2017-2018年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅱ-含解析版）

2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)n）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）上包=（）

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

2.(5分)設(shè)集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若APlB=⑴，則B=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題："遠(yuǎn)看巍巍塔七層，

紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？"意思是：一座7層塔

共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的

頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的

三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積

2x+3y-340

5.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件,2x-3y+3》0，則z=2x+y的最小值是（）

第1頁(yè)（共31頁(yè)）

A.-15B.-9C.1D.9

6.（5分）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1

人完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問(wèn)老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師

說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙

看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成

績(jī).根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

8.（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=-1,則輸出的S=（）

A.2B.3C.4D.5

第2頁(yè)（共31頁(yè)）

22

9.（5分）若雙曲線C：^--^=1（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）

2匚2

ab

2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為（）

A.2B.V3C.V2D.

3

10.（5分）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,則

異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為（）

A.返B.C.D.返

2553

11.（5分）若x=-2是函數(shù)f（x）=（x2+ax-1）ex-1的極值點(diǎn)，則f（x）的極

小值為（）

A.-1B.-2e-3C.5e3D.1

12.（5分）已知AABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則

PA*（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.C.-AD.-1

23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放

回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=.

14.（5分）函數(shù)f（x）=sin2x+^cosx--（x￡[0,——））的最大值是.

An-------

n1

15.（5分）等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，a3=3,S4=10,則￡.

k=lSv

16.（5分）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交

y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=.

=解翹：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)

要求作答.（一）必考題：共60分。

17.（12分）ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin（A+C）=8sin2

B

9.

第3頁(yè)（共31頁(yè)）

(D求cosB；

⑵若a+c=6,AABC的面積為2,求b.

18.（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收

獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻

率分布直方圖如圖：

&

O

U

O4

O0

4

O5

O^

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低

于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg",估計(jì)A的概率;

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)

殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值

（精確到0.01）.

附:

P(gk)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

陣_______n(ad-bc)._____

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

第4頁(yè)（共31JI）

19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=A.AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

（D證明：直線CE〃平面PAB；

②）點(diǎn)乂在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面

角M-AB-D的余弦值.

2

20.（12分）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：掾+丫2=1上，過(guò)M作x軸的

垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足而=無(wú)而.

（D求點(diǎn)P的軌跡方程；

②設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且而?同=1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I

過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

第5頁(yè)（共31頁(yè)）

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)20.

(1)求a；

②證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)xo,且e-2<f(xo)<2-2.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

22.（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸

建立極坐標(biāo)系，曲線Ci的極坐標(biāo)方程為pcos0=4.

（1）M為曲線Ci上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段0M上，且滿足|OM|?|OP|=16,求點(diǎn)

P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,工），點(diǎn)B在曲線C2上，求aOAB面積的最大值

3

第6頁(yè)（共31頁(yè)）

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:

(1)(a+b)(a5+b5)14；

(2)a+b<2.

第7頁(yè)（共31頁(yè)）

2017年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)n）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）3+1=（）

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】11：計(jì)算題.

【分析】分子和分母同時(shí)乘以分母的共輾復(fù)數(shù)，再利用虛數(shù)單位i的幕運(yùn)算性質(zhì)

，求出結(jié)果.

【解答】解：空=騏坐二2"=27,

1+i（1+i）（1-i）2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的基運(yùn)算性質(zhì)，兩個(gè)

復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共胡復(fù)數(shù).

2.（5分）設(shè)集合A={1,2,4},B={x|X?-4x+m=0}.若AClB=⑴，則B=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

【考點(diǎn)】IE：交集及其運(yùn)算.

【專題】34：方程思想；40：定義法；5J：集合.

【分析】由交集的定義可得1GA且1CB,代入二次方程，求得m,再解二次方

程可得集合B.

