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第6章平面圖形的認(rèn)識(shí)(一)同步單元復(fù)習(xí)題一、單選題1.(2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)下列說(shuō)法中,正確的個(gè)數(shù)是(
)①直線與直線是同一條直線;②若,則點(diǎn)是的中點(diǎn);③兩點(diǎn)之間直線最短;④兩點(diǎn)確定一條直線.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.(2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,工程隊(duì)準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎,從而增加游覽船的航程,讓游客飽覽山間風(fēng)光.這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是()A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線C.兩點(diǎn)之間,線段最短 D.垂線段最短3.(2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末)指南針是野外生存的必備工具之一,若指南針上的定向箭頭指向南偏東(如圖),現(xiàn)把定向箭頭繞著點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),此時(shí)定向箭頭的指向是(
)A.北偏西 B.北偏東 C.北偏西 D.北偏東4.(2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期末)如果一個(gè)角的余角是,那么這個(gè)角的補(bǔ)角是(
)A. B. C. D.5.(2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州草橋中學(xué)??计谀┤鐖D,在正方體中,下列各棱與棱平行的是()A. B. C. D.二、填空題6.(2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,直線、相交于點(diǎn)P,在這平面內(nèi),如果再畫一條直線,那么它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)共有為.7.(2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末)已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)分別表示數(shù)2和4,點(diǎn)C表示數(shù)為,A、B、C三點(diǎn)中,有一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn),的值為.8.(2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末)鐘面角是指時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)傻慕牵纾毫c(diǎn)鐘的時(shí)候,時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?;七點(diǎn)鐘的時(shí)候,時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫椋敲磸牧c(diǎn)鐘到七點(diǎn)鐘這一個(gè)小時(shí)內(nèi),哪些時(shí)刻時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫???qǐng)寫出具體時(shí)刻:.(結(jié)果形如6點(diǎn)分)9.(2023上·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,的方向是北偏東,的方向是北偏西,若,則的方向是10.(2023上·江蘇南京·七年級(jí)??计谀┒确置霌Q算:.11.(2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)比較大小:(填“”、“”、“”).12.(2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期末)一副三角尺按如圖方式擺放,且的度數(shù)比的度數(shù)大,則的大小為度.13.(2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,直線a,b相交,如果,那么.14.(2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,直線相交于點(diǎn),于點(diǎn),若,則的度數(shù)等于.
15.(2023上·江蘇南京·七年級(jí)南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校??计谀┤鐖D,,,垂足分別為C,D.則點(diǎn)A到直線的距離是線段的長(zhǎng).三、解答題16.(2023上·江蘇南京·七年級(jí)南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校??计谀┮阎c(diǎn)D在線段上,,C是線段的中點(diǎn),且.(1)如圖①,求線段的長(zhǎng);(2)如圖②,E是線段上的點(diǎn),且.在圖②中,哪些點(diǎn)是圖中線段的中點(diǎn)(點(diǎn)C除外)?并說(shuō)明理由.17.(2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,線段,點(diǎn)、把線段分成三部分,其比是,是的中點(diǎn).(1)求線段的長(zhǎng);(2)求線段的長(zhǎng).18.