專(zhuān)題5.7三角函數(shù)的應(yīng)用（五個(gè)重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019必修第一冊(cè)）（原卷版）

專(zhuān)題5.7三角函數(shù)的應(yīng)用考點(diǎn)一、三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來(lái)等方面發(fā)揮重要作用．考點(diǎn)二、用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟審題→建?！蠼狻鷵Q原①審題,先審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系.②建模,分析題目特性,選擇適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型.③求解,對(duì)所建立的三角函數(shù)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論.④還原,把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的解答.重難點(diǎn)1三角函數(shù)與幾何1．（多選）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，O為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)為x，射線掃過(guò)的陰影部分的面積為，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．在上為減函數(shù) B．C． D．圖象的對(duì)稱(chēng)軸是2．如圖，已知直線，A是，之間的一定點(diǎn)并且點(diǎn)A到，的距離分別為，，其中，，B是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使AC與直線交于點(diǎn)C.設(shè)，則面積S關(guān)于角的函數(shù)解析式為；的最小值為.

3．如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內(nèi)接于扇形OPQ，其中點(diǎn)B，C都在弧PQ上，則矩形ABCD的面積的最大值為.

4．已知正方形邊長(zhǎng)為兩點(diǎn)分別為邊上動(dòng)點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)為.5．如圖所示，是一聲邊長(zhǎng)為米的正方形地皮，其中是一半徑為米的扇形草地，是弧上一點(diǎn)，其余部分都是空地，現(xiàn)開(kāi)發(fā)商想在空地上建造一個(gè)有兩邊分別落在和上的長(zhǎng)方形停車(chē)場(chǎng)．(1)設(shè)，長(zhǎng)方形的面積為S，試建立S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)為多少時(shí)，S最大，并求最大值．6．如圖，在扇形中，圓心角等于60°，半徑為4，在弧上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)引平行于的直線和交于點(diǎn)，設(shè).(1)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，試求的正弦值；(2)求面積的最大值及此時(shí)的值.重難點(diǎn)2三角函數(shù)與物理學(xué)7．如圖，一根絕對(duì)剛性且長(zhǎng)度不變、質(zhì)量可忽略不計(jì)的線，一端固定，另一端懸掛一個(gè)沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動(dòng)．若線長(zhǎng)為lcm，沙漏擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，取，如果沙漏從離開(kāi)平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長(zhǎng)約為（

）cm．（精確到0.1cm）A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.78．我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音不只是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱(chēng)為復(fù)合音.復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段振動(dòng)，產(chǎn)生頻率為的基音的同時(shí)，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振動(dòng)，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動(dòng)頻率的倍數(shù)，如，，等.這些音叫諧音，因?yàn)槠湔穹^小，一般不易單獨(dú)聽(tīng)出來(lái)，所以我們聽(tīng)到的聲音的函數(shù)為.則函數(shù)的周期為（

）A． B． C． D．9．三相交流電是我們生活中比較常見(jiàn)的一種供電方式，其瞬時(shí)電流（單位：安培）與時(shí)間（單位：秒）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式：（其中為供電的最大電流，單位：安培；表示角頻率，單位：弧度/秒；為初始相位），該三相交流電的頻率（單位：赫茲）與周期（單位：秒）滿(mǎn)足關(guān)系式．某實(shí)驗(yàn)室使用5赫茲的三相交流電，經(jīng)儀器測(cè)得在秒與秒的瞬時(shí)電流之比為，且在秒時(shí)的瞬時(shí)電流恰好為1安培，若，則該實(shí)驗(yàn)室所使用的三相交流電的最大電流為（

）A．2安培 B．安培 C．3安培 D．安培10．如圖，一臺(tái)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的電流是正弦式電流，即電壓U（單位：V）和時(shí)間t（單位：s）滿(mǎn)足.在一個(gè)周期內(nèi)，電壓的絕對(duì)值超過(guò)的時(shí)間為.（答案用分?jǐn)?shù)表示）.11．如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在ts時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（單位：cm）由關(guān)系式確定．以t為橫坐標(biāo)，h為縱坐標(biāo)，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象，并回答下列問(wèn)題：

(1)小球在開(kāi)始振動(dòng)（即）時(shí)的位置在哪里？(2)小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離分別是多少？(3)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間小球往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次？(4)每秒鐘小球能往復(fù)振動(dòng)多少次？12．已知質(zhì)點(diǎn)從開(kāi)始，沿以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角速度為ω弧度/秒()，經(jīng)過(guò)x秒，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y，令，將的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及上的最值．13．某用電器電流隨時(shí)間變化的關(guān)系式為，如圖是其部分圖像．(1)求的解析式；(2)若該用電器核心部件有效工作的電流必須大于，則在1個(gè)周期內(nèi)，該用電器核心部件的有效工作時(shí)間是多少？（電流的正負(fù)表示電流的正反方向）重難點(diǎn)3三角函數(shù)與日常生活14．海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；缺貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值（單位：）記錄表．（