【解答】解:集合A={1,2,4},B={x|x2-

4x+m=0}.若AAB={1},貝U1CA且16B,

第8頁(yè)（共31頁(yè)）

可得1-4+m=0,解得m=3,

即有B={x|x2-4x+3=0}={1>

3）.故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的運(yùn)算，主要是交集的求法，同時(shí)考查二次方程的解法，

運(yùn)用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題："遠(yuǎn)看巍巍塔七層，

紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔

共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的

頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞

【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專題】34：方程思想；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】設(shè)塔頂?shù)腶i盞燈，由題意{aj是公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列

前n項(xiàng)和公式列出方程，能求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)塔頂?shù)腶i盞燈，

由題意{aj是公比為2的等比數(shù)列，

解得

ai=3.故選：

B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的首項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注

意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

4.（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的

三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積

為（）

第9頁(yè)（共31頁(yè)）

C.42nD.36n

【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何.

【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一

半，即可求出幾何體的體積.

【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱

的一半，

22

V=n*3X10-—n*11*3X6=63n,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

r2x+3y-3<0

5.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件,2x-3y+3》0，則z=2x+y的最小值是（）

第io頁(yè)（共31頁(yè)）

A.-15B.-9C.1D.9

【考點(diǎn)】7C：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式.

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小

值即可.

‘2x+3y-340

【解答】解：x、y滿足約束條件2x-393>0的可行域如圖：

z=2x+y經(jīng)過(guò)可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，

由（尸3解得A（-6,-3）,

\2x-3yf3=0

則z=2x+y的最小值是：-15.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力.

6.（5分）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1

人完成，則不同的安排方式共有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

【考點(diǎn)】D9：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.

【專題】11：計(jì)算題；49：綜合法；50：排列組合.

【分析】把工作分成3組，然后安排工作方式即可.

【解答】解：項(xiàng)工作分成組，可得：

43C2=6,

第11頁(yè)（共31頁(yè)）

安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，

可得：6XA?=36種.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，注意分組方法以及排列方法的區(qū)別，

考查計(jì)算能力.

7.（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問(wèn)老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī).老師

說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙

看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī).看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成

績(jī).根據(jù)以上信息，則（）

A.乙可以知道四人的成績(jī)B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理.

【專題】2A：探究型；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；5M：推理和證明.

【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，繼而可以推出

正確答案

【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，

甲不知自己的成績(jī)

與乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會(huì)知道自己的成績(jī)；若是兩良，甲也會(huì)

知道自己的成績(jī)）

少乙看到了丙的成績(jī)，知自己的成績(jī)

0丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績(jī)，

給甲看乙丙成績(jī)，甲不知道自己的成績(jī)，說(shuō)明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu),

則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自己的成績(jī)了.給乙

看丙成績(jī)，乙沒有說(shuō)不知道自己的成績(jī)，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道

自己成績(jī).給丁看甲成績(jī)，因?yàn)榧撞恢雷约撼煽?jī)，乙丙是一優(yōu)一良，則甲

丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績(jī)，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自己

的成績(jī)了

第12頁(yè)（共31頁(yè)）

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合情推理的問(wèn)題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到，老師

所說(shuō)及最后甲說(shuō)話，屬于中檔題.

8.（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=-1,則輸出的S=（）

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【專題】11：計(jì)算題；27：圖表型；4B：試驗(yàn)法；5K：算法和程序框圖.

【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S,K值，當(dāng)K=7時(shí)，程序終

止即可得到結(jié)論.

【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0,K=l,a=-l,代入循環(huán),

第一次滿足循環(huán)，S=-1,a=l,K=2；

第13頁(yè)（共31頁(yè)）

滿足條件，第二次滿足循環(huán)，s=l,a=-l,K=3；

滿足條件，第三次滿足循環(huán)，S=-2,a=l,K=4；

滿足條件，第四次滿足循環(huán)，S=2,a=-l,K=5；

滿足條件，第五次滿足循環(huán)，S=-3,a=l,K=6；

滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S=3,a=-l,K=7；

KW6不成立，退出循環(huán)輸出S的值為3.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了程序框圖和算法，屬于基本知識(shí)的考查，比較基礎(chǔ).

22

9.（5分）若雙曲線C：%-。=1（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）

a2b2

2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為（）

A.2B.A/3C.V2D.

