預習11復數(shù)的四則運算（七大考點）（原卷版）

預習11復數(shù)的四則運算一、復數(shù)的加減運算1.復數(shù)的加減運算（1）運算法則:設,則（2）加法運算律：對任意，有交換律結(jié)合律2.復數(shù)加減法的幾何意義（1）復數(shù)加法的幾何意義.如圖,設復數(shù)對應的向量分別為,四邊形為平行四邊形,則與對應的向量是.（2）向量減法的幾何意義如圖所示,設分別與復數(shù)對應,且不共線,則這兩個復數(shù)的差與向量（即對應.二、復數(shù)的乘除運算1.復數(shù)的乘法法則設是任意兩個復數(shù),則2.復數(shù)的乘法的運算律對于任意,有交換律結(jié)合律乘法對加法的分配律3.復數(shù)的除法法則設,且,則.注:.4.在復數(shù)范圍內(nèi),實系數(shù)一元二次方程的求根公式（1）當時,;（2）當時,.考點01復數(shù)的加減運算【方法點撥】（1）復數(shù)的加、減運算實質(zhì)就是將實部與實部相加減,虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實部與虛部,因此要準確地提取復數(shù)的實部與虛部.（2）復數(shù)的加、減運算可以類比多項式的加、減運算(類似于合并同類項).若有括號,括號優(yōu)先;若無括號,可以從左到右依次進行計算.【例1】復數(shù)，其中為實數(shù)，若為實數(shù)，為純虛數(shù)，則（

）A．6 B． C． D．7【例2】已知復數(shù)，，則的實部與虛部分別為（

）A．， B．， C．， D．，【變式11】已知，則（

）A． B．C． D．【變式12】已知復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【變式13】如果一個復數(shù)的實部和虛部相等，則稱這個復數(shù)為“等部復數(shù)”，若復數(shù)（其中）為“等部復數(shù)”，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點02復數(shù)加、減運算的幾何意義【方法點撥】向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點,在三角形內(nèi)可求得第三個向量及其對應的復數(shù).注意向量對應的復數(shù)是(終點對應的復數(shù)減去起點對應的復數(shù)).【例3】復數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復數(shù)為（

）A． B． C． D．【例4】設復數(shù)滿足，且的實部大于虛部，則（

）A． B． C． D．【變式21】已知平行四邊形ABCD中，與對應的復數(shù)分別是3＋2i與1＋4i，兩對角線AC與BD相交于P點.（1）求對應的復數(shù)；（2）求對應的復數(shù)；（3）求△APB的面積.【變式22】如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為（

）．A． B． C． D．【變式23】已知復平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點對應的復數(shù)為，向量對應的復數(shù)為，向量對應的復數(shù)為，求：(1)點D對應的復數(shù)；(2)平行四邊形ABCD的面積．考點03復數(shù)的乘法運算【方法點撥】復數(shù)乘法運算法則：復數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法計算,只是在結(jié)果中要將換成,并將實部、虛部分別合并【例5】已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．【例6】若，則（

）A． B． C． D．【變式31】已知復數(shù)，（），若為純虛數(shù)，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．【變式32】如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)，對應的點分別為，，則復數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【變式33】已知復數(shù)z滿足，則復數(shù)（

）A．2 B．4 C．8 D．16考點04復數(shù)的乘方運算【方法點撥】有如下性質(zhì)：如果，那么有【例7】已知復數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．【例8】設復數(shù)對應的點在第四象限，則復數(shù)對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式41】復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式42】已知復數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．【變式43】已知復數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．考點05復數(shù)的除法運算【方法點撥】兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算：①首先將除式寫為分式;②再將分子、分母同乘分母的共軛復數(shù);③然后將分子、分母分別進行乘法運算,并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式.【例9】已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．【例10】已知i為虛數(shù)單位，在復平面內(nèi)，復數(shù)，以下說法正確的是（

）A．復數(shù)z的虛部是 B．C．復數(shù)z的共軛復數(shù)是 D．復數(shù)z的共軛復數(shù)對應的點位于第四象限【變式51】已知復數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．【變式52】已知（，為虛數(shù)單位），則（

）A． B．3 C．1 D．2【變式53】已知a，b為實數(shù)，復數(shù)，若，則（

）A． B． C．1 D．2考點06復數(shù)模的最值問題【方法點撥】（1）表示復數(shù)的對應點之間的距離,在應用時,要把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮蛿?shù)差的形式；（2）表示以對應的點為圓心,為半徑的圓；（3）涉及復數(shù)模的最值問題以及點的軌跡問題,均可從兩點間距離公式的復數(shù)表達形式入手進行分析判斷,然后通過幾何方法進行求解.【例11】設是復數(shù)且，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【例12】已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是．【變式61】已知復數(shù)z滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【變式62】已知，，則的取值范圍為.【變式63】若復數(shù)z滿足，則|z|的最大值為．考點07在復數(shù)范圍內(nèi)解方程【方法點撥】在復數(shù)范圍內(nèi),實系數(shù)一元二次方程的求解方法（1）求根公式法：當時,;當時,.（2）利用復數(shù)相等的定義求解：設方程的根為,將此根代入方程,化簡后利用復數(shù)相等的定義求解.【例13】若是方程的一個虛數(shù)根，則（

）A．0 B．1 C． D．1或【例14】在復數(shù)范圍內(nèi)，是方程的兩個不同的復數(shù)根，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．或2【變式71】已知是關(guān)于的方程（p，）的一個根，則（

）A．0 B． C．2 D．1【變式72】已知復數(shù)是關(guān)于x的方程（a，）的一個解，則復數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．5【變式73】已知關(guān)于的方程的一個虛根為（其中為虛數(shù)單位），則實數(shù).一、單選題1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．設復數(shù)滿足，則（

）A．2 B． C．3 D．3．已知復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．4．若滿足，則（

）A． B． C． D．5．已知復數(shù)滿足，當?shù)奶摬咳∽钚≈禃r，（

）A． B． C． D．6．若是關(guān)于的實系數(shù)方程的一個復數(shù)根，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．設復數(shù)，（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（

）A．是純虛數(shù) B．對應的點位于第二象限C． D．8．已知，則下列正確的是（

）A． B．在復平面內(nèi)所對應的點在第二象限C． D．9．已知是復數(shù)的共軛復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C． D．若，則的最小值為1三、填空題10．已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為