定積分在幾何上應(yīng)用

第五節(jié)第五章定積分在幾何上的應(yīng)用利用元素法解決:定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用回顧曲邊梯形求面積的問(wèn)題abxyo建立定積分?jǐn)?shù)學(xué)模型的微元法abxyo提示面積微元應(yīng)用定積分解決問(wèn)題的步驟:第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無(wú)限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱為元素法

(或微元分析法

)元素的幾何形狀常取為:條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等近似值精確值三、立體體積一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長(zhǎng)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1、直角坐標(biāo)系情形一、平面圖形的面積平面圖形：由有限條光滑曲線所圍成的平面封閉區(qū)域oxy兩種曲邊梯形的面積X型曲邊梯形Y型曲邊梯形oxycdAabAaboxyAabO

xy基本圖形（一）oxybaA共同特點(diǎn)：面積Aoxy基本圖形（二）oxyoxy共同特點(diǎn)：例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積abxy例3.

求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式例4.

求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為對(duì)應(yīng)

從0變例5.

計(jì)算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.例6.

計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)例7.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱性,所求面積(1)

曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)二、平面曲線的弧長(zhǎng)(2)

曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(3)

曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)例1.

求連續(xù)曲線段解:的弧長(zhǎng).例2.

計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解:例3.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤

≤2

一段的弧長(zhǎng).解:內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程注意:

求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小(注意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)三、立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),1.平行截面面積為已知的立體體積例1.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.思考:

可否選擇y

作積分變量

?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:解:

垂直x

軸的截面是橢圓例2.

計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng)

a=b=c

時(shí)就是球體體積.的體積.

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺(tái)2旋轉(zhuǎn)體的體積特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有例3.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:

方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積例4.

計(jì)算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x

軸,y

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:

繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對(duì)稱性繞

y

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注注分部積分(利用“偶倍奇零”)補(bǔ)充xyooxy2πa柱殼體積說(shuō)明:

柱面面積偶函數(shù)奇函數(shù)例5.

設(shè)在

x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t

旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則故例6.

求曲線與x

軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3