2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習《中考壓軸題：圓的綜合應(yīng)用》提升練習（五）

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習《中考壓軸題：圓的綜合應(yīng)用》

經(jīng)典題型提升練習(五)

1.△熊。內(nèi)接于。0,弦劭與4c相交于點￡,連接畋且ACLBD.

(1)如圖1,求證：NOBXNABD；

(2)如圖2,作維1四于G,交BD于F、若NBAC=ZAB830。，求證：BO=BF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，直線OF與熊相交于點M與8c相交于點乂若肌?:

筋1=5：3,且工刎=16?,求線段/IE的長.

2.如圖1,他是。。的直徑，弦⑺，絲于G,點C是源的中點，點尸是羸的中點，BC與

)交于點H-.

(1)求證：FB=FH-,

(2)如圖2,當點G為半徑勿的中點時.求*的值；

CD

(3)如圖3,當米=時.弦)恰好經(jīng)過圓心。

3.已知。。中，弦力8=然，點戶是N歷1C所對弧上一動點，連接陶PA、PC.

圖①圖②

(1)如圖①，把△/跖繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)到求證：點P、C、0三點在同一直線上;

⑵如圖②，若，求喏的值;

(3)若N外0=120。時，(2)中的結(jié)論是否成立？若是，請證明.若不是，請?zhí)骄克?/p>

們又有何數(shù)量關(guān)系.

4.已知，。。中兩條弦/C、劭交于點￡

(1)如圖1,求證：EA'EC=EB>ED-,

(2)如圖2,若點8是弧力C中點，力。是。。直徑，4X10,CD=6,

①求8c的長；

圖1圖2

5.如圖，在。。中，半徑)=9,OCLAB于C,交劣弧力8于。，￡是優(yōu)弧力8上一點，連接

DE交A8于F,延長AB至P,使PE=PF.

(1)求證：直線圖與。0相切；

(2)連接組BE,若DB=6、求廂維的值；

(3)在(2)的條件下，連接4。，若CF=FB,求然的值.

6.如圖，四邊形4仇盟內(nèi)接于。0,加=2/§,對角線4C、曲相交于點￡且對角線/IC是

③。的直徑，延長8。至點尸，值.ZFAgAABD,連接刀.

(1)求證：玄是。。的切線；

(2)過點。作。/〃傷交4c于點G,交48于點“，求的值；

(3)在滿足(2)的條件下，若/G：0G=2：1,GH=1,求四邊形的面積.

7.如圖，直線，=戶6分別交x軸，y軸于點A8,點尸是直線南上的動點，點。在y軸

上(點8的上方)，且力―加8。，連接戶。、0P,以。為直徑作。M

(1)填空：點力的坐標為，點8的坐標為；

(2)當點戶在線段布上時，若△初。的面積是△妙。的面積3倍時，求8。的長;

(3)①當。"與△8。。某一邊所在的直線相切時，求此時8。的長；

②當?！ń?jīng)過戶。的中點時，請直接寫出點P的坐標.

8.如圖，已知直線/：y=-?/3交x軸于點〃，點/為x軸上的一個動點(點力不與點M

4

重合)，在直線/上取一點(點8在x軸上方)使加5M,連結(jié)他以為邊沿順時

針方向作正方形力仇?2連結(jié)必，以緲為直徑作。戶.

(1)當點4在點的左側(cè)時，

①若點8落在y軸上，則他的長為，點〃的坐標為.

②若點力的坐標為(2,0),求正方形48必的邊長.

(2)若。戶與正方形4仇?〃的邊相切于點8,求點8的坐標；

(3)。夕與直線倒/的交點為N,連接CN.當副平分N8CZ?時，點8的坐標為.(直

接寫出答案)

o~；立、5

9.如圖1,在平面直角坐標系中，直線四與x軸、y軸分別交于4(6,0),B(0,8),

點。的坐標為(m,0)(Z6),過點夕作外軸交直線48于點C,點。為射線80

上一動點，且滿足附=20小，連結(jié)G0,PO.

(1)當m=3時，求四邊形0%。的面積；

(2)當0<^<6時，求tanNMC的值；

(3)如圖2,作△0C。的外接圓。骯

①當。"與坐標軸相切時，求小的值；

②若。"過配的中點，請直接寫出此時點戶的坐標為______.

V

xOP\

（圖2）(備用圖1)(備用圖2)

10.已知如圖，48為。。的直徑，弦/久龐相交于點G,4E、勿的延長線相交于點尸，且

"=90°.

