第6章 平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)同步單元復(fù)習(xí)題(含解析)

第6章平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）同步單元復(fù)習(xí)題一、單選題1．（2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①直線與直線是同一條直線；②若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)；③兩點(diǎn)之間直線最短；④兩點(diǎn)確定一條直線．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，工程隊(duì)準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，讓游客飽覽山間風(fēng)光．這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線 B．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線C．兩點(diǎn)之間，線段最短 D．垂線段最短3．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）指南針是野外生存的必備工具之一，若指南針上的定向箭頭指向南偏東（如圖），現(xiàn)把定向箭頭繞著點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，此時(shí)定向箭頭的指向是（

）A．北偏西 B．北偏東 C．北偏西 D．北偏東4．（2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如果一個(gè)角的余角是，那么這個(gè)角的補(bǔ)角是（

）A． B． C． D．5．（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州草橋中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方體中，下列各棱與棱平行的是（）A． B． C． D．二、填空題6．（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線、相交于點(diǎn)P，在這平面內(nèi)，如果再畫一條直線，那么它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)共有為．7．（2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)分別表示數(shù)2和4，點(diǎn)C表示數(shù)為，A、B、C三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，的值為．8．（2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)傻慕牵纾毫c(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?；七點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫椋敲磸牧c(diǎn)鐘到七點(diǎn)鐘這一個(gè)小時(shí)內(nèi)，哪些時(shí)刻時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?？?qǐng)寫出具體時(shí)刻：．（結(jié)果形如6點(diǎn)分）9．（2023上·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的方向是北偏東，的方向是北偏西，若，則的方向是10．（2023上·江蘇南京·七年級(jí)?？计谀┒确置霌Q算：．11．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）比較大小：（填“”、“”、“”）．12．（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角尺按如圖方式擺放，且的度數(shù)比的度數(shù)大，則的大小為度．13．（2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線a，b相交，如果，那么．14．（2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則的度數(shù)等于．

15．（2023上·江蘇南京·七年級(jí)南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，，，垂足分別為C，D．則點(diǎn)A到直線的距離是線段的長(zhǎng)．三、解答題16．（2023上·江蘇南京·七年級(jí)南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┮阎c(diǎn)D在線段上，，C是線段的中點(diǎn)，且．(1)如圖①，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖②，E是線段上的點(diǎn)，且．在圖②中，哪些點(diǎn)是圖中線段的中點(diǎn)（點(diǎn)C除外）？并說(shuō)明理由．17．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段，點(diǎn)、把線段分成三部分，其比是，是的中點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)求線段的長(zhǎng)．18．（2023上·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，，，為線段上順次四點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，若，．(1)當(dāng)，時(shí)，______；(2)請(qǐng)說(shuō)明：19．（2023上·江蘇徐州·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若（為大于1的正整數(shù)），則我們稱點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn)．例如，，，則，稱是的最強(qiáng)點(diǎn)；，則是的最強(qiáng)點(diǎn)．(1)點(diǎn)在線段上，若，，點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn)，則______．(2)若，是的最強(qiáng)點(diǎn)，則______．（用的代數(shù)式表示）(3)一直線上有兩點(diǎn)，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，為多少時(shí)，點(diǎn)，，恰好有一個(gè)點(diǎn)是其余2個(gè)點(diǎn)的最強(qiáng)點(diǎn)．