3

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)；KJ：圓與圓錐曲線的綜合.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】通過(guò)圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲

線的離心率即可.

22

【解答】解雙曲線C：%-'=1（a>0,b>0）的一條漸近線不妨為bx+ay=O

b2

圓（x-2）2+y2=4的圓心（2,0）,半徑為：2,

22

雙曲線C：^-y—=1（a>0,b>0）的一條漸近線被圓（x-2）2+y2=4所截得

ab’

的弦長(zhǎng)為2,

第14頁(yè)（共31頁(yè)）

可得圓心到直線的距離為：疹正V?/呼2,

22

解得：4c=3,可得e2=4,即e=2.

a

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

10.（5分）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZABC=120°,AB=2,BC=CCi=l,貝U

異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為（）

A.返B.C.D.返

9553

【考點(diǎn)】LM：異面直線及其所成的角.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；40：定義法；5G：空間角.

【分析】【解法一】設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiCi的中點(diǎn)，得出ABi、BCi

夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、MQ

,MP和NMNP的余弦值即可.

【解法二】通過(guò)補(bǔ)形的辦法，把原來(lái)的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡(jiǎn)潔.

【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB,BBi和BiCi的中點(diǎn)

則ABi、BCi夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角

（因異面直線所成角為（0,三］）,

可知MN=

2

NP」BCi=近

22

作BC中點(diǎn)Q,則△PQM為直角三角形;

VPQ=1,MQ=±AC,

2

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosNABC

第15頁(yè)（共31頁(yè)）

=4+1-2X2X1X(-1)

2

:.AC=F，

：.MQ=近；

2

在△MQP中MP=VMQ2+PQ2=^

在△PMN中,由余弦定理得

8SNMNP”F+*PM2

2-MN-NP

2X號(hào)螃

又異面直線所成角的范圍是（o,N],

.?.ABi與BCi所成角的余弦值為叵.

【解法二】如圖所示

?4B

補(bǔ)成四棱柱ABCD-AiBiCiDi，求NBJD即可;

BC1=五,BO=722+12-2X2X1Xcos60°

C】D=巡，

2

BCI2+BD=C)D2,

/.ZDBCI=90°,

，cosNBCiD="=

畫.故選：C.

5

第16頁(yè)（共31頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計(jì)算問(wèn)題，也考查了空間

中的平行關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題.

11.(5分)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn)，則f(x)的極

小值為()

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)，求出a,然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解

函數(shù)的極小值即可.

【解答】解：函數(shù)f(x)=Gax-1)ex4

可得f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex'1,

x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex"1的極值點(diǎn)，

可得：f'(-2)=(-4+a)e-3+(4-2a-1)e3=0,即-4+a+(3-2a)

=0.解得a=-1.

可得f'(x)=(2x-1)ex-1+(x2-x-1)ex-1,

=(x2+x-2)ex-】，函數(shù)的極值點(diǎn)為：x=-2,x=l,

當(dāng)xV-2或x>l時(shí)，fz(x)>0函數(shù)是增函數(shù)，xG(-2,1)時(shí)，函數(shù)是減函

第17頁(yè)(共31頁(yè))

數(shù),

X=1時(shí)，函數(shù)取得極小值：f(1)=(12-1-1)elT=-

1.故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法,

考查計(jì)算能力.

12.(5分)已知aABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則

五?(PB+PC)的最小值是()

A.-2B.-上C.-AD.-1

23

【考點(diǎn)】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5A：平面向量及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的

公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則A(0,遙)，B(-1,0),C(1,0),

設(shè)P(x,y),則PA=(-x,V3-y)，PB=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y

）,

則五?（PB+PC）=2x2-2V3y+2y2=2[x2+（y-近）2-

9.4

.?.當(dāng)x=0,y=返時(shí)，取得最小值2X（-1）=-3,

第18頁(yè)(共31頁(yè))

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐

標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放

回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=1.96.

【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】判斷概率滿足的類型，然后求解方差即可.