）時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用函數(shù)近似地描述這個(gè)港口的水深值與時(shí)間（記時(shí)刻0：00為時(shí)間）的函數(shù)關(guān)系，則上午7：00時(shí)，水深的近似數(shù)值為（

）A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.1715．如圖，水利灌溉工具筒車(chē)的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車(chē)的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車(chē)以角速度沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，為筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時(shí)間（單位：），則（

）

A． B． C． D．16．時(shí)鐘花原產(chǎn)于南美洲熱帶，我國(guó)云南部分地區(qū)有引進(jìn)栽培．時(shí)鐘花的花開(kāi)花謝非常有規(guī)律，其開(kāi)花時(shí)間與氣溫密切相關(guān)，開(kāi)花時(shí)所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開(kāi)始閉合，在花期內(nèi)，時(shí)鐘花每天開(kāi)閉一次．某景區(qū)種有時(shí)鐘花，該景區(qū)6時(shí)～16時(shí)的氣溫（℃）隨時(shí)間（時(shí)）的變化趨勢(shì)近似滿(mǎn)足函數(shù)，則在6時(shí)～16時(shí)中，賞花的最佳時(shí)段大致為（

）A．7.3時(shí)～11.3時(shí) B．8.7時(shí)～11.3時(shí)C．7.3時(shí)～12.7時(shí) D．8.7時(shí)～12.7時(shí)17．某時(shí)針的秒針端點(diǎn)到中心的距離為，秒針勻速繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，當(dāng)時(shí)間時(shí)，點(diǎn)與鐘面上標(biāo)有12的點(diǎn)重合，將、兩點(diǎn)間的距離表示成的函數(shù)，則，其中.18．已知某海濱浴場(chǎng)的浪高是時(shí)間（時(shí)）（）的函數(shù)，記作．下表是某日各時(shí)刻的浪高數(shù)據(jù).經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，可近似地看成是函數(shù)．/時(shí)036912151821241.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出該函數(shù)的周期、振幅及函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1m時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，試依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)8：00至20：00之間有多長(zhǎng)時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)．19．某港口相鄰兩次高潮發(fā)生時(shí)間間隔12h20min，低潮時(shí)入口處水的深度為2.8m，高潮時(shí)為8.4m，一次高潮發(fā)生在10月3日2:00.(1)若從10月3日0:00開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深d（單位：m）和時(shí)間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求10月3日4:00水的深度；(3)求10月3日吃水深度為5m的輪船能進(jìn)入港口的時(shí)間.重難點(diǎn)4三角函數(shù)與圓周運(yùn)動(dòng)20．筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用圖明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車(chē)的半徑為，筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質(zhì)點(diǎn)的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（

）A． B． C． D．21．摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing”摩天輪是上海首個(gè)懸臂式屋頂摩天輪.摩天輪最高點(diǎn)離地面高度106米，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑56米，輪上設(shè)置30個(gè)極具時(shí)尚感的4人轎艙，擁有360度的絕佳視野.游客從離樓頂屋面最近的平臺(tái)位置進(jìn)入轎艙，開(kāi)啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，.若在，時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為（）A．6 B．12 C．18 D．2422．（多選）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為60米，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為50米，設(shè)置有24個(gè)座艙，摩天輪開(kāi)啟前，距地面最近的點(diǎn)為0號(hào)座艙，距地面最遠(yuǎn)的座艙為12號(hào)，座艙逆時(shí)針排列且均勻分布，游客甲坐2號(hào)艙位，乙坐6號(hào)艙位，開(kāi)啟后按逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，開(kāi)啟后的第8分鐘這一時(shí)刻，游客甲和乙首次距離地面高度相同，游客甲在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中距離地面的高度為米，下列說(shuō)法正確的是（

）A．關(guān)于的函數(shù)解析式為B．開(kāi)啟后第20分鐘這一時(shí)刻游客甲和乙第二次距離地面高度相同C．開(kāi)啟后第10分鐘游客乙距離地面47.5米D．開(kāi)啟后第10分鐘至第18分鐘游客甲和乙運(yùn)動(dòng)方向相同（上升或下降）23．（多選）水車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用，如圖是水車(chē)示意圖，其半徑為，中心O距水面，一盛水斗從點(diǎn)處出發(fā)，逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周．假設(shè)經(jīng)t秒后，該盛水斗旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P處，此時(shí)水斗距離水面高度為h，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．高度h表示為時(shí)間t的函數(shù)為：B．高度h表示為時(shí)間t的函數(shù)為：C．當(dāng)時(shí)，該盛水斗在水面下處D．該盛水斗第一次到達(dá)最高點(diǎn)，需要的時(shí)間為24．如圖1，筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖2，將筒車(chē)簡(jiǎn)化為圓，以為原點(diǎn)，以與水平平行的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)時(shí)，盛水筒位于，以為始邊，以為終邊的角為，動(dòng)點(diǎn)每秒鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)，則盛水筒的高度與時(shí)間的關(guān)系是.