（用的代數(shù)式表示）20．（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)校考期末）如圖，射線在的內(nèi)部，點(diǎn)D在的邊上．(1)請(qǐng)用圓規(guī)在射線上取一點(diǎn)E，使得；(2)在射線上作一點(diǎn)P，使得最小，這樣作圖依據(jù)是___________；（友情提醒：以上尺規(guī)作圖只需保留作圖痕跡，不寫作法．）21．（2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）生活處處有數(shù)學(xué)，就看你是否有數(shù)學(xué)的眼光．同學(xué)們都見過(guò)機(jī)械手表吧，讓我們一起去探索其中隱含的數(shù)學(xué)知識(shí)．一塊手表如圖①所示，把它抽象成數(shù)學(xué)模型：如圖②，表帶的兩端用點(diǎn)A和點(diǎn)D表示，表盤與線段交于點(diǎn)B、C，O為表盤圓心．(1)若為4，，B是中點(diǎn)，則手表全長(zhǎng)．(2)表盤上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)數(shù)字“12”，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)數(shù)字“6”，為時(shí)針，為分針，8：30時(shí)表盤指針狀態(tài)如圖③所示，分針與重合．①度；②作射線，使，求此時(shí)的度數(shù)．(3)如圖④所示，F(xiàn)在下方，已知，從(分針與重合，仍為時(shí)針）開始，在一小時(shí)以內(nèi)，經(jīng)過(guò)多少分鐘后，射線、射線、射線中一條射線是另兩條射線組成的角的平分線．22．（2022上·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）“時(shí)鐘里的數(shù)學(xué)問(wèn)題”：時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ玫纳钣闷?，鐘表上的時(shí)針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，如圖1，表盤中1－12均勻分布，分針60分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周是，時(shí)針60分鐘移動(dòng)一周的是，這樣，分針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)6度，時(shí)針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)度．課題學(xué)習(xí)：三點(diǎn)二十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌榷嗌俣?？解決這個(gè)問(wèn)題，可以先考慮三點(diǎn)整，時(shí)針與分針?biāo)山嵌葹椋粡娜c(diǎn)到三點(diǎn)二十分，我們可以先計(jì)算分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，，．三點(diǎn)二十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁牵畣?wèn)題解決：(1)三點(diǎn)三十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁莀______°，三點(diǎn)四十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁莀______°；(2)一點(diǎn)鐘時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌龋谝稽c(diǎn)鐘到兩點(diǎn)鐘之間，小明發(fā)現(xiàn)存在著時(shí)針和分針垂直的情況，請(qǐng)求出具體的時(shí)刻；(3)如圖2，當(dāng)時(shí)針和分針?biāo)山嵌?80°時(shí)形成一條直線，這條直線剛好平分鐘面，我們將這樣的時(shí)刻稱為“美妙時(shí)刻”，如圖，六點(diǎn)整就是一個(gè)美妙時(shí)刻，時(shí)針、分鐘繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，下一個(gè)美妙時(shí)刻是什么時(shí)刻？從0時(shí)到24時(shí)共_______個(gè)美妙時(shí)刻23．（2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：．(1)如圖1，若．①寫出圖中一組相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如圖2，與重合，若，將繞點(diǎn)O以5度/秒的速度作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．①當(dāng)t=______秒時(shí)，平分；②試說(shuō)明：當(dāng)t為何值時(shí)，？24．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)部有一射線OC，，與的度數(shù)比為，射線從出發(fā)，以10度/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線從出發(fā)以20度/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合后，立即以原速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與重合后再次改變方向順時(shí)針向旋轉(zhuǎn)（即在與之間來(lái)回?cái)[動(dòng)），當(dāng)與重合時(shí)，與都停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．(1)時(shí)，；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，恰好是的平分線；(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，作的角平分線，是否存在某個(gè)時(shí)間段，使得的度數(shù)保持不變？如果存在，求出的度數(shù)，并寫出對(duì)應(yīng)的t的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知直線與相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)O、是的平分線.(1)若，求的度數(shù)；(2)的補(bǔ)角是______，的余角是______.26．（2023上·江蘇南京·七年級(jí)校考期末）如圖，已知．(1)的余角為，射線平分，當(dāng)，求的度數(shù)；(2)若的補(bǔ)角為，射線平分，試用含的代數(shù)式表示的度數(shù)．