海南省海口市2024屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題 （解析版）

PAGEPAGE1海南省?？谑?024屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.若集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，故.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，，∴，故選：D.3.已知向量，若，則（）A. B. C. D.40〖答案〗B〖解析〗由已知可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：B.4.一個近似圓臺形狀的水缸，若它的上?下底面圓的半徑分別為和，深度為，則該水缸灌滿水時(shí)的蓄水量為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，圓臺形狀的水缸的上?下底面圓的半徑分別為和，深度為，根據(jù)圓臺的體積公式，可得.故選：C.5.在黨的二十大報(bào)告中，提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應(yīng)黨中央號召，近期將安排甲?乙?丙?丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲?乙?丙?丁4名教育專家到三個地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作的安排方法共有：種；每個地區(qū)至少安排1名專家的安排方法有：種；由古典概型計(jì)算公式，每個地區(qū)至少安排1名專家的概率為：.故選：B.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，，，則（）A. B. C.0 D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，因?yàn)?，故，即，所以，故，故函?shù)的一個周期，故，中，令得，，因?yàn)?，所以，?故選：A7.三相交流電是我們生活中比較常見的一種供電方式，其瞬時(shí)電流（單位：安培）與時(shí)間（單位：秒）滿足函數(shù)關(guān)系式：（其中為供電的最大電流，單位：安培；為角速度，單位：弧度/秒；為初始相位），該三相交流電的頻率（單位：赫茲）與周期（單位：秒）滿足關(guān)系式.某實(shí)驗(yàn)室使用10赫茲的三相交流電，經(jīng)儀器測得在秒與秒的瞬時(shí)電流之比為，且在秒時(shí)的瞬時(shí)電流恰好為1.5安培.若，則該實(shí)驗(yàn)室所使用的三相交流電的最大電流為（）A.1安培 B.安培 C.2安培 D.3安培〖答案〗D〖解析〗由題意可得，所以,故，所以，進(jìn)而可得，因此，由于，所以，因此，則當(dāng)時(shí)，，故，因此最大電流為，故選：D8.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，滿足，以的短軸為直徑作圓，截直線的弦長為，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，取弦的中點(diǎn)D，連接，則，即因?yàn)椋?，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以垂直平分弦，因?yàn)?，，所以，所以，由橢圓定義可得，所以，解得，所以離心率為，故選：A.二?多選題9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是4B.若數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為C.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D.隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A中，數(shù)據(jù)從小到大排列為，共有8個數(shù)據(jù)，因?yàn)椋詳?shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個數(shù)據(jù)，即為2，所以A不正確；對于B中，數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，所以B正確；對于C中，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以C正確；對于D中，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，綜上可得，，所以D正確.故選：BCD.10.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，取最大值D.當(dāng)時(shí)，的最小值為27〖答案〗ABD〖解析〗A：首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，若，則一定大于零，不符合題意，所以，，故A正確；B：由A可知，，故B正確；C：由A可知，因?yàn)椋?，可知，故，取最大值，故C錯誤；D：，，故D正確.故選：ABD.11.已知，是上的兩個動點(diǎn)，且.設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，則（）A.B.點(diǎn)的軌跡方程為C.的最小值為6D.的最大值為〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得，半徑為，由垂徑定理得⊥，則，解得，由于，則，故，A錯誤；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可得，，故點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，故點(diǎn)的軌跡方程為，B正確；C選項(xiàng)，由題意得，，兩式分別平方后相減得，，其中，又點(diǎn)的軌跡方程為，所以的最小值為，故的最小值為，C正確；D選項(xiàng)，可看作點(diǎn)到直線的距離，同理，可看作點(diǎn)到直線的距離，故可看作點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)軌跡方程為，故點(diǎn)到直線的距離最大值為圓心到的距離加上半徑，即，故，所以，故最大值為，D錯誤.故選：BC.12.設(shè)函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)有最大值C.若，則D.若，且，則〖答案〗ACD〖解析〗對A：由題意知，所以，故A正確；對B：由題意知的定義域?yàn)?，，?dāng)，，當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值也是最小值，故B錯誤；對C：當(dāng)時(shí)，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正確；對D：當(dāng)時(shí)，得，又因?yàn)?