河南省名校九師聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期10月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

PAGEPAGE1河南省名校九師聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期10月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題1.已知，則為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由含有存在性量詞的命題的否定知為：“”.故選：D.2.設(shè)集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，所以，或，所以.故選：B.3.已知是角的終邊上一點，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由三角函數(shù)的定義知:，所以.故選：A.4.已知平面向量和實數(shù)，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若，則與共線，可知充分性成立；若與共線，例如，則不成立，可知必要性不成立；所以“”是“與共線”的充分不必要條件.故選：A.5.扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長，是中華文化的一個組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹做扇面而制成的.完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（）圖1圖2A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，所以，所以該折扇的扇面的面積為.故選：D6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，可知，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，所以.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為,所以有，則.故選:D.8.已知函數(shù)在上的最大值也是其在上的極大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，時，，遞增，時，，遞減，因此是的極大值點，由于只有一個極值點，因此其也是最大值點，由題意得，所以.故選：D.9.已知函數(shù)，若將其圖象向左平移個單位長度后所得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，將其圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，因為的圖象關(guān)于原點對稱，所以，即，由于，當(dāng)時，取得最小值.故選：A10.如圖，已知兩個單位向量和向量，與的夾角為，且，與的夾角為，若，則（）A.-1 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因為與的夾角為，與的夾角為，所以與的夾角為.由，得，所以，由題意得，，，在兩邊分別點乘，得，同理，兩式聯(lián)立并解得，所以.故選：B.11.在中，為上一點，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，由，得，即，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.12.已知函數(shù)的定義域為，若，且為偶函數(shù)，，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因為為偶函數(shù)，即，所以，又由，所以，所以，故為周期函數(shù)且4是一個周期，所以.故選：A.二、填空題13.函數(shù)，且的圖象過定點__________.〖答案〗〖解析〗令，則，此時在上無論取何值，的值總為1，故函數(shù)的圖象過定點.故〖答案〗為：14.已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則________.〖答案〗〖解析〗因為，，與的夾角為，所以.由，得解得.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為______．〖答案〗〖解析〗因為，則，可得，即切點坐標(biāo)為，斜率，所以曲線在點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：.16.函數(shù)的值域為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)，因為，則，可知，可得函數(shù)，則對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以該函數(shù)的值域為.故〖答案〗：.三、解答題17.已知向量，函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，，求邊的長．解：（1）由題意得，所以的最小正周期，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）知，，則，由，得，則，解得，又由，得，已知，則由正弦定理，得.18.已知，且是偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的最大整數(shù)值．解：（1）函數(shù)定義域R，由函數(shù)為偶函數(shù)，有，即，則有，即，得，所以.（2）由（1）可知，，則，設(shè)，依題意有，由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，令，則，有，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則有，得，所以實數(shù)的最大整數(shù)值為5.19.已知是方程的根.（1）求的值；（2）若是第四象限角，，求的值.（1）解：因為是方程的根，所以或（舍），則原式，由，所以是第三象限或第四象限角，若是第三象限角，則，此時；若是第四象限角，則，此時.故所求式子的值為或.（2）解：由（1）知，當(dāng)是第四象限角時，，由，得，所以.20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上存2個零點，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，且.當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）若，在上無零點，不合題意；若，由，得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，又，所以要使直線與的圖象有兩個交點，則，所以，即實數(shù)的取值范圍為.21.南京玄武湖號稱“金陵明珠”，是我國僅存的皇家園林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飄香，令人陶醉．夏天的一個傍晚，小胡和朋友游玄武湖，發(fā)現(xiàn)觀賞荷花只能在岸邊，無法深入其中，影響觀賞荷花的樂趣，于是他便有了一個愿景：若在玄武湖一個盛開荷花的一角（該處岸邊近似半圓形，如圖所示）設(shè)計一些棧道和一個觀景臺，觀景臺在半圓形的中軸線上（圖中與直徑垂直，與不重合），通過棧道把連接起來，使人行在其中，猶如置身花海之感．已知，棧道總長度為函數(shù)．（1）求；（2）若棧道的造價為每米5萬元，試確定觀景臺的位置，使實現(xiàn)該愿景的建造費用最小（觀景臺的建造費用忽略不計），并求出實現(xiàn)該愿景的建造費用的最小值．解：（1）由題意知，，，則，，所以.所以棧道總長度為（2）建造棧道的費用為，則，令，得，又，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，此時，故觀景臺位于離岸邊半圓弧中點距離為米時，建造費用最小，最小費用為萬元