（畫出圖形，并直接寫出結(jié)果）27．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線和相交于點(diǎn)O，，平分．(1)若，求的度數(shù)：(2)若比小，求的度數(shù)．28．（2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，A、B、C都在格點(diǎn)上，利用網(wǎng)格作圖．(1)過(guò)點(diǎn)C畫直線的平行線；(2)過(guò)點(diǎn)A畫直線的垂線，并注明垂足為G；過(guò)點(diǎn)A畫直線的垂線，交于點(diǎn)H．(3)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線的距離；29．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【知識(shí)背景】：蘇科版教材“垂直”中，我們通過(guò)度量、比較發(fā)現(xiàn)了“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”．如圖1，在線段、、中，長(zhǎng)度最短的是_______．【知識(shí)說(shuō)理】：事實(shí)上，我們可以根據(jù)學(xué)過(guò)的基本事實(shí)，通過(guò)下面的說(shuō)理證實(shí)這個(gè)結(jié)論．把圖（1）沿直線翻折，并畫出圖（2）．由于線段是由線段沿直線翻折得到的，因此______．同樣，，．因?yàn)?，，所以、、三點(diǎn)在一條直線上．于是，根據(jù)基本事實(shí)“________”，可以得到，，即，，也就是，．【知識(shí)應(yīng)用】：如圖3，、兩個(gè)村莊在河道的兩側(cè)，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道把河水引向、兩個(gè)村莊，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)鋪設(shè)路線，才能使鋪設(shè)的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出鋪設(shè)的線路示意圖．【知識(shí)延伸】：如圖4，、兩個(gè)村莊在河道的同側(cè)，現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道把河水引向、兩個(gè)村莊，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)鋪設(shè)路線，才能使鋪設(shè)的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出鋪設(shè)的線路示意圖，并說(shuō)說(shuō)你的解題思路．參考答案：1．B【分析】根據(jù)直線、線段的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得到答案．【詳解】解：①在同一圖形中，直線與直線是同一條直線，故①說(shuō)法正確，符合題意；②若，則點(diǎn)是的中點(diǎn)的說(shuō)法錯(cuò)誤，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)不一定在一條直線上，故②說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；③兩點(diǎn)之間線段最短，故③說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；④兩點(diǎn)確定一條直線，故④說(shuō)法正確，符合題意；綜上所述，正確的有①④，共2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段的問(wèn)題，熟練掌握直線、線段的定義及性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．2．C【分析】工程隊(duì)準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，即求線段變彎后長(zhǎng)度變長(zhǎng)的數(shù)學(xué)原理，據(jù)此作答即可．【詳解】筆直的河道改彎，從而增加游覽船的航程，這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是兩點(diǎn)之間，線段最短．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)常識(shí)在生活中的應(yīng)用，正確將題意中的現(xiàn)象替換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)方位角的表示方法，即可求解．【詳解】解：依題意，如圖，指南針上的定向箭頭指向南偏東把定向箭頭繞著點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則此時(shí)定向箭頭的指向是北偏西，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方位角，注意旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，掌握方位角的表示方法是解題的關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)角為，由題意得：，解得：，∴這個(gè)角的補(bǔ)角為，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了余角、補(bǔ)角的定義，難度不大，掌握余角補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．5．D【分析】根據(jù)平行線的定義，結(jié)合正方體的特征直接判斷即可．【詳解】解：由圖可知，與棱平行的棱有，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的定義和正方體的特征．6．1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)【分析】在同一平面內(nèi)，兩條直線平行，第三條直線與它相交，有2個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，最少有1個(gè)交點(diǎn)．【詳解】當(dāng)平行于或時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；當(dāng)與和都不平行，交于P點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；不交于同一點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．故答案為：1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類討論是解題的關(guān)鍵．7．