25．水車(chē)在古代是進(jìn)行灌溉的工具，是人類(lèi)的一項(xiàng)古老的發(fā)明，也是人類(lèi)利用自然和改造自然的象征.如圖，一個(gè)半徑為米的水車(chē)逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，水輪圓心O距離水面米.已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，如果當(dāng)水輪上一點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn))開(kāi)始計(jì)時(shí)，經(jīng)過(guò)秒后，水車(chē)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn).給出下列結(jié)論：

①在轉(zhuǎn)動(dòng)一圈內(nèi)，點(diǎn)的高度在水面米以上的持續(xù)時(shí)間為秒；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)距水面的最大距離為米；③當(dāng)秒時(shí)，；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.重難點(diǎn)5數(shù)據(jù)擬合三角函數(shù)模型26．海洋中的波動(dòng)是海水的重要運(yùn)動(dòng)形式之一．在外力的作用下，海水質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)其平衡位置做周期性或準(zhǔn)周期性的運(yùn)動(dòng)，由于流體的連續(xù)性，必然帶動(dòng)其鄰近質(zhì)點(diǎn)，從而導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播．（節(jié)選自《海洋科學(xué)導(dǎo)論》馮士筰李風(fēng)岐李少菁主編高等教育出版社）某校海洋研學(xué)小組的同學(xué)為了研究海水質(zhì)點(diǎn)在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)情況，通過(guò)數(shù)據(jù)采集和分析，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)海水質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)間段相對(duì)于海平面的位移（米）與時(shí)間（秒）的關(guān)系近似滿(mǎn)足，其中常數(shù)．經(jīng)測(cè)定，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第一次到達(dá)波峰，在秒時(shí)該質(zhì)點(diǎn)第三次到達(dá)波峰．在時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于海平面的位移不低于0.5米的總時(shí)長(zhǎng)為（

）A．秒 B．2秒 C．秒 D．3秒27．某企業(yè)一天中不同時(shí)刻的用電量（萬(wàn)千瓦時(shí)）關(guān)于時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)近似滿(mǎn)足（，，）．如圖是函數(shù)的部分圖象對(duì)應(yīng)凌晨0點(diǎn)）．(1)根據(jù)圖象，求，，，的值；(2)由于當(dāng)?shù)囟眷F霾嚴(yán)重，從環(huán)保的角度，既要控制火力發(fā)電廠的排放量，電力供應(yīng)有限，又要控制企業(yè)的排放量，于是需要對(duì)各企業(yè)實(shí)行分時(shí)拉閘限電措施．已知該企業(yè)某日前半日能分配到的供電量（萬(wàn)千瓦時(shí)）與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系可用線性函數(shù)模型（）擬合．當(dāng)供電量小于該企業(yè)的用電量時(shí)，企業(yè)就必須停產(chǎn)．初步預(yù)計(jì)這一時(shí)刻處在中午11點(diǎn)到12點(diǎn)間，為保證該企業(yè)即可提前準(zhǔn)備應(yīng)對(duì)停產(chǎn)，又可盡量減少停產(chǎn)時(shí)間，請(qǐng)從這個(gè)初步預(yù)計(jì)的時(shí)間段開(kāi)始，用二分法將這一時(shí)刻所處的時(shí)間段精確到15分鐘．28．海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表：時(shí)刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深（米）7.55.02.55.07.55.02.55.0經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系，可近似用函數(shù)來(lái)描述．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達(dá)式；(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4.25米，安全條例規(guī)定至少要有2米的安全間隙（船底與洋底的距離），該貨船在一天內(nèi)什么時(shí)間段能安全進(jìn)出港口？29．某港口在一天之內(nèi)的水深變化曲線近似滿(mǎn)足函數(shù)，其中為水深（單位：米），為時(shí)間（單位：小時(shí)），該函數(shù)圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙（船底與水底的距離），則該船一天之內(nèi)至多能在港口停留多久？30．在月亮和太陽(yáng)的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時(shí)刻的水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時(shí)間的關(guān)系都符合上圖所示．(1)請(qǐng)運(yùn)用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫(xiě)出水深y與時(shí)間x的函數(shù)的近似表達(dá)式；(2)根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿(mǎn)載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃明天進(jìn)港卸貨．①求該船可以進(jìn)港的時(shí)間段；②該船今天會(huì)到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時(shí)進(jìn)港并立即開(kāi)始卸貨，已知卸貨時(shí)吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)卸貨方案，在保證