點(diǎn)5必考點(diǎn)5因式分解的應(yīng)用1．王林是一位密碼編譯愛(ài)好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：x?1，a?b，3，x2+1，a，x+1分別對(duì)應(yīng)六個(gè)字：南，愛(ài)，我，數(shù)，學(xué)，河，現(xiàn)將3axA．我愛(ài)數(shù)學(xué) B．愛(ài)河南 C．河南數(shù)學(xué) D．我愛(ài)河南【答案】D【分析】先把代數(shù)式分解因式，再對(duì)照密碼手冊(cè)求解．【詳解】解：3ax所以，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是：我愛(ài)河南故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，分解因式是解題的關(guān)鍵．2．已知a、b、c是一個(gè)三角形的三邊，則a4+bA．恒正 B．恒負(fù) C．可正可負(fù) D．非負(fù)【答案】B【分析】根據(jù)完全平方公式以及平方差公式將代數(shù)式因式分解即可求解．【詳解】解：a=====∵a,b,c是一個(gè)三角形的三邊，∴a+b?c>0,a+b+c>0,a?b+c>0,a?b?c<0，∴原式<0故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式，平方差公式是解題的關(guān)鍵．3．一個(gè)正整數(shù)等于兩個(gè)不相等的正整數(shù)的和與這兩個(gè)不相等的正整數(shù)的積之和，稱(chēng)這個(gè)整數(shù)為“可拆分”整數(shù)，反之則稱(chēng)“不可拆分”整數(shù)．例如，11=1+5+1×5，11是一個(gè)“可拆分”整數(shù)．下列說(shuō)法：①最小的“可拆分”整數(shù)是5；②一個(gè)“可拆分”整數(shù)的拆分方式可以不只有一種；③最大的“不可拆分”的兩位整數(shù)是96．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)定義分別判斷即可．【詳解】解：∵5=1+2+1×2，且1，2是最小的正整數(shù)，故①正確；設(shè)整數(shù)m=a+b+ab則m+1=a+b+ab+1=當(dāng)m+1不是質(zhì)數(shù)時(shí)，拆分方式不止一種，如：11=1+5+1×5=2+3+2×3，故②正確；當(dāng)m=96時(shí)，m+1=97，97是一個(gè)質(zhì)數(shù)，故不能拆解為a+1b+1故96為“不可拆分”整數(shù)．而97=1+48+1×48，為“可拆分”整數(shù)，98=2+32+2×32，為“可拆分”整數(shù)，99=1+49+1×49，為“可拆分”整數(shù)，故最大的“不可拆