(2023上·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,點(diǎn),,,為線段上順次四點(diǎn),,分別是,的中點(diǎn),若,.(1)當(dāng),時(shí),______;(2)請(qǐng)說(shuō)明:19.(2023上·江蘇徐州·七年級(jí)??计谀c(diǎn)是線段上一點(diǎn),若(為大于1的正整數(shù)),則我們稱點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn).例如,,,則,稱是的最強(qiáng)點(diǎn);,則是的最強(qiáng)點(diǎn).(1)點(diǎn)在線段上,若,,點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn),則______.(2)若,是的最強(qiáng)點(diǎn),則______.(用的代數(shù)式表示)(3)一直線上有兩點(diǎn),,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒的速度向運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒的速度沿射線運(yùn)動(dòng),為多少時(shí),點(diǎn),,恰好有一個(gè)點(diǎn)是其余2個(gè)點(diǎn)的最強(qiáng)點(diǎn).(用的代數(shù)式表示)20.(2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)校考期末)如圖,射線在的內(nèi)部,點(diǎn)D在的邊上.(1)請(qǐng)用圓規(guī)在射線上取一點(diǎn)E,使得;(2)在射線上作一點(diǎn)P,使得最小,這樣作圖依據(jù)是___________;(友情提醒:以上尺規(guī)作圖只需保留作圖痕跡,不寫作法.)21.(2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末)生活處處有數(shù)學(xué),就看你是否有數(shù)學(xué)的眼光.同學(xué)們都見過(guò)機(jī)械手表吧,讓我們一起去探索其中隱含的數(shù)學(xué)知識(shí).一塊手表如圖①所示,把它抽象成數(shù)學(xué)模型:如圖②,表帶的兩端用點(diǎn)A和點(diǎn)D表示,表盤與線段交于點(diǎn)B、C,O為表盤圓心.(1)若為4,,B是中點(diǎn),則手表全長(zhǎng).(2)表盤上的點(diǎn)B對(duì)應(yīng)數(shù)字“12”,點(diǎn)C對(duì)應(yīng)數(shù)字“6”,為時(shí)針,為分針,8:30時(shí)表盤指針狀態(tài)如圖③所示,分針與重合.①度;②作射線,使,求此時(shí)的度數(shù).(3)如圖④所示,F(xiàn)在下方,已知,從(分針與重合,仍為時(shí)針)開始,在一小時(shí)以內(nèi),經(jīng)過(guò)多少分鐘后,射線、射線、射線中一條射線是另兩條射線組成的角的平分線.22.(2022上·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末)“時(shí)鐘里的數(shù)學(xué)問(wèn)題”:時(shí)鐘是我們?nèi)粘I钪谐S玫纳钣闷?,鐘表上的時(shí)針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn),如圖1,表盤中1-12均勻分布,分針60分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一周是,時(shí)針60分鐘移動(dòng)一周的是,這樣,分針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)6度,時(shí)針轉(zhuǎn)速為每分鐘轉(zhuǎn)度.課題學(xué)習(xí):三點(diǎn)二十分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)山嵌榷嗌俣??解決這個(gè)問(wèn)題,可以先考慮三點(diǎn)整,時(shí)針與分針?biāo)山嵌葹椋粡娜c(diǎn)到三點(diǎn)二十分,我們可以先計(jì)算分針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度,,時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度,,.三點(diǎn)二十分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁牵畣?wèn)題解決:(1)三點(diǎn)三十分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁莀______°,三點(diǎn)四十分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁莀______°;(2)一點(diǎn)鐘時(shí),時(shí)針與分針?biāo)山嵌龋谝稽c(diǎn)鐘到兩點(diǎn)鐘之間,小明發(fā)現(xiàn)存在著時(shí)針和分針垂直的情況,請(qǐng)求出具體的時(shí)刻;(3)如圖2,當(dāng)時(shí)針和分針?biāo)山嵌?80°時(shí)形成一條直線,這條直線剛好平分鐘面,我們將這樣的時(shí)刻稱為“美妙時(shí)刻”,如圖,六點(diǎn)整就是一個(gè)美妙時(shí)刻,時(shí)針、分鐘繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng),下一個(gè)美妙時(shí)刻是什么時(shí)刻?從0時(shí)到24時(shí)共_______個(gè)美妙時(shí)刻23.(2023上·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)已知:.(1)如圖1,若.①寫出圖中一組相等的角(除直角外)__________,理由是________________.
