江蘇省屆高考數(shù)學大二輪專題復習 審題 解題 回扣（要點回扣+易錯警示+查缺補漏）第三篇 3三角函數(shù)、解三角形、平面向量 文

3.三角函數(shù)、解三角形、平面向量1．α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等．任意角的三角函數(shù)的定義：設α是任意一個角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(異于原點)，它與原點的距離是r＝eq\r(x2＋y2)>0，那么sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)，(x≠0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關．[問題1]已知角α的終邊經(jīng)過點P(3，－4)，則sinα＋cosα的值為________．答案－eq\f(1,5)2．同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式(1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα).(3)誘導公式記憶口訣：奇變偶不變、符號看象限－απ－απ＋α2π－αeq\f(π,2)－αsin－sinαsinα－sinα－sinαcosαcoscosα－cosα－cosαcosαsinα[問題2]coseq\f(9π,4)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)))＋sin21π的值為________．答案eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(3),3)3．三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)五點法作圖(一個最高點，一個最低點)；(2)對稱軸：y＝sinx，x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z；y＝cosx，x＝kπ，k∈Z；對稱中心：y＝sinx，(kπ，0)，k∈Z；y＝cosx，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z；y＝tanx，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z.(3)單調(diào)區(qū)間：y＝sinx的增區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，減區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)；y＝cosx的增區(qū)間：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π＋2kπ，2kπ))(k∈Z)，減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)；y＝tanx的增區(qū)間：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．(4)周期性與奇偶性：y＝sinx的最小正周期為2π，為奇函數(shù)；y＝cosx的最小正周期為2π，為偶函數(shù)；y＝tanx的最小正周期為π，為奇函數(shù)．易錯警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時，容易出現(xiàn)以下錯誤：(1)不注意ω的符號，把單調(diào)性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反；(2)忘掉寫＋2kπ，或＋kπ等，忘掉寫k∈Z；(3)書寫單調(diào)區(qū)間時，錯把弧度和角度混在一起．如[0,90°]應寫為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).[問題3]函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))的遞減區(qū)間是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)．4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβeq\o(→,\s\up7(令α＝β))sin2α＝2sinαcosα.cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβeq\o(→,\s\up7(令α＝β))cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).在三角的恒等變形中，注意常見的拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]．α＋eq\f(π,4)＝(α＋β)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\f(π,4).[問題4]已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(12,13)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.答案－eq\f(56,65)5．解三角形(1)正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(ⅱ)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(ⅲ)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②已知三角形兩邊及一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進行取舍．在△ABC中A>B?sinA>sinB.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀．[問題5]在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，A＝60°，則B＝________.答案45°6．向量的平行與垂直設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0.a⊥b(a≠0)?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.0可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直，特別在書寫時要注意，否則有質(zhì)的不同．[問題6]下列四個命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題是________．答案④7．向量的數(shù)量積|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).注意：〈a，b〉為銳角?a·b>0且a、b不同向；〈a，b〉為直角?a·b＝0且a、b≠0；〈a，b〉為鈍角?a·b<0且a、b不反向．易錯警示：投影不是“影”，投影是一個實數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)或零．[問題7]已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，則向量a在向量b上的投影為________．答案eq\f(12,5)8．當a·b＝0時，不一定得到a⊥b，當a⊥b時，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c與a(b·c)不一定相等，(a·b)c與c平行，而a(b·c)與a平行．[問題8]下列各命題：①若a·b＝0，則a、b中至少有一個為0；②若a≠0，a·b＝a·c，則b＝c；③對任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④對任一向量a，有a2＝|a|2.其中正確命題是________．答案④9．幾個向量常用結(jié)論：①eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心；②eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))?P為△ABC的垂心；③向量λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))(λ≠0)所在直線過△ABC的內(nèi)心；④|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|?P為△ABC的外心．易錯點1圖象變換方向或變換量把握不準致誤例1要得到y(tǒng)＝sin(－3x)的圖象，需將y＝eq\f(\r(2),2)(cos3x－sin3x)的圖象向______平移______個單位(寫出其中的一種特例即可)．錯解右eq\f(π,4)或右eq\f(π,12)找準失分點y＝eq\f(\r(2),2)(cos3x－sin3x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12))))).題目要求是由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3x＋\f(π,4)))→y＝sin(－3x)．右移eq\f(π,4)平移方向和平移量都錯了；右移eq\f(π,12)平移方向錯了．正解y＝eq\f(\r(2),2)(cos3x－sin3x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－3x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，要由y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))得到y(tǒng)＝sin(－3x)只需對x加上eq\f(π,12)即可，因而是對y＝eq\f(\r(2),2)(cos3x－sin3x)向左平移eq\f(π,12)個單位．