山西省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1山西省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知是全集的非空子集，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為M，N是全集U的非空子集，且，所以韋恩圖為：

由韋恩圖可知，A不正確；B不正確；C不正確；D正確.故選：D2.若滿足，則（）A. B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗因為，則，則.故選：B3.已知非零平面向量，那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗因為向量、為非零向量，設(shè)向量、的夾角為，在等式兩邊平方可得，所以，，則，因為，所以，，即、方向相同，所以，“”不能推出“、方向相同”，“、方向相同”能推出“”，因此，“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.4.記的內(nèi)角所對的邊分別為，則邊上的高為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得.設(shè)邊上的高為，因為，所以，即邊上的高為.故選：D5.已知某物種年后的種群數(shù)量近似滿足函數(shù)模型：．自2023年初起，經(jīng)過年后，當(dāng)該物種的種群數(shù)量不足2023年初的時，的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.10 B.11 C.12 D.13〖答案〗D〖解析〗由題意可知2023年初的種群數(shù)量為時的函數(shù)值，故令，即，則，由于，故n的最小值為13，故選：D6.過點作曲線的兩條切線，切點分別為，，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗由題意得，過點作曲線的兩條切線，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，即，由于，故，，由題意可知，為的兩個解，則，，故.故選：B7.對于一個給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階商數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階商數(shù)列．已知數(shù)列為，，，，，，且它的二階商數(shù)列是常數(shù)列，則（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)數(shù)列的一階商數(shù)列為，二階商數(shù)列為，則，，，又數(shù)列的二階商數(shù)列是常數(shù)列，則，則滿足，所以數(shù)列是為首項，為公比的等比數(shù)列，則，所以，則，，，，，，等式左右分別相乘可得，所以，則，故選：C.8.已知函數(shù)，設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時，，證明如下：令在單調(diào)遞減，所以，故，因此，設(shè)則當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ蕵?gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)單調(diào)遞減，故，則，進而可得，進而可得，又，（證明如下：故在單調(diào)遞減，故）所以，進而，由于時，，故，從而因此，進而，由于，所以上單調(diào)遞增，故，即故選：A二、選擇題9.設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則（）A.有最大值4 B.有最大值C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，正實數(shù)a，b滿足，即有，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值4，無最大值，所以A錯誤；對于B，由選項A可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確.故選：BCD10.一半徑為2米的水輪，水輪圓心O距離水面1米（如圖）.已知水輪按逆時針方向繞圓心O做勻速轉(zhuǎn)動，每1分鐘轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點P從水面浮現(xiàn)時開始計時，則下列判斷正確的有（）A.點P第一次到達最高點需要20秒B.點P第一次到達最低點需要45秒C.在水輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有20秒的時間，點P在水面的下方D.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動30秒時，點P距離水面的高度是2米〖答案〗ACD〖解析〗以O(shè)為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，如下圖，設(shè)點P距離水面的高度與時間的函數(shù)〖解析〗式為，由題意知：，，最小正周期，所以，，，所以，即，又由及題意，所以，所以.對于A，令，解得，即點P第一次到達最高點需要20秒，故A正確；對于B，令，解得，故B錯誤；對于C，令，即，所以，解得，所以水輪轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點P在水面下方的時間為秒，故C正確；對于D，因為，所以當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動30秒時，點P距離水面的高度是2米，故D正確.故選：ACD.11.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，E為AB的中點，則（）A.BC1∥平面A1ECB.二面角A1－EC－A的正弦值為C.點A到平面A1BC1的距離為D.若棱柱的各頂點都在同一球面上，則該球的半徑為〖答案〗ACD〖解析〗A選項，連接，使相交于F，連接EF，因F，E分別為中點，則，因平面，平面，則BC1平面A1EC，故A正確；B選項，由題可得平面ABC，又平面ABC，則又，，平面，平面，則平面.