(1)連接維，求證：BE//CF；

(2)連接的過點。作網(wǎng)L。，垂足為“，求證：O4±AC；

(3)在(2)的條件下，連接OG,若FM2CD,弧〃'=弧EF=3,求0G的長.

參考答案

1.解：（1）延長80交。。于點（連接CK,則融為。。的直徑,

圖1

：.ZBCK=90°,

■:AC1BD,

：.NAEB=9G,

：.ZABB-ZA=90°,

"BC=BC.

??.N/4=N8

：?，0BC=/AB。

(2)悴OHLBC于■H,則BC=2BH,

圖2

VAK+Z.KBC=9Q°,

.\ZBA&ZKBC=90°,

???N4瞅30°+ZKBC=90°,

，NABC=60°

：.BC=2BG,

:?BG=BH,且./ABD=NOBC,/BGF=/BH0=9G°,

???△8尸儂△80〃(44S)

:?BO=BF;

(3)忤OHLBC千H,

：.BF=BO,

:.NMFB=NBON,S.BF=BO,NABD=N0BN,

：.l\BFM^l\BON{ASA)

：.BM^BN,且/胸=60°,

:ZBN為等邊三角形,

.-.BM=BN=8,

■:NC：%=5：3,

:.設(shè)NC=5x、AM^3x,

.?.BC=8+5x,BH=宜泠=BG,CG=MBG=M、("且)

乙乙

：.GM=HN=3-^^-=^X,

22

???N的陽=60°,

OH=A/3*G。；牝),

AOBC=^ABD=AACG,

.'.tanNOBC=tanNACG,

.OHAG

'BH'GC

i—、,8-5x8-5x

V3x-^r-

8+5x8+5x

22

.,.x=1,

：.AM=3,CN=5、HN=GM=—,。//=色&BH=—

222

7,

sinNOBH=sinZABD,

,AEOH

"AB=BO

373

_33V3

：.AE=~2~,、

-y-x(8+3)14

2.(1)證明：如圖1,連結(jié)8F,

,?,點c是定的中點，

-'-BF=AF>

/.NABF=NFEB,

丁點尸是了而的中點，

?'-AC=CE>

，ABC=/CBE、

???NABC+/ABF=NCBB-ZFEB,

即N三8=N&//,

:.FB=FH：

(2)如圖2,連結(jié)的OC,OF、

鄴

???點G為半徑）的中點，CD1.0A,

AC=00,

?：OA=OC、

；.AC=OC=OA,

??.△力。是等邊三角形，

：.ZCAO=ZMC=60°,

設(shè)/4G=0G=x,貝lj0A=AC=0B=2x,

?■?^7AC2-AG2=V3^

CD=2CG=2

是。。的直徑，篇=礪，

???"=/08-=45°,

尸=2折，

.BF=2&x攵

"CD=2V3x~；

⑶AC=CE>

4A0C=4C0E,

丁點尸是的中點，

???"=/皈=45°,

,\ZFOB=ZAOE=90°,

/.ZAOC=45°,

CD工AB,

:?NGC0=N0CG=45°,

0C=CG,

設(shè)CG=a.

「?00—0B'=

BG=OG^OB=a^\f2a-

=242-2,

BGaga'

故答案為：272-2.

3.(1)證明：如圖①，連接外,

???△〃■。是由^力尿繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到的,

NABP=/ACQ,

:點4、B、P、C四點共圓，

Z/C7^Z/5^=180°,

N4CGN4d80°,

...點"、C、。三點在同一直線上；

(2)解：PA=PB^PC.

理由如下：如圖②，連接8C,延長昭至￡假PE=PC,連接龍,

■：AB^AC,4BAC=60°,

???△/宓是等邊三角形，

:.AG=BC、

???4、B、P、C四點共圓，

:.NBAC=NCPE=60°,

■:PE=PC,

???△盧綏是等邊三角形，

：.CE=PC、NE=/EC—NEPX6G,

.:/BCE=60°+2BCP'Z.ACP=6Q°+2BCP,

：.NBCE=Z.ACP,

在和△?1%中，

，BC=AC

<ZBCE=ZACP,

CE=CP

:.△BEaXAPC〈SAS'),

：.BE=PA,

：.PA=BE=P/PC,即FB+F"=1；

PA

(3)若N8/iai20°時，(2)中的結(jié)論不成立.MPA=PB^PC.

理由如下：如圖③，在線段QC上截取圖鹿PQ=PB、連接加，AGLPC于點、G,

YN以"120°,NBAONBPXIBQ。,

：.NBPC=60°.

?：AB^AC,

：.Z.APB=ZAPQ=30Q.