【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，

其中，p=0.02,n=100,

則DX=npq=np(1-p)=100X0.02X0.98=1.96.

故答案為：1.96.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，判斷概率類型滿足二

項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵.

14.(5分)函數(shù)f(x)=siMx+J^cosx-W(xe[0,—])的最大值是1.

49.

【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值.

【專題】11：計(jì)算題；33：函數(shù)思想；4J：換元法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；57

：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【分析】同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.

【解答】解:f(x)=sin2x+V3cosx--=1-COS2X+A/3COSX--,

44

令cosx=t且te[0,1],

則y=-t2+V3t+^=-(t-返)2+1,

42

當(dāng)1=返時(shí)，f(t)max=l，

即f(x)的最大值為1,

第19頁(yè)(共31頁(yè))

故答案為：1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

15.（5分）等差數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則f」一=

k=l$k.2±1

【考點(diǎn)】85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；8E：數(shù)列的求和.

【專題】口：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】利用已知條件求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后化簡(jiǎn)所求的表達(dá)式，求

解即可.

【解答】解:等差數(shù)列屈｝的前n項(xiàng)和為Sn,33=3,$4=10,S4=2（32+33）=10,

可得32=2,數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為1,

S*n（n+1）,1=2x=2（-----），

9Snnfn+Dnn+1）

則v1=2Fl-工^^--L+l__L+...+L_l_]=2（1--1-）

乙S22334nn+1n+1n+1

k=l"

故答案為：①.

n+1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和，裂項(xiàng)消項(xiàng)法求和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

16.（5分）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交

y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN1=6.

【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出M坐標(biāo)，然后求解即可.

【解答】解：拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)F（2,0）,M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線

交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，

可知M的橫坐標(biāo)為：1,則M的縱坐標(biāo)為：±2亞，

|FN|=2|FM|=2亞I_2）2+（±2&-O）2=6.

第20頁(yè)（共31頁(yè)）

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

=解零§:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)

要求作答.(一)必考題：共60分。

17.(12分)ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2

~9.'

(D求cosB；

②若a+c=6,AABC的面積為2,求b.

【考點(diǎn)】GS：二倍角的三角函數(shù)；HP：正弦定理.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形.

【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可知A+C=TI-B,再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin

(A+C),利用降暴公式化簡(jiǎn)8sin2"，tno'sin2B+cos2B=l,求出cosB,

(2)由(1)可知sinB=@,利用勾面積公式求出ac,再利用余弦定理即可求

17

出b.

【解答】解：(1)sin(A+C)=8sin2—,

2

.*.sinB=4(1-cosB),

Vsin2B+cos2B=l,

16(1-cosB)2+cos2B=l,

/.16(1-cosB)2+cos2B-1=0,

A16(cosB-1)2+(cosB-1)(cosB+1)=0,

J(17cosB-15)(cosB-1)=0,

cosB=—；

17

第21頁(yè)(共31頁(yè))

(2)由(1)可知sinB=號(hào)

17

：SAABC=—ac*sinB=2,

2

._17

??ac------,

2

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2X比

217

=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,

b=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和

同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題

18.（12分）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收

獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）,其頻

率分布直方圖如圖：

f頻率/組距

，頻率/組距0.068[------------------

0.020------------—

8睢—一

0.004___________________II?

25303540455055606570箱產(chǎn)量，總03540455055606570箱產(chǎn)量?jī)z

舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件〃舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低

于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg〃，估計(jì)A的概率；

（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)

殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量250kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值

(精確至U0.01).

第22頁(yè)（共31頁(yè)）

附:

P("2k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

心_____n(ad-bc).

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖；BE：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征；BL

：獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；51：概率與統(tǒng)計(jì).

【分析】(1)由題意可知：P(A)=P(BC)=P(B)P(C),分布求得發(fā)生的

頻率，即可求得其概率；

(2)完成2X2列聯(lián)表：求得觀測(cè)值，與參考值比較，即可求得有99%的把握

認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

(3)根據(jù)頻率分布直方圖即可求得其中位數(shù).