又平面，則，結(jié)合，可知二面角A1－EC－A的平面角為，則，故B錯誤；C選項，設(shè)點A到平面A1BC1的距離為d，取AC中點為G，連接BG.則，又，，，由余弦定理可得，則，得.則，故C正確.D選項，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理，.又設(shè)三棱錐外接球半徑為，則三棱錐外接球與以外接圓為底面的圓柱外接球相同，則.故D正確故選：ACD.12.設(shè)定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若與均為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.2為函數(shù)的周期C.的圖象關(guān)于點中心對稱 D.為偶函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗因為為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故選項A正確；因為，所以，又因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以2為的一個周期，故選項B正確；因為，所以，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，故選項C正確；因為2為的一個周期，又因為，所以，所以，所以為奇函數(shù)，故選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題13.已知函數(shù)，則的值為______.〖答案〗1〖解析〗.故〖答案〗為：1.14.已知為銳角且滿足，則______________．〖答案〗〖解析〗為銳角且滿足，，為銳角，所以，則.故〖答案〗為：.15.已知各項均不為0的數(shù)列滿足，且，則______________．〖答案〗〖解析〗由題意知數(shù)列滿足，即，即，即為首項是，公差為1的等差數(shù)列，故，故，故〖答案〗為：16.在四棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積為______________．〖答案〗〖解析〗如圖，取的兩個三等分點，連接，設(shè)，連接，則，，又，則四邊形為平行四邊形，因為，故H為的中點，而，，則，，在中，，，又為等邊三角形，故，即為的外接圓圓心，又，H為BD的中點，所以，又，≌,，又平面，故平面，而平面，故，則，設(shè)O為三棱錐的外接球球心，連接，過點O作，垂足為F，則，則四邊形為矩形，則，，，又H為的中點，則；設(shè)外接球半徑為R，則，即，解得，則，故三棱錐外接球的表面積為，故〖答案〗為：四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若對任意正整數(shù)，均有，求正整數(shù)的最大值．解：（1）由題意知等差數(shù)列的前項和為，且，設(shè)首項為，公差為d，故，即，解得，故；（2）由（1）可得，當(dāng)時，取到最小值，故對任意正整數(shù)，均有，可得恒成立，即，解得，故正整數(shù)的最大值為11.18.已知向量，向量，．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若在上有唯一的零點，求的取值范圍．解：（1），令，解得，故的單調(diào)增區(qū)間為；（2），當(dāng)，，因為在上有唯一的零點，所以，解得.19.已知函數(shù).（1）若在上存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若在區(qū)間上有極小值，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，因為函數(shù)在上存在單調(diào)減區(qū)間，則不等式在上有解，即在上能成立，而函數(shù)在上遞減，顯然，于是，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，，即，解得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極小值，于是，即，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，解得，則，所以實數(shù)的取值范圍是.20.如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形為下底面圓周上異于的點．（1）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，指出點的位置，并證明；若不存在，請說明理由；（2）若四棱雉的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）為線段中點時，平面.證明如下：取中點，連接，則有，如圖，在等腰梯形中，，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）過點作于，在等腰梯形中，，所以該梯形的高，所以等腰梯形的面積為，所以四棱錐的體積，解得，所以點與重合，以為原點，方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則.設(shè)平面的法向量為，所以，取，則.設(shè)平面與平面夾角為，則.故平面與平面夾角的余弦值為.21.如圖，在平面凸四邊形中，為邊的中點．（1）若，求的面積；（2）求的最大值．解：（1）因為，，由余弦定理可得，，則，且，，所以，則的面積為.（2）取線段的中點為，連接，設(shè)，，因為，由余弦定理可得，，由正弦定理可得，，則，因為分別為的中點，所以，且，所以，且，所以，在中，由余弦定理可得，，由可得，，所以當(dāng)時，即時，取得最大值，所以的最大值為.22.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞減；（2）若有兩個不相等的實數(shù)根．（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）求證：．（1）解：當(dāng)時，，，令，，令，得，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)