河北省張家口市張垣聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省張家口市張垣聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段測試數(shù)學(xué)試題考試說明：1.本試卷共150分.考試時間120分鐘.2.請將各題〖答案〗填在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點在拋物線上，則點到拋物線的準線的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗因為在拋物線上，所以，解得，故拋物線的準線為，所以點到拋物線的準線的距離為.故選：B.2.已知兩點到直線的距離相等，則（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.1或-8〖答案〗C〖解析〗因為兩點到直線的距離相等，所以或，故選：C.3.雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，得，經(jīng)過一、三象限的漸近線方程為，其傾斜角為.故選：B4.若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，解得.故選：B.5.四棱錐中，底面是平行四邊形，點為棱的中點，若，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，又，不共面，則.故選：A.6.在拋物線上有三點.為其焦點，且為的重心，則（）A.6 B.8 C.10 D.12〖答案〗A〖解析〗為的重心，故.設(shè)拋物線上的點的坐標分別為拋物線為其焦點，.，即點在拋物線上，，，.故選：A.7.若點為圓的弦的中點，則弦所在直線的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則.兩式作差可得，即.又是的中點，則，，即.，直線的方程為，即.經(jīng)檢驗，符合題意.故弦所在直線的方程為：.故選：B.8.已知兩點，若直線與線段有公共點，則直線斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由直線，變形可得，由，解得，可得直線恒過定點，則，若直線與線段有公共點，則直線斜率的取值范圍為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對拋物線，下列描述正確的是（）A.開口向下，準線方程為B.開口向下，焦點為C.開口向左，焦點為D.開口向左，準線方程為〖答案〗AB〖解析〗由題設(shè)，拋物線可化為，開口向下，焦點為，準線方程為.所以AB正確，CD錯誤.故選：AB.10.已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上，若橢圓上有4個點使得，則的離心率可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗設(shè)，依題意有①，又，所以②，易知，所以②除以①的平方得，，所以，即或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，這時有2個點使得，故舍去，又橢圓的離心率，所以.故選：CD.11.若是雙曲線上一點，為的左?右焦點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.雙曲線的實軸長為B.若，則三角形的周長為C.的最小值是D.雙曲線的焦點到漸近線的距離是2〖答案〗BC〖解析〗對于，由雙曲線得，則，即，故雙曲線實軸長為，故錯誤；對于，由，即，設(shè)，因為，則，所以，解得，則的周長為，故B正確；對于，易知，故C正確；對于，由選項知，雙曲線焦點為，漸近線為，即，所以焦點到漸近線的距離為，故錯誤.故選：.12.已知點分別在圓和圓上.則（）A.的最小值為3B.的最大值為8C.若成為兩圓的公切線，方程可以是D.若成為兩圓的公切線，方程可以是〖答案〗BC〖解析〗圓的圓心坐標，半徑，圓，即的圓心坐標，半徑.圓心距，所以兩圓外離.又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為，故選項A錯誤，選項B正確；因為到直線的距離，M到直線的距離，所以是兩圓的公切線，故選項C正確；因為到直線的距離，所以是圓的切線，但到直線的距離，故選項D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的焦點為，點在雙曲線上，若，則__________.〖答案〗21〖解析〗由，得，得.因為，所以5或，解得（舍去）或.故〖答案〗為：21.14.已知圓與圓和圓均外切，則點的軌跡方程為__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)圓與圓均外切時，，所以，則點的軌跡為雙曲線的上支，設(shè)軌跡方程為，則，則，所以軌跡方程為.故〖答案〗為：.15.已知拋物線，一條平行于軸的光線從點射入，經(jīng)過上的點反射后，再經(jīng)過上的另一點，則的坐標為__________.〖答案〗〖解析〗光線平行于軸,從點射入，則有，根據(jù)拋物線性質(zhì)，直線過拋物線焦點，拋物線的焦點為，直線的斜率為，則直線的方程為，代入拋物線的方程解得或，可得的坐標為.故〖答案〗為：16.幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一個階段.某同學(xué)在畫“切面圓柱體”（用不平行于圓柱底面的平面去截圓柱，圓柱底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體）的過程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個橢圓，若切面所在平面與底面成角，則該橢圓的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：切面與底面的二面角的平面角為，故，設(shè)圓半徑為，則，設(shè)橢圓的長軸長及短軸長分別為，故，故，所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.求滿足下列條件的雙曲線的標準方程.（1）經(jīng)過點，且與雙曲線具有相同的漸近線；（2）與橢圓共焦點，且過點.解：（1）因為所求雙曲線與雙曲線具有相同的漸近線，故設(shè)要求雙曲線的標準方程為，代入點，得，則雙曲線的方程為（2）橢圓的焦點坐標為，在軸上.所以設(shè)所求雙曲線的方程為.則，解得：，即所求方程為：.18.菱形的頂點的坐標分別為邊所在直線過點.（1）求邊所在直線的方程；（2）求對角線所在直線的方程.解：（1）由菱形的性質(zhì)可知:.邊所在直線過點，點坐標為，則.又點坐標，邊所在直線方程為，即.所以邊所在直線的方程為.（2），線段的中點為，且.由菱形的幾何性質(zhì)可知：且為的中點.則.所以對角線所在直線的方程為，即.所以對角線所在直線的方程為：.19.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的頂點，且的歐拉線的方程為，若外接圓圓心記為.（1）求圓的方程；（2）過點引圓的切線，求切線的長.解：（1）因，則的中點為，又，則的中垂線方程為.將其與歐拉線方程聯(lián)立有，解得故的外心為，則外接圓半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)切點為，由題有，故切線長.20.已知拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點重合.（1）求的方程；（2）若直線與相交于兩點，求.解：（1）雙曲線即，焦點坐標為，又拋物線的焦點，，即.拋物線的方程為；（2）將拋物線方程與直線方程聯(lián)立得，消去，得，，設(shè)，則，故21.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，且.（1）求證：平面；（2）若，在線段上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，找出點的位置；若不存在，請說明理由.解：（1），，平面，，故平面，平面，故，同理可得，，平面，故平面（2）如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系.則設(shè)，則，有，，平面的一個法向量是，設(shè)平面的一個法向量是，則，取得，即，解得，即存在點滿足條件，是上靠近點的三等分點.22.以雙曲線頂點為焦點，離心率倒數(shù)的平方為離心率作一橢圓.（1）求的標準方程；（2）已知為的左焦點，過的直線與橢圓交于兩點（在上方），且，若，求斜率的取值范圍.解：（1）因為雙曲線的頂點為，所以橢圓的焦點為，因為雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的標準方程為：，橢圓的焦距為，則