②那么_________.(2)如圖2,與重合,若,將繞點(diǎn)O以5度/秒的速度作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t()秒.①當(dāng)t=______秒時(shí),平分;②試說(shuō)明:當(dāng)t為何值時(shí),?24.(2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,內(nèi)部有一射線OC,,與的度數(shù)比為,射線從出發(fā),以10度/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),同時(shí)射線從出發(fā)以20度/秒的速度繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)射線與射線重合后,立即以原速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)與重合后再次改變方向順時(shí)針向旋轉(zhuǎn)(即在與之間來(lái)回?cái)[動(dòng)),當(dāng)與重合時(shí),與都停止旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)過(guò)程中設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒.(1)時(shí),;(2)當(dāng)t為何值時(shí),恰好是的平分線;(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,作的角平分線,是否存在某個(gè)時(shí)間段,使得的度數(shù)保持不變?如果存在,求出的度數(shù),并寫出對(duì)應(yīng)的t的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.25.(2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知直線與相交于點(diǎn)O,于點(diǎn)O、是的平分線.(1)若,求的度數(shù);(2)的補(bǔ)角是______,的余角是______.26.(2023上·江蘇南京·七年級(jí)校考期末)如圖,已知.(1)的余角為,射線平分,當(dāng),求的度數(shù);(2)若的補(bǔ)角為,射線平分,試用含的代數(shù)式表示的度數(shù).(畫出圖形,并直接寫出結(jié)果)27.(2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,直線和相交于點(diǎn)O,,平分.(1)若,求的度數(shù):(2)若比小,求的度數(shù).28.(2023上·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖,A、B、C都在格點(diǎn)上,利用網(wǎng)格作圖.(1)過(guò)點(diǎn)C畫直線的平行線;(2)過(guò)點(diǎn)A畫直線的垂線,并注明垂足為G;過(guò)點(diǎn)A畫直線的垂線,交于點(diǎn)H.(3)線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到直線的距離;29.(2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末)【知識(shí)背景】:蘇科版教材“垂直”中,我們通過(guò)度量、比較發(fā)現(xiàn)了“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短”.如圖1,在線段、、中,長(zhǎng)度最短的是_______.【知識(shí)說(shuō)理】:事實(shí)上,我們可以根據(jù)學(xué)過(guò)的基本事實(shí),通過(guò)下面的說(shuō)理證實(shí)這個(gè)結(jié)論.把圖(1)沿直線翻折,并畫出圖(2).由于線段是由線段沿直線翻折得到的,因此______.同樣,,.因?yàn)?,,所以、、三點(diǎn)在一條直線上.于是,根據(jù)基本事實(shí)“________”,可以得到,,即,,也就是,.【知識(shí)應(yīng)用】:如圖3,、兩個(gè)村莊在河道的兩側(cè),現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道把河水引向、兩個(gè)村莊,應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)鋪設(shè)路線,才能使鋪設(shè)的水管最短?請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出鋪設(shè)的線路示意圖.【知識(shí)延伸】:如圖4,、兩個(gè)村莊在河道的同側(cè),現(xiàn)要鋪設(shè)一條引水管道把河水引向、兩個(gè)村莊,應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)鋪設(shè)路線,才能使鋪設(shè)的水管最短?請(qǐng)?jiān)趫D4中畫出鋪設(shè)的線路示意圖,并說(shuō)說(shuō)你的解題思路.參考答案:1.B【分析】根據(jù)直線、線段的定義及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得到答案.【詳解】解:①在同一圖形中,直線與直線是同一條直線,故①說(shuō)法正確,符合題意;②若,則點(diǎn)是的中點(diǎn)的說(shuō)法錯(cuò)誤,因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)不一定在一條直線上,故②說(shuō)法錯(cuò)誤,不符合題意;③兩點(diǎn)之間線段最短,故③說(shuō)法錯(cuò)誤,不符合題意;④兩點(diǎn)確定一條直線,故④說(shuō)法正確,符合題意;綜上所述,正確的有①④,共2個(gè),故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段的問(wèn)題,熟練掌握直線、線段的定義及性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.2.C【分析】工程隊(duì)準(zhǔn)備將一段筆直的河道改彎,從而增加游覽船的航程,即求線段變彎后長(zhǎng)度變長(zhǎng)的數(shù)學(xué)原理,據(jù)此作答即可.【詳解】筆直的河道改彎,從而增加游覽船的航程,這其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是兩點(diǎn)之間,線段最短.