【解答】解：(1)記B表示事件"舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg",C表示事件"新

養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg",

由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),

則舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg：(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)X5=0.62,

故P(B)的估計(jì)值0.62,

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg：(0.068+0.046+0.010+0,008)X5=0.66,

故P(C)的估計(jì)值為，

則事件A的概率估計(jì)值為P(A)=P(B)P(C)=0.62X0.66=0.4092；

；.A發(fā)生的概率為0.4092；

(2)2X2列聯(lián)表：

箱產(chǎn)量V50kg箱產(chǎn)量250kg總計(jì)

舊養(yǎng)殖法6238100

新養(yǎng)殖法3466100

總計(jì)96104200

則|<2-200(62X66-38X34)2""705

100X100X96X104

第23頁(yè)(共31頁(yè))

由15.705>6.635,

.?.有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

（3）由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面

積：

（0.004+0.020+0,044）X5=0.34,

箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：

（0.004+0.020+0.044+0.068）X5=0,68>0.5,

故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為：50+。匹二LW4.752.35（kg）,

0.06R

新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值52.35（kg）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查計(jì)算能力，

屬于中檔題.

19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=A.AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

9.

（D證明：直線CE〃平面PAB；

②）點(diǎn)乂在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面

【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距

離；5G：空間角.

【分析】（1）取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,通過(guò)證明CE〃BF,利用直線與平

面平行的判定定理證明即可.

第24頁(yè)（共31頁(yè)）

（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解

二面角M-AB-D的余弦值即可.

【解答】（1）證明：取PA的中點(diǎn)F,連接EF,BF,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，

所以EFJLAD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,，BCAD,

.\BCEF是平行四邊形，可得CE〃BF,BFu平面PAB,CEC平面PAB,

二直線CE直平面PAB；

（2）解：四棱錐P-ABCD中，

側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,

9.

ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中點(diǎn).

取AD的中點(diǎn)。，M在底面ABCD上的射影N在0C上，設(shè)AD=2,則AB=BC=1,

0P=V3,

.,.ZPCO=60°,直線BM與底面ABCD所成角為45°,

可得：BN=MN,CN=^MN,BC=1,

3

可得：1+1BN2=BN2,BN=返，MN=?

or?c

作NQJ_AB于Q,連接MQ,AB1MN,

所以NMQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=77浮涓

―,-/-T--o-,

2

二面角M-AB-D的余弦值為：-7=-=^.

V105

9.

第25頁(yè)（共31頁(yè)）

D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，

考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

2

20.(12分)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：旨+y2=］上，過(guò)M作x軸的

垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足而=后前.

(D求點(diǎn)P的軌跡方程；

②設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且而?而=1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I

過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

【考點(diǎn)】J3：軌跡方程；KL：直線與橢圓的綜合.

【專題】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直線與圓.

【分析】(1)設(shè)M(xo,y0),由題意可得N(xo,0),設(shè)P(x,y),運(yùn)用

向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理可得P的軌跡方程；

(2)設(shè)Q(-3,m),P(\f2cosa,J^sina),(0^a<2n),運(yùn)用向量的數(shù)

量積的坐標(biāo)表示，可得m,即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得OQ

,PF的斜率，由兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0,即可得證.

【解答】解：(1)設(shè)M(xo,yo),由題意可得N(xo,0),

設(shè)P(x,y),由點(diǎn)P滿足而

可得(x-xo，y)=V2(0,yo),

可得x-xo=o,y=v^2yo，

即有x0=x,yo=%，

第26頁(yè)(共31頁(yè))

22?2

代入橢圓方程L+y2=l,可得工+—=1,

222

即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2;

(2)證明：設(shè)Q(-3,m),P(&cosa,Vasina),(OWaV27i),

OP*PQ=1>可得(Ecosa,Vasina)?(-3-J^cosa,m-Vasina)=1,

即為-3?cosa-2cos2a+V2msina-2sin2a=l,

當(dāng)a=0時(shí)，上式不成立，則0<a<2n,

解得m=3(lW2coSa);

V2sinCl

即有Q(-3,3(l+&cosCt)),

V2sinCI

2

橢圓寧+y2=l的左焦點(diǎn)F(-1,0),

由F?瓦(-1-Fcosa,-正sina)?(-3,Ml^^cosa))

V2sinCl

=3+3\/2cosa-3(1+V^cosa)=0.