或或【分析】根據(jù)題意，可分為三種情況進(jìn)行分析：點(diǎn)A為中點(diǎn)；點(diǎn)B為中點(diǎn)；點(diǎn)C為中點(diǎn)；分別求出的值即可．【詳解】解：根據(jù)題意，∵數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)分別表示數(shù)2和4，點(diǎn)C表示數(shù)為，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，∴；當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，∴；當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，；∴的值為：或或故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)軸上表示的數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的相關(guān)定義進(jìn)行計(jì)算．8．6點(diǎn)分或6點(diǎn)【分析】設(shè)6點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?00°，根據(jù)時(shí)針與分針的角度差為，分時(shí)針與分針重合前以及重合后分別列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)6點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，六點(diǎn)鐘的時(shí)候，時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?，依題意得分時(shí)針與分針重合前，，解得：分時(shí)針與分針重合后，，解得：故答案為：6點(diǎn)分或6點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論是解題的關(guān)鍵．9．東偏南/南偏東【分析】根據(jù)的方向是北偏東，的方向是北偏西，可得，根據(jù)，可得的度數(shù)，進(jìn)而得出的方向．【詳解】解：∵的方向是北偏東，的方向是北偏西，∴，∵，∴，∵，∴的方向是東偏南，故答案為：東偏南．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角的問(wèn)題，熟練掌握角度的相關(guān)計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．10．【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)率為進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了度分秒的換算，熟知度分秒的進(jìn)率為是解題的關(guān)鍵．11．【分析】利用度分秒的進(jìn)制，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)三角板得到，結(jié)合，即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，，解得：，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)直角三角尺求角度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組求解．13．/280度【分析】由鄰補(bǔ)角的定義和對(duì)頂角定義，先求出，即可求出答案．【詳解】解：由題意，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義和對(duì)頂角定義，解題的關(guān)鍵是正確的求出角的度數(shù)．14．【分析】由垂線的定義可得，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義、對(duì)頂角相等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．15．/【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義，即可解答．【詳解】解：，垂足為點(diǎn)C，點(diǎn)A到直線的距離是線段的長(zhǎng)，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離．16．(1)5(2)點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，理由見解析【分析】(1)首先根據(jù)，，即可求得、的長(zhǎng)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，即可求得的長(zhǎng)，據(jù)此即可求得結(jié)果；(2)首先可求得、、的長(zhǎng)，再根據(jù)各條線段之間的關(guān)系，即可判定．【詳解】（1）解：，，，解得：，則，又是線段的中點(diǎn)，，；（2）解：點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，理由如下：，，，，，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差，準(zhǔn)確找到各線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17．(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)已知條件設(shè)，，，用方程求出，進(jìn)而求出線段的長(zhǎng)；（2）根據(jù)中點(diǎn)定義求出的長(zhǎng)，然后得出線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：點(diǎn)、把線段分成三部分，其比是，設(shè)，，，線段，；（2）是的中點(diǎn)．，．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離，掌握中點(diǎn)定義的應(yīng)用，其中用方程的思想解決此題是解題關(guān)鍵．18．(1)4(2)見解析【分析】（1）根據(jù)，得出，則，即可求解；（2）根據(jù)，可得，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：4．（2）∵，，∴，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，以及線段的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點(diǎn)的定義，根據(jù)圖形得出線段之間的關(guān)系．19．