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PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為,所以.故選:C.2.已知命題:為鈍角,命題:,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若為鈍角,則必為第二象限角,則,所以是的充分條件;若,則可能為第二或第四象限角,未必就是鈍角,所以不是的必要條件;綜上:是的充分不必要條件.故選:A.3.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)為偶函數(shù),則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意是偶函數(shù),所以,解得,又,所以.故選:A.4.“扇形窗下清風(fēng)徐”.如圖所示是一個扇子形窗,其所在的扇形半徑為,圓心角為,窗子左右兩邊的邊框長度都為,則該窗的面積約為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知:扇形的圓心角為,大扇形的半徑為,小扇形的半徑為,所以該窗的面積為.故選:C.5.函數(shù)的定義域為,則值域為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)的定義域為,且在內(nèi)單調(diào)遞增,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,可知在內(nèi)的最小值為,最大值為,所以值域為.故選:A.6.已知函數(shù)圖象如圖所示,則下列函數(shù)中符合此圖象的為()A B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)題設(shè)函數(shù)為,由圖可知,若,但此時,矛盾,故可排除D;由為偶函數(shù),若,則,矛盾,故排除A;在有零點(diǎn),若,則時,,矛盾,故排除C,經(jīng)檢驗,B選項在函數(shù)的零點(diǎn)奇偶性等方面均符合題意.故選:B.7.已知,,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為,故,則由,可得,故.故選:D.8.已知函數(shù),.甲:當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減;乙:函數(shù)關(guān)于直線對稱;丙:當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增;?。汉瘮?shù)圖象的一個對稱中心為.甲、乙、丙、丁四人對函數(shù)的論述中有且只有兩人正確,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗對于甲:因為的單調(diào)遞增區(qū)間為,關(guān)于單調(diào)遞增,所以不存在任何區(qū)間使得單調(diào)遞減,故甲錯誤;對于乙:因為的圖象不存在對稱軸,而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的,所以函數(shù)的圖象也不存在對稱軸,故乙錯誤;由題意甲、乙、丙、丁四人對函數(shù)的論述中有且只有兩人正確,故只能丙丁論述正確,若丙論述正確,即當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,則當(dāng)時,關(guān)于單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知此時應(yīng)該有,解得,所以此時滿足題意,當(dāng)時,關(guān)于單調(diào)遞增,但,即存在使得,無意義,所以此時不滿足題意,綜上所述,滿足題意的的取值范圍為,若丁論述正確,則,解得,結(jié)合的取值范圍為可知,只能,綜上所述,實(shí)數(shù)的值為.故選:B.二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,則區(qū)間可以為()A B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題意知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,令,即,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故區(qū)間可以為,,,A,B,C正確;當(dāng)時,,此時,的值取不到,D錯誤.故選:ABC.10.已知,下列命題正確的是()A.命題“,”的否定是“,使得成立”B.若命題“,恒成立”為真命題,則C.“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件D.若命題“,”為真命題,則〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A:命題“,”的否定是“,使得成立”,故A錯誤;對于選項B:若命題“,恒成立”為真命題,注意到的圖象開口向上,則,解得,故B正確;對于選項C:若,則,可知方程有實(shí)數(shù)解,即充分性成立;例如,方程有實(shí)數(shù)解,不滿足,即必要性不成立,所以“”是“方程有實(shí)數(shù)解”的充分不必要條件,故C正確;對于選項D:若命題“,”為真命題,注意到的圖象開口向上,對稱軸為,則,解得,故D正確.故選:BCD.11.已知函數(shù),則()A.為奇函數(shù)B.當(dāng)時,的最小值為C.當(dāng)時,的最小值為D.