可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I過(guò)C的左焦點(diǎn)

F.另解：設(shè)Q(-3,t),P(m,n),由加?西

二1,

可得(m,n)?(-3-m,t-n)=-3m-m2+nt-n2=l,

又P在圓x2+y2=2_h,可得m2+n2=2,

即有nt=3+3m,

又橢圓的左焦點(diǎn)F(-1,0),

PF>00=(-1-m,-n)?(-3,t)=3+3m-nt

=3+3m-3-3m=0,

則而，而，

可得過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線I過(guò)C的左焦點(diǎn)F.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法和向量的加減運(yùn)算，

考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用和直線的斜率公式，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示

和兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中

第27頁(yè)（共31頁(yè)）

檔題.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)20.

(1)求a；

⑵證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)xo,且e2<f(xo)<22.

【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

【分析】(1)通過(guò)分析可知f(x)20等價(jià)于h(x)=ax-a-lnx》O,進(jìn)而利

用h，(x)=2-2可得卜(x)min=h(1),從而可得結(jié)論；

Ya

(2)通過(guò)(1)可知f(x)=x2-x-xlnx,記t(x)=fz(x)=2x-2-Inx,解不

等式可知t(x)min=t(—)=ln2-l<0,從而可知fz(x)=0存在兩根Xo,X2,

利用f(x)必存在唯一極大值點(diǎn)xo及可知f(xo)<1,另一方面可知f

24

(xo)>f(—)二」--

PR2

【解答】(1)解：因?yàn)閒(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-Inx)(x>0),

則f(x)>0等價(jià)于h(x)=ax-a-Inx^O,求導(dǎo)可知h'(x)=a-

1.則當(dāng)aWO時(shí)h((x)<0,即y=h(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xo>l時(shí)，h(xo)<h(1)=0,矛盾，故a>

0.因?yàn)楫?dāng)0<x〈工時(shí)hz(x)<0、當(dāng)x>工時(shí)hz(x)

Aa

>0,所以h(x)min=h(2)，

a

又因?yàn)閔(1)=a-a-lnl=0,

所以工=1,解得a=l；

a

另解：因?yàn)閒(1)=0,所以f(x)20等價(jià)于f(x)在x>0時(shí)的最小值為f(1)

所以等價(jià)于f(X)在X=1處是極小值，

第28頁(yè)(共31頁(yè))

所以解得a=l；

(2)證明：由(1)可知f(x)=x2-x-xlnx,fz(x)=2x-2-Inx,

令f'(x)=0,可得2x-2-lnx=0,記t(x)=2x-2-Inx,則t'(x)=2--,

Y

令(x)=0,解得：x=L

所以t(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在(!，+8)上單調(diào)遞增，

79

所以t(x)rnin=t(-)=ln2-1<0,從而t(x)=0有解，即？(x)=0存在兩根Xo

2

9X29

且不妨設(shè)f(X)在(0,X0)上為正、在(Xo，X2)上為負(fù)、在(X2，+°°)上為

正，

所以f(x)必存在唯一極大值點(diǎn)Xo，且2X0-2-lnxo=O,

所以f(xo)=2--xolnxo=2-x0+2xo-2望2=xo-2,

xY(ixnXoYxnxnY

2

由Xo〈L可知f(Xo)<(Xo-x)max=--^-+——；

oxn-9nA

由f，(L)<0可知xo〈L<L,

P.R2

所以f(x)在(0,xo)上單調(diào)遞增，在(xo,1)上單調(diào)遞減，

所以f(xo)>f(1)=JL；

綜上所述，f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)X0，且e-2<f(xo)<2-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思

想，注意解題方法的積累，屬于難題.

(.)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修