(1)(2)(3)或或或或【分析】（1）根據(jù)“最強(qiáng)點(diǎn)”的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)“最強(qiáng)點(diǎn)”的定義列式即可；（3）將點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)分成未相遇，相遇后，點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)后，和點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后四種階段討論，并且每個(gè)階段又有可能有2種不同的點(diǎn)的情況．【詳解】（1）解：點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，故答案為：；（2）解：是的最強(qiáng)點(diǎn)，，，又，，，，故答案為；（3）解：根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)、相遇，，解得，階段一：點(diǎn)、未相遇時(shí)，即時(shí)，①設(shè)時(shí)點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，解得，又，即，，為大于1的正整數(shù)，不滿足題意，舍去；②設(shè)時(shí)，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，解得，又，即，，為大于1的正整數(shù)，符合題意；階段二：點(diǎn)、相遇后，且點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn)，即時(shí)，③設(shè)時(shí)，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，為大于1的正整數(shù)，符合題意；④設(shè)時(shí)，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，∵n為大于1的正整數(shù)，符合題意；階段三：點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)后，且點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn)，即時(shí)，⑤設(shè)時(shí)，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，符合題意；⑥設(shè)時(shí)，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，，又，即，，不符合題意，舍去；階段四：點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，即時(shí)，，，點(diǎn)不可能為的最強(qiáng)點(diǎn)；⑦設(shè)時(shí)，點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn)，，，，，又，即，，符合題意；綜上所述，當(dāng)為或或或或時(shí)，點(diǎn)，，恰好有一個(gè)點(diǎn)是其余2個(gè)點(diǎn)的最強(qiáng)點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，列一元一次方程解應(yīng)用題，線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)用分類討論的思想，正確地列出代數(shù)式表示出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．20．(1)作圖見解析(2)作圖見解析；兩點(diǎn)之間線段最短【分析】（1）以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫弧，交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E；（2）連接交于點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)最?。驹斀狻浚?）解：以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫弧，交于一點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn)，如圖所示：（2）解：連接交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，依據(jù)是根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短．故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作一條線段等于已知線段，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的方法．21．(1)12(2)①75；②或(3)或【分析】（1）利用中點(diǎn)和，求出和,求和即可得;（2）①利用分針和時(shí)針每分鐘走過(guò)得角度即可計(jì)算；②分兩種情況計(jì)算即可；（3）設(shè)時(shí)間為t，列出含t的方程，解方程即可．【詳解】（1）∵B是中點(diǎn)．∴；∴；∵；∴；∴；∴，故答案為：12；（2）①分針的速度為（每分）；時(shí)針的速度為（每分）；30分鐘時(shí)針走的路程為，即時(shí)針從8點(diǎn)到走的路程為15°，∴，故答案為：；②當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，∴；當(dāng)在外部時(shí)，（3）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間為t分鐘，時(shí)針與分針得速度差為，∴，∵平分，∴，①，解得（分），②，解得（分），綜上所述t為或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段長(zhǎng)度的計(jì)算，時(shí)針和分針的夾角，以及列一元一次方程解決問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合和細(xì)心計(jì)算是解題的關(guān)鍵．22．(1)(2)在一點(diǎn)二十二分或一點(diǎn)五十五分時(shí)，時(shí)針和分針垂直(3)下一個(gè)美妙時(shí)刻是七點(diǎn)零五分；22【分析】（1）按照題干步驟，先求從三點(diǎn)開始分針旋轉(zhuǎn)的角度，再求時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度，二者之差再減去初始角度即為所求；（2）設(shè)從一點(diǎn)開始過(guò)了x分鐘時(shí)針和分針垂直，根據(jù)等量關(guān)系式分針旋轉(zhuǎn)角度（初始角度時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度)最終差值代入計(jì)算，但應(yīng)注意時(shí)針和分針垂直包含2種情況，分別是最終的角度差值為和；（3）因?yàn)闀r(shí)針比分針走得慢，所以再次到達(dá)美妙時(shí)刻時(shí)，分針比時(shí)針多走一圈，用分針多走的角度除以分針和時(shí)針的速度差即為再次到達(dá)美妙時(shí)刻所需的時(shí)間；用一天的時(shí)間除以該時(shí)間也就是一天當(dāng)中美妙時(shí)刻的數(shù)量．