在△/Sa和△42戶中，

'PB=PQ

<ZAPB=ZAPQ,

AP=AP

：./\ABP^/\AQP(.SAS'),

.'.AB=AO,

AQ=AC,

YAGLPC、

**.OG=CG.

在RtzX/AG中，NAPG=30°,則4—24G,%=&4G.

:.P訃PXPG-QG^PG^CG^PG-Q6PG^QH2PH2MAG,

??.?以=2折G,即?外=陽?%.

圖①

4.(1)證明：連接力員CD,如圖1所示：

則N外

NBEA=NCED,

:.XEABsXEDC,

.EA=EB

,?麗―而‘

：.EA'EC^EB-ED-,

(2)解：①連接必交4C于點K如圖2所示:

???點8是弧4C中點，08是。。的半徑，

：.OB^-AC,AM=CM=^AC,

..YA是直徑，

AACD=9Qa,

/,<7=VAD2-DC2=V102-62=8>

:.C4A44,

22=22=3

在Rt△鶴l中，由勾股定理得：^VOA-AMV5-4-

：.BM=OB-0M=5-3=2,

22

在RQBMC中，BC=7BM-HSM=V22+42=2V5；

yAE'BM

BM=_21

②S&ABE：S△/把而■—8

yAE-CD3

'：PE=PF,

/.4PEF=NPFE=NCFD,

?：OC.LAB,

/.ZCDF+ZCFD=ZCDF+ZPEF=90°,

?：OE=OD,

/.NODE=ZOED,

：?4OE步NPEF=NCDX4PEF=90。,

即N府=90°,

OELEP,

???比與。。相切；

(2)YOCIAB、

:.AC=BC,AD=BD，

J4FBD=4BED,

又'：/FDB=NBDE,

：./\BDFS/\EDB,

.BDDF

"EDW

:.DFDE=BF=G=36,

⑶,??AD=BD)

；.AD=BD=6,

設(shè)OUx,貝lja?=9-x,

.,.92-X2=62-(9-X)2,

AC^BC^4y[2,

：.CD=2,CF=BF=2y[2,

???DF=VCD2+CF2=722+(2A/2)2=2?.

:MDE=3b、

'DE碟=啦

6.解：(1)?.,4?是。。的直徑，

/.ZABC=9Q°,

二/他＞/胸=90°,

?：2FAD=NABD、

???N必必N胸=90°,

?/NCBD=ZCAD、

：?NCAK/FAD=9G,

：.ZCAF=90°,

???點4在。0上,

-'-FA是的切線；

(2)??.4C是。。直徑,

：.ZADC=90°,

?:DI"AF、

：.NCGD=NAGD=9G=4ADC,

■:匕DAG=4CAD,

：./\AGD^/\ADC,

.AG_AD

"AD"AC,

?》4。=9=12,

.?YC是。。直徑，

???/力質(zhì);=90°=NAGH,

'：4HAG=/CAB,

:?叢AGHSRABC,

.AH_AG

一而而

.\AH*AB=AG^C=n^

(3)設(shè)OG=x,

'：AG：OG=2：1,

.'.AG=2x,

/.00=OA=AG^-OG=3x,

：.AC=AG^OG^OC=2/K3x=6x,

由(2)知，47?47=12,

「?2x?6x=12,

「.x=-1(舍)或x=1,

->*AG=2.x=2,74^=6x=6,

在中，根據(jù)勾股定理得，^=7AC2-AD2=2V6.

在RtZ\〃/G中，

22=

根據(jù)勾股定理得，AH=7AG+HGVs>

由(2)知，AaAB=12,

,AB-12顯

."y_

在Rt/VlbC中，根據(jù)勾股定理得，8TAe2的2=攣,

；.S西道形ABCD=S&ABNS&ACD=4ASCD=WXX義X2/^=筌"

NNN55Zb

+6料.