函數(shù)在存在零點(diǎn)的充要條件是〖答案〗AD〖解析〗對于A,定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且,所以為奇函數(shù),故A正確;對于B,取時,此時單調(diào)遞增,最小值為,而無意義,故B錯誤;對于C,取時,此時在上單調(diào)遞減,不是最小值,故C錯誤;對于D,若,則,而,所以函數(shù)在存在零點(diǎn)的充要條件是,故D正確.故選:AD.12.下列不等關(guān)系成立的是()A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A,,故,故,A正確;對于B,,則,則,B正確;對于C,,故,故,C錯誤;對于D,,則,故,D正確.故選:ABD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.求值_______________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為:.14.已知,則__________.〖答案〗6〖解析〗因為,所以.故〖答案〗為:6.15.冪函數(shù)滿足下列性質(zhì):(1)對定義域中任意的,有;(2)對中任意的,都有,請寫出滿足這兩個性質(zhì)的一個冪函數(shù)的表達(dá)式_______________.〖答案〗(〖答案〗不唯一)〖解析〗由題意知冪函數(shù)滿足性質(zhì):對定義域中任意的,有,則函數(shù)為偶函數(shù);又函數(shù)滿足對中任意的,都有,可知函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù),故滿足題目中要求.故〖答案〗為:.16.已知,.如,則__________;如,則___________.〖答案〗或或或〖解析〗由題意知,,故,即,若,則;若,則或或或,故〖答案〗為:或或或.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合,.(1)當(dāng)時,求;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)當(dāng)時,,或,或,所以或.(2)因為,所以集合不可能是空集,若,所以或,解得或,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)(其中,)的最小正周期為,且___________.①點(diǎn)在函數(shù)的圖象上;②函數(shù)的一個零點(diǎn)為;③的一個增區(qū)間為.請你從以上三個條件選擇一個(如果選擇多個,則按選擇的第一個給分),補(bǔ)充完整題目,并求解下列問題:(1)求的〖解析〗式;(2)用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象.解:(1)由題意最小正周期為,解得,所以,若選①,則,所以,又,所以,所以函數(shù)的〖解析〗式為;若選②,則,所以,又,所以,所以函數(shù)的〖解析〗式為;若選③,即的一個增區(qū)間為,當(dāng)時,,又,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知,只能,,所以函數(shù)的〖解析〗式為;綜上所述,無論選哪個條件,函數(shù)的〖解析〗式均為.(2)列表如下:00100描點(diǎn)、連線(光滑曲線)畫出函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象如圖所示:19.已知,,設(shè).(1)若,求,的值;(2)若,求的值.解:(1)因為,兩邊平方可得,解得,所以,.(2)因為,所以.20.已知函數(shù).(1)證明:函數(shù)有且只有兩個不同的零點(diǎn);(2)已知,設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為,試判斷下列四個命題的真假,并說明理由:①;②;③;④.解:(1)由題意可知函數(shù)的定義域為,且在上均單調(diào)遞增且連續(xù),,,故在內(nèi)有唯一零點(diǎn);又,則,故在內(nèi)有唯一零點(diǎn);綜上,函數(shù)有且只有兩個不同的零點(diǎn).(2)①③為真命題;②④為假命題,理由如下:設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為,由(1)可知,故,又,,即,故,故①③為真命題;②④為假命題.21.去年某商戶銷售某品牌服裝9000套,每套服裝利潤為50元.為提高銷售利潤,今年計劃投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)進(jìn)行產(chǎn)品促銷.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),若廣告費(fèi)用為(萬元),則該品牌服裝的年銷售量將增長.請你預(yù)算該品牌服裝的凈利潤(凈利潤為銷售利潤減去廣告費(fèi)用)(1)若使得今年凈利潤比去年至少增長,請你預(yù)算廣告費(fèi)用的范圍?(2)當(dāng)廣告費(fèi)用多少萬元時,品牌服裝的凈利潤最大?解:(1)由題意得,即,化簡并整理得,解得,所以預(yù)算廣告費(fèi)用的范圍為.(2)由題意凈利潤為萬元,所以由基本不等式可得,等號成立當(dāng)且僅當(dāng),所以當(dāng)投入廣告費(fèi)用為8萬元時,品牌服裝的凈利潤最大.22.已知函數(shù)的定義域為.(1)如果不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)如果函數(shù)存在兩個不同的零點(diǎn).①
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