【詳解】（1）解：三點(diǎn)整，時(shí)針與分針?biāo)山嵌葹椋瑥娜c(diǎn)到三點(diǎn)三十分，分針旋轉(zhuǎn)的角度是，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度是，∴三點(diǎn)三十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁?；三點(diǎn)到三點(diǎn)四十分，分針旋轉(zhuǎn)的角度是，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度是，∴三點(diǎn)四十分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁?；故答案為：；?）設(shè)從一點(diǎn)開始過(guò)了x分鐘時(shí)針和分針垂直，由題意，得：分針旋轉(zhuǎn)角度（初始角度時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度)最終差值，當(dāng)分針和時(shí)針垂直時(shí)，最終差值可以是或；①當(dāng)最終差值為時(shí)：，解得：，此時(shí)為一點(diǎn)二十二分；②當(dāng)最終差值為時(shí)：，解得：，此時(shí)為一點(diǎn)五十五分．綜上：在一點(diǎn)二十二分或一點(diǎn)五十五分時(shí)，時(shí)針和分針垂直．（3）解：再次到達(dá)美妙時(shí)刻時(shí)，相當(dāng)于分針比時(shí)針多旋轉(zhuǎn)一周，時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)，分針每分鐘旋轉(zhuǎn)，時(shí)針每分鐘少旋轉(zhuǎn)，∴到達(dá)下一個(gè)美妙時(shí)刻需要時(shí)間分鐘，此時(shí)為七點(diǎn)零五分．一天有分鐘，，即一天有22個(gè)美時(shí)刻．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角的計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用．理解并掌握題干中鐘面角的計(jì)算方法，是解題的關(guān)鍵．23．(1)①，同角的余角相等；②180(2)①6；②或20【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等解答；②利用角的和差關(guān)系即可求解；（2）①由平分知，旋轉(zhuǎn)角等于的一半，即可列方程求解；②分在的內(nèi)部和外部討論即可．【詳解】（1）解：①∵，∴，，∴（同角的余角相等）．故答案為：，同角的余角相等；②∵，∴．故答案為：180；（2）解：①根據(jù)題意，得，即，解得．故答案為：6；②當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，∵，∴，解得；當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，∵，∴，解得，綜上，t為或20時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，余角的性質(zhì)，角的計(jì)算等知識(shí)的綜合運(yùn)用，列方程求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．24．(1)100(2)3或7(3)存在，時(shí)，的度數(shù)保持不變，；時(shí)，的度數(shù)保持不變，【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，故，即得；（2），與的度數(shù)比為，知，，故從旋轉(zhuǎn)到（或從旋轉(zhuǎn)到需要（秒），從旋轉(zhuǎn)到需要（秒），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，解方程可得答案；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即可得到答案．【詳解】（1）解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，；故答案為：100；（2），與的度數(shù)比為，，，從旋轉(zhuǎn)到或從旋轉(zhuǎn)到需要（秒），從旋轉(zhuǎn)到需要（秒），當(dāng)時(shí)，，，恰好是的平分線，，解得；當(dāng)時(shí)，，，恰好是的平分線，，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，，，恰好是的平分線，，解得；綜上所述，當(dāng)為3或7時(shí)，恰好是的平分線；（3）存在某個(gè)時(shí)間段，使得的度數(shù)保持不變，理由如下：當(dāng)時(shí)，，，平分，，，時(shí)，的度數(shù)保持不變，；當(dāng)時(shí)，，，平分，，，時(shí)，的度數(shù)隨的改變而改變；當(dāng)時(shí)，，，平分，，，時(shí)，的度數(shù)保持不變，；綜上所述，時(shí)，的度數(shù)保持不變，；時(shí)，的度數(shù)保持不變，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能應(yīng)用分類討論思想解決問(wèn)題．25．(1)；(2)和；和【分析】（1）先求得，再根據(jù)角平分線的定義求得，據(jù)此求解即可；（2）由對(duì)頂角相等以及（1）的結(jié)論，得到，根據(jù)補(bǔ)角和余的定義即可求解.【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是的平分線，∴，∴；（2）解：∵，且，∴的補(bǔ)角是和；∵，∴，∴的余角是和；故答案為：和；和.【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義以及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，若兩個(gè)角的和為，則這兩個(gè)角互余；若兩個(gè)角的和等于，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．26．(1)或(2)或【分析】（1）分當(dāng)在外部時(shí)，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，兩種情況根據(jù)余角的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義求出即可得到答案；（2）分當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，兩種情況利