2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第九章第2講用樣本估計總體

第2講用樣本估計總體[考綱解讀]1.了解頻率分布直方圖的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，并體會它們各自的特點．(重點)2.理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，會計算數(shù)據(jù)的標準差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理的解釋.3.會用樣本的頻率分布估計總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．(難點)4.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決實際問題.[考向預(yù)測]從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個熱點．預(yù)測2021年將會考查用樣本估計總體，主要體現(xiàn)在利用頻率分布直方圖估計總體，利用樣本數(shù)字特征估計總體．題型以客觀題呈現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型．頻率分布直方圖也可能出現(xiàn)于解答題中，與概率等知識綜合命題.1．作頻率分布直方圖的步驟2．頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的eq\o(□,\s\up3(01))中點，就得到頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著eq\o(□,\s\up3(02))樣本容量的增加，作圖時所分的組數(shù)增加，eq\o(□,\s\up3(03))組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會越來越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線．3．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖優(yōu)點與缺點眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)eq\o(□,\s\up3(01))最多的數(shù)據(jù)取最高的小長方形底邊eq\o(□,\s\up3(02))中點的橫坐標通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征中位數(shù)將數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最eq\o(□,\s\up3(03))中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))把頻率分布直方圖劃分左右兩個面積eq\o(□,\s\up3(04))相等的分界線與x軸交點的橫坐標是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點續(xù)表數(shù)字特征樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖優(yōu)點與缺點平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之eq\o(□,\s\up3(05))和平均數(shù)和每一個數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低(2)方差和標準差方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，標準差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(3)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。畼藴什?、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．1．概念辨析(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論．()(2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．()(3)從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．()(4)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小題熱身(1)(2017·全國卷Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標準差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因為可以用極差、方差或標準差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標準差．故選B.(2)港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖(如圖)，根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A．3000.25 B．3000.35C．600.25 D．600.35答案B解析由頻率分布直方圖，得在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的頻率為0.06×5＝0.3，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)為0.3×1000＝300，行駛速度超過90km/h的頻率為(0.05＋0.02)×5＝0.35.故選B.(3)(2019·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案eq\f(5,3)解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故方差為s2＝eq\f(1,6)×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝eq\f(5,3).題型一樣本數(shù)字特征的計算及應(yīng)用1．(2019·全國卷Ⅱ)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A.2．(2019·長沙二模)高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購并稱中國“新四大發(fā)明”，近日對全國100個城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進行大數(shù)據(jù)分析，其中共享單車使用的人數(shù)分別為x1，x2，x3，…，x100，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2，它們的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，方差為s′2，則eq\o(x,\s\up6(－))′，s′2分別為()A．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,3s2＋2 B．3eq\o(x,\s\up6(－))，3s2C．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2 D．3eq\o(x,\s\up6(－))＋2,9s2＋2答案C解析根據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，…x100的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,100)(x1＋x2＋x3＋…＋x100)，s2＝eq\f(1,100)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(x100－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，若3x1＋2,3x2＋2,3x3＋2，…，3x100＋2的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))′，則eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,100)[(3x1＋2)＋(3x2＋2)＋…＋(3x100＋2)]＝3eq\o(x,\s\up6(－))＋2，方差s′2＝eq\f(1,100)[(3x1＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋(3x2＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2＋…＋(3x100＋2－3eq\o(x,\s\up6(－))－2)2]＝9s2.3．