7.解：(1)當戶6=0時，x=-6,

：.A(-6,0)

當x=0時，y=0+6=6,

：.B(0,6)

故答案為：(-6,0)(0,6)

(2)過點戶作戶軸于點C,必，y軸于點D(如圖1)

?：OA=OB^6,NAOB=90°

：.Z.OAP=^°

中，A—肥PC

?：AP=yf2B0

:.BgPC

設(shè)線段布上的點尸坐標為(a,>6)(-6WaW0)

.BQ=PC=,PD=\a\=-a

：?51出產(chǎn)gASPC=、^XbX(a+6)=3(>6)

SMPO=^?PD=￡.(>6)?(-a)

'^^APO=^^^BPO

9

3(>6)=—*(〃6)?(一s)

2

解得：片-2

80=-2+6=4

（3）①、/）。的與直線80相切

OPLBQ即軸

，戶在x軸上，BQ=PC=O,不存■在叢BPQ

，不存在

//）?！ㄅc直線相切

.'.OPA.AB,ZAPO=90°

戶0是等腰直角三角形

,:PC'AO

：.PC=—A0=3

2

：.BgPX3

///）?！ㄅc直線戶。相切

OPLPQ,ZOPQ=ZOPAZQPD=90"

■：PDA.00

，0DP/PDgqy

：.40PM"0P=qy

：.ZDOHNDPQ

:.△DOgADPQ

.DODP

,■DP"DQ

:.DP=DSDQ

設(shè)直線陽上的點。坐標為(a,K6)時

B0=PC=^6,PD=\a\

:、DgPG=汴6、DQ=BD^-BQ=OB-0Lh-B0=0B=6

???才=6(>6)

解得：2=3+%,a2=3-3>/5

:.BQ=9+&序L9-375

綜上所述，80的長等于3或9+&?；?-a石

②如圖2,當。"經(jīng)過。。中點時，夕落在x軸上，此時P(-6,0),

由題意外=80.當點。在第一象限時，設(shè)點戶的坐標為(t,t+6)511]OC=t,PXZ6,

00=0濟BQ=OB^PC=6+1+6=12+t,

設(shè)交戶。于點N,若N為戶。的中點，則由ONLPQ知OP^OO,

即(12+t)2=#+(6+t)2,

解得力=18或￡=-6(舍去)，

此時點戶的坐標為(18,24)

故答案為：(-6,0)或(18,24).

8.解:(1)①如圖1中,

o^4

圖］

Q

??.直線/：v=-交x軸于點附(4,0),交y軸于(0,3),

：.B(0,3)

；.0M=4,08=3,8仁也2+42=5,

-：BM=5AM.

OA=3,

：.OA=OB,N劭0=45°,

作加ALx軸于“，則△/!〃//是等腰直角三角形，易證△加儂△/故可得4kM=3,

：.D(6,3).

②如圖2中，設(shè)斜交y軸于“

由題意為(2,0)

."410,

?：MN=5,

：.BN=MN,

:?B(-4,6),

7(2+4)2+62=6M,

...正方形的邊長為6g.

(2)①當點4與。重合時，。。與8c相切于點8,此時腓=5*20,8(-12,12).

②如圖3中，設(shè)副交y軸于“作物/_L。/于//.

QQ

當如時，。戶與直線四相切于點8,此時點4與點〃重合，B學(xué)

綜上所述，滿足條件的點8坐標為(-12,12)或(得，-1).

(3)如圖4中，作8〃_Lx軸于，，連接0"設(shè)止訊則則=5m,BH=3m,MH=4m,

:.AH=BH=3m、

：.4BAH=45°,

,:CN平令乙BCD,

???4N,C共線,

4BAN=45°,

S.AC-LOA,

.:08是直徑，

J.N0傷=90。,

109

易知：BH=早,Mh

25

.口(156192、

2525

故答案為(-喀

2b

9.解：(1)如圖1中,

?：A(6,0),B(0,8),

：.OA=6、08=8,

YOP=PA=3,PC//OB,

?"C：OB=AP：AO,

:,PC=4,

YBQ=2OP,

??BQ—6,OQ—2,

(2)如圖2中，作維108于G.

.CG=BG

??瓦一瓦’

.mBG

4

■■BG=——m,

3

■：BQ^2OP^2m,

42

QG^Imm——m,

33

(3)①如圖3中，當。制與x軸相切時,

；外是。"的直徑，

：.APQC=9QQ,

:./BQC+/PQgqQ°,

■：/PQ儕/opgqy,

:./BQC=/OPQ、

.'.tanN0PQ=tar\NBQC=3=^~,

2OP

.8-2m_3

??一^——萬，

如圖4中，當。〃與v軸相切時，易證N8仇？=/以億

0P3

.'.tanZ.POO=--

0Q2

m_3

8-2m2

■■777=3,

綜上所，滿足條件的m的值為孕或3.

②如圖5中，設(shè)。的中點為￡,連接CE.

?：ZEPC=9Q°,

二.&7是。"的直徑,

???NCOf=90°,

?:NBQC+/EQ0=9G,ZQEO^ZOEO=90°,

???NOBC=ZQEO,

3

.'.tanN0E0=—,

.0Q=2

"OE2'