答案左eq\f(π,12)易錯點2忽視隱含條件的挖掘致誤例2已知cosα＝eq\f(1,7)，sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)，0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，求cosβ.錯解由0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，得0<α＋β<π，則cos(α＋β)＝±eq\f(11,14).由cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，得sinα＝eq\f(4\r(3),7).故cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(71,98)或eq\f(1,2).找準失分點由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)<eq\f(\r(3),2)，所以0<α＋β<eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)<α＋β<π，又cosα＝eq\f(1,7)<eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2)，即α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))，∴cos(α＋β)＝－eq\f(11,14).正解∵0<α<eq\f(π,2)且cosα＝eq\f(1,7)<coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2)，又0<β<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)<α＋β<π，又sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14)<eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(2π,3)<α＋β<π.∴cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\f(11,14)，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7).∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2).易錯點3忽視向量共線致誤例3已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是__________．錯解∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)).因θ為銳角，有cosθ>0，∴eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))>0?2λ＋1>0，得λ>－eq\f(1,2)，λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).找準失分點θ為銳角，故0<cosθ<1，錯解中沒有排除cosθ＝1即共線且同向的情況．正解由θ為銳角，有0<cosθ<1.又∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))，∴0<eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))≠1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋1>0，,2λ＋1≠\r(5)·\r(λ2＋1)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(1,2)，,λ≠2.))∴λ的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2)).答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2))1．已知α是第二象限角，其終邊上一點P(x，eq\r(5))，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))等于()A．－eq\f(\r(10),4) B．－eq\f(\r(6),4) C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(10),4)答案B解析根據(jù)題意得cosα＝eq\f(x,\r(5＋x2))＝eq\f(\r(2),4)x，解得x＝eq\r(3)或x＝－eq\r(3)或x＝0.又α是第二象限角，∴x＝－eq\r(3).即cosα＝－eq\f(\r(6),4)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(\r(6),4).2．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)(0<θ<eq\f(π,4))，則sinθ－cosθ的值為 ()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3) C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)答案B解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝eq\f(16,9)，∴sin2θ＝eq\f(7,9)，又0<θ<eq\f(π,4)，∴sinθ<cosθ.∴sinθ－cosθ＝－eq\r(sinθ－cosθ2)＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(\r(2),3).3．(2012·遼寧)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥b B．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b| D．a(chǎn)＋b＝a－b答案B解析因為|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))答案D解析設c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ②解①②得x＝－eq\f(7,9)，y＝－eq\f(7,3).5．(2012·陜西)在△ABC中，角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cosC的最小值為 A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(2),2) C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案C解析利用余弦定理求解．∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(c2,2ab)，又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2∴cosC≥eq\f(1,2).∴cosC的最小值為eq\f(1,2).6．函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分圖象如圖所示，那么f(0)＝()A．－eq\f(1,2) B．－1C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\r(3)答案B解析由題圖可知，函數(shù)的最大值為2，因此A＝2.又因為函數(shù)經(jīng)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))，則2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋φ))＝2，即2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得φ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z.f(0)＝2sinφ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ))＝－1.7．在△ABC中，a＝4，b＝eq\f(5,2)，5cos(B＋C)＋3＝0，則角B的大小為________．答案eq\f(π,6)解析由5cos(B＋C)＋3＝0得cosA＝eq\f(3,5)，則sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(4,\f(4,5))＝eq\f(\f(5,2),sinB)，sinB＝eq\f(1,2).又a>b，B必為銳角，所以B＝eq\f(π,6).8．將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點向右平移eq\f(π,10)個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是________．答案y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,10)))9．關于函數(shù)f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)有下列命題：①y＝f(x)的圖象關于直線x＝－eq\f(π,6)對稱；②y＝f(x)的表達式可改寫為y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))；③y＝f(x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))對稱；④由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍．其中正確命題的序號是________．答案②③解析①中，由2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)，若eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)＝－eq\f(π,6)，可得k＝－eq\f(1,2)Z，故①錯；②中，f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝4coseq\b\lc\(\rc\)(