黑龍江省雞西市密山市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1黑龍江省雞西市密山市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（40分.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，所以．故選：A．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗A〖解析〗由于存在量詞命題的否定是全稱量詞的命題，命題“，”是存在量詞的命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：A.3.已知，，則“關(guān)于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗若關(guān)于的不等式有解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式一定有解，此時(shí)無法確定判別式是否大于零，當(dāng)時(shí)，則，則關(guān)于的不等式有解不能推出，若，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式一定有解，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式有解，所以能推出關(guān)于的不等式有解，所以“關(guān)于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.5.如圖，這是一個(gè)古典概型的樣本空間和事件A，B，其中，，，，則（）A. B.C.A與B互斥 D.A與B不相互獨(dú)立〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，由題意得，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋?，由A項(xiàng)知，所以，所以A與B相互獨(dú)立，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以排除A，C，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以排除D.故選：B.7.若定義域?yàn)镽的函數(shù)同時(shí)滿足：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）當(dāng)，時(shí)，，則可以是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A選項(xiàng)：，不滿足（1），故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：，滿足（1）；單調(diào)遞增，故滿足（2）；令，則，，由得，不滿足（3），故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)且在和上單調(diào)遞增，滿足（1）（2），令，則，，，所以，不滿足（3），故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以滿足（1）；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，滿足（2）；當(dāng)時(shí)，，，即，滿足（3），故D正確.故選：D.8.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動(dòng)個(gè)單位，可得函數(shù)圖象只有選項(xiàng)C符合.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（15分.）9.若正方形，O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列說法正確的是（）A.可以表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量B.若，則O在直線BD上C.若，，則D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗A：由題意，又，以為基底的坐標(biāo)系中，根據(jù)平面向量基本定理易知可以表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量，對(duì)；B：由向量共線的推論知：，則O在直線BD上，對(duì)；C：由題設(shè)，則，所以，錯(cuò)；D：由，則，若為中點(diǎn)，則，即且，如下圖示，所以，對(duì).故選：ABD.10.對(duì)于實(shí)數(shù)，，，下列說法正確的是（）A.若，則；B.命題“，”的否定是“，；C.若，，則；D.若，且，則的最小值為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)?，所以，左右同除，可得，故A正確；對(duì)于B：命題“，”的否定是“，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，，所以，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，所以，即，所以，解得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，與矛盾，所以，無最小值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.新冠肺炎疫情期間，某地為了了解本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本地居民中隨機(jī)抽取若干居民進(jìn)行評(píng)分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知評(píng)分在內(nèi)的居民有180人.則以下說法正確的是（）A.B.調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4000C.從頻率分布直方圖中，可以估計(jì)本次評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)大于平均數(shù)D.根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為該地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度符合“評(píng)分低于65分的居民不超過全體居民的”的規(guī)定〖答案〗ACD〖解析〗由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，即，解得，所以A正確；設(shè)總共調(diào)查了人，可得，解得，即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為300人，所以B錯(cuò)誤；中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為，設(shè)平均數(shù)，則.可得，所以C正確；由評(píng)分在的居民占調(diào)查總?cè)藬?shù)的，所以評(píng)分低于65分的居民不超過全體居民的，所以D正確.故選：ACD.三、填空題（25分.）12.若關(guān)于的方程有兩個(gè)根，則的取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗令，則方程化為：，方程有兩個(gè)根，即有兩個(gè)正根，，解得：.故〖答案〗為：.13.過半徑為2的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面，截面的面積為，則球心O到該截面的距離為______.〖答案〗1〖解析〗設(shè)球的半徑為，球心與截面圓心的連線的距離為，截面圓的半徑為，則有，求得：，，，.故〖答案〗為：.14.函數(shù)（且）的圖象過定點(diǎn)_________.直線的傾斜角為_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，得，此時(shí)，所以的圖象所過定點(diǎn)為；易得直線的斜率為，則其傾斜角為.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)圖象，如圖：所以，，得，則，令，得，又，則的取值范圍為．三、解答題（70分.）16.已知．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，，，.（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為，因此，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，因此，.17.如圖，在長(zhǎng)方體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若二面角的大小為，求的長(zhǎng)．解：（1）連接，交于點(diǎn)，因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，平面，平面，所以，又因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）連接，易知，所以，且為的中點(diǎn)，所以在等腰中，，且，所以為二面角的平面角，即，所以，所以.18.某市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同.甲俱樂部每小時(shí)5元，乙俱樂部按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))90元，超過30小時(shí)的部分每小時(shí)2元；某公司準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家俱樂部中選擇一家開展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過40小時(shí).設(shè)在甲家開展活動(dòng)小時(shí)的收費(fèi)為元，在乙家開展活動(dòng)小時(shí)的收費(fèi)為元.（1）試分別寫出和的〖解析〗式.（2）選擇哪家比較合算?請(qǐng)說明理由.解：（1）由題意，f(x)=5x，15≤x≤40，（2）由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由，得，故時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，選甲家比較合算；當(dāng)時(shí)，兩家一樣合算；當(dāng)時(shí)，選乙家比較合算.19.一片森林原面積為，計(jì)劃從某年開始，每年砍伐一些樹林，且每年砍伐面積與上一年剩余面積的百分比相等.并計(jì)劃砍伐到原面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年.為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的.已知到今年為止，森林剩余面積為原面積的.（1）求每年砍伐面積與上一年剩余面積的百分比；（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？（3）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，今后最多還能砍伐多少年？解：（1）依題意，設(shè)每年砍伐面積與上一年剩余面積的百分比為，則，即，則，解得，所以每年砍伐面積的百分比為.（2）設(shè)到今年為止，該森林已砍伐了年，剩余面積為原來的，則，即，又由（1）知，則，所以，解得，故到今年為止，該森林已被砍伐5年.（3）設(shè)從今年開始，最多還能砍伐年，則年后剩余面積為，令，即，則，所以，解得，故今后最多還能砍伐15年.20.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖的的值；（2）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由；（3）估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).解：（1）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在[0，0.5）的頻率為0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02，由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（2）由（1）100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12，由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)