一組數(shù)據(jù)1,10,5,2，x,2，且2<x<5，若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的eq\f(2,3)倍，則該數(shù)據(jù)的方差為________．答案9解析根據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，則中位數(shù)是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,2，x,5,10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差為s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述波動大小.(2)方差的簡化計算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.(3)平均數(shù)、方差的公式推廣①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.見舉例說明2.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.a.數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；b.數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.見舉例說明2.1.(2019·六安模擬)某樣本中共有5個個體，其中4個值分別為0,1,2,3，第5個值丟失，但該樣本的平均值為1，則樣本方差為()A.2B.eq\f(6,5)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(30),5)答案A解析設(shè)第5個值為x，則由題意，得eq\f(1,5)×(0＋1＋2＋3＋x)＝1，解得x＝－1，所以樣本方差s2＝eq\f(1,5)×[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2＋(－1－1)2]＝2.2.(2019·全國卷Ⅱ)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為________.答案0.98解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.98.題型二扇形圖、折線圖1.(2020·株洲市高三摸底)某市2019年12個月的PM2.5的平均濃度指數(shù)如圖所示．由圖判斷，四個季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小的是()A.第一季度B．第二季度C.第三季度D．第四季度答案B解析根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，知第一季度的數(shù)據(jù)是72.15,43.96,93.13；第二季度的數(shù)據(jù)是66.5,55.25,58.67；第三季度的數(shù)據(jù)是59.16,38.67,51.6；第四季度的數(shù)據(jù)是82.09,104.6,168.05；觀察得出第二季度的數(shù)據(jù)波動性最小，所以第二季度的PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最?。蔬xB.2.(2018·全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半答案A解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，增加了一倍，(1)通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢.(2019·東北三省四市教研聯(lián)合體模擬)“科技引領(lǐng)，布局未來”，科技研發(fā)是企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計研發(fā)投入達4100億元．我們將研發(fā)投入與經(jīng)營收入的比值記為研發(fā)投入占營收比．這12年間的研發(fā)投入(單位：十億元)用如圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營收比用如圖中的折線圖表示．根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯誤的是()A.2012年至2013年研發(fā)投入占營收比增量相比2017年至2018年增量大B.2013年至2014年研發(fā)投入數(shù)量相比2015年至2016年增量小C.該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入逐年增加D.該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入占營收比逐年增加答案D解析由題圖可知，該企業(yè)在2008年至2009年、2013年至2014年和2016年至2017年研發(fā)投入占營收比是下降的，所以D錯誤．故選D.題型三頻率分布直方圖角度1求頻率或頻數(shù)1.黨的十九大報告指出：“脫貧攻堅戰(zhàn)取得決定性進展，六千多萬貧困人口穩(wěn)定脫貧，貧困發(fā)生率從百分之十點二下降到百分之四以下．”2019年各地根據(jù)實際進行創(chuàng)新，精準、高效地完成了脫貧任務(wù)．某地區(qū)對當?shù)?000戶家庭的2019年所得年收入情況調(diào)查統(tǒng)計，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)(單位：千元)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，則年收入不超過6萬的家庭大約為()A.900戶B．600戶C.300戶D．150戶答案A解析由頻率分布直方圖得：年收入不超過6萬的家庭所占頻率為：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超過6萬的家庭大約為0.3×3000＝900.角度2求數(shù)字特征2.某市在對兩千多名出租車司機的年齡進行的調(diào)查中，從兩千多名出租車司機中隨機抽選100名司機，已知這100名司機的年齡都在20歲至50歲之間，且根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出的年齡情況頻率分布直方圖如圖所示(部分圖表污損)．利用這個殘缺的頻率分布直方圖，可估計該市出租車司機年齡的中位數(shù)大約是()A．31.4歲 B．32.4歲C.33.4歲 D．36.4歲答案A解析由頻率分布直方圖可知[20,25)的頻率為0.1，[25,30)的頻率為0.3，[30,35)的頻率為0.35，因為0.1＋0.3<0.5<0.1＋0.3＋0.35，所以中位數(shù)x0∈[30,35)，由0.1＋0.3＋(x0－30)×0.07＝0.5，得x0≈31.4.故選A.3.(2019·全國卷Ⅲ)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.1.頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．見舉例說明1.(2)各小長方形的面積之和等于1.2.頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標是中位數(shù)；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和．見舉例說明3.1.(2019·湘潭三模)統(tǒng)計某校n名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)同步練習(xí)成績(滿分150分)，根據(jù)成績分數(shù)分成如下6組：[