，所以，由B知在上單調(diào)遞增，所以，又由A知，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題13.在的展開式中的系數(shù)為__________.〖答案〗〖解析〗結(jié)合題意可得：所以的系數(shù)為.故〖答案〗為:.14.已知直線是曲線的一條切線，則__________.〖答案〗2〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，故切線斜率不可能為，舍去，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，令解得，則切點(diǎn)為，將代入中得，，解得.故〖答案〗為：215.已知，寫出符合條件的一個角的值為__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗，故，，即，故，故，即，則，則，可令.故〖答案〗為：16.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn).過兩點(diǎn)分別作的切線，設(shè)兩條切線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.若，則__________；面積的最小值為__________.〖答案〗44〖解析〗因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在直線上，所以，所以拋物線，當(dāng)時(shí)，直線為，聯(lián)立，解得，，解得：或，所以線段的中點(diǎn)為，又因?yàn)?，?lián)立直線方程可得，解得，所以.設(shè)，由得，，，直線的方程為，即，①同理直線的方程為，②

由消y得，，由①-②得，而，故有，由①+②得，即點(diǎn)，，點(diǎn)到直線的距離，，，當(dāng)，即時(shí)，有最小值4.故〖答案〗為：4；4.四?解答題17.已知函數(shù)是高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.若數(shù)列滿足，且，記.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，將兩式和相減，得：，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別單獨(dú)構(gòu)成等差數(shù)列.下面顯而易見：其中當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于，得：，，……，且，說明數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)滿足以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則，其中當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由于，得：，，……，且，說明數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)滿足以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則所以.（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.18.一次跳高比賽中，甲同學(xué)挑戰(zhàn)某個高度，挑戰(zhàn)規(guī)則是：最多可以跳三次.若三次都未跳過該高度，則挑戰(zhàn)失??；若有一次跳過該高度，則無需繼續(xù)跳，挑戰(zhàn)成功.已知甲成功跳過該高度的概率為，且每次跳高相互獨(dú)立.（1）記甲在這次比賽中跳的次數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（2）已知甲挑戰(zhàn)成功，求甲第二次跳過該高度的概率.（1）解：記“第跳過該高度”分別為事件，可得隨機(jī)變量的可能取值為，則；；，所以隨機(jī)變量的概率分布為123所以，期望為.（2）解：“甲同學(xué)挑戰(zhàn)成功”為事件，則;,所以，所以甲挑戰(zhàn)成功，且第二次跳過該高度的概率.19.已知四棱錐的底面為矩形，，過作平面，分別交側(cè)棱于兩點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）若是等邊三角形，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.（1）證明：因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?又平面，平面，且.所以平面.因?yàn)?，平面，且平?所以，且，所以.因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面，平面，且，，，所以平面，且平面，所?（2）解：設(shè)中點(diǎn)分別為，因?yàn)槭堑冗吶切危?因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以，且.由（1）可知，平面，又平面，所以，所以.以為原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，則，所以.設(shè)平面的一個法向量為，又，由得：不妨取，可得平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.設(shè)，則.因?yàn)椋?，所以，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.20.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知，是邊上的一點(diǎn)，且.（1）證明：；（2）若，求.（1）證明：在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，在中，，所以，，所以.（2）解：由，得，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，，，即，21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.直線過點(diǎn)，且垂直于軸，過的直線交的兩支于兩點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）設(shè)直線的斜率分別為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為.由題意可得：解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意直線的斜率不為0.設(shè)直線方程為，由，消去得：，由，得：.設(shè)，則.由題意可知，則直線.令，得，所以坐標(biāo)為，同理，坐標(biāo)為，所以.因?yàn)椋?，整理得?又，所以.因?yàn)椋裕?/p>