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)常識(shí)在生活中的應(yīng)用,正確將題意中的現(xiàn)象替換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言是解題的關(guān)鍵.3.A【分析】根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)方位角的表示方法,即可求解.【詳解】解:依題意,如圖,指南針上的定向箭頭指向南偏東把定向箭頭繞著點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),則此時(shí)定向箭頭的指向是北偏西,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了方位角,注意旋轉(zhuǎn)方向,旋轉(zhuǎn)的度數(shù),掌握方位角的表示方法是解題的關(guān)鍵.4.D【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義計(jì)算即可.【詳解】解:設(shè)這個(gè)角為,由題意得:,解得:,∴這個(gè)角的補(bǔ)角為,故選D.【點(diǎn)睛】此題考查了余角、補(bǔ)角的定義,難度不大,掌握余角補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵.5.D【分析】根據(jù)平行線的定義,結(jié)合正方體的特征直接判斷即可.【詳解】解:由圖可知,與棱平行的棱有,,,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判斷,解題的關(guān)鍵是掌握平行線的定義和正方體的特征.6.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)【分析】在同一平面內(nèi),兩條直線平行,第三條直線與它相交,有2個(gè)交點(diǎn);三條直線兩兩相交,最多有3個(gè)交點(diǎn),最少有1個(gè)交點(diǎn).【詳解】當(dāng)平行于或時(shí),交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè);當(dāng)與和都不平行,交于P點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè);不交于同一點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè).故答案為:1個(gè)或2個(gè)或3個(gè).【點(diǎn)睛】本題考查了直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,分類討論是解題的關(guān)鍵.7.或或【分析】根據(jù)題意,可分為三種情況進(jìn)行分析:點(diǎn)A為中點(diǎn);點(diǎn)B為中點(diǎn);點(diǎn)C為中點(diǎn);分別求出的值即可.【詳解】解:根據(jù)題意,∵數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)分別表示數(shù)2和4,點(diǎn)C表示數(shù)為,當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),,∴;當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),,∴;當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí),;∴的值為:或或故答案為:或或.【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)問(wèn)題,數(shù)軸上表示的數(shù),解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸的相關(guān)定義進(jìn)行計(jì)算.8.6點(diǎn)分或6點(diǎn)【分析】設(shè)6點(diǎn)分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?00°,根據(jù)時(shí)針與分針的角度差為,分時(shí)針與分針重合前以及重合后分別列出方程即可求解.【詳解】解:設(shè)6點(diǎn)分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?,時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn),分針每分鐘轉(zhuǎn),六點(diǎn)鐘的時(shí)候,時(shí)針與分針?biāo)社娒娼菫?,依題意得分時(shí)針與分針重合前,,解得:分時(shí)針與分針重合后,,解得:故答案為:6點(diǎn)分或6點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了鐘面角的計(jì)算,一元一次方程的應(yīng)用,分類討論是解題的關(guān)鍵.9.東偏南/南偏東【分析】根據(jù)的方向是北偏東,的方向是北偏西,可得,根據(jù),可得的度數(shù),進(jìn)而得出的方向.【詳解】解:∵的方向是北偏東,的方向是北偏西,∴,∵,∴,∵,∴的方向是東偏南,故答案為:東偏南.【點(diǎn)睛】本題考查了方向角的問(wèn)題,熟練掌握角度的相關(guān)計(jì)算是解本題的關(guān)鍵.10.【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)率為進(jìn)行求解即可.【詳解】解:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了度分秒的換算,熟知度分秒的進(jìn)率為是解題的關(guān)鍵.11.【分析】利用度分秒的進(jìn)制,進(jìn)行計(jì)算即可解答.【詳解】解:∵,∴,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算,熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵.12.【分析】根據(jù)三角板得到,結(jié)合,即可得到答案;【詳解】解:由題意可得,,,解得:,故答案為:;【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)直角三角尺求角度,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組求解.13./280度【分析】由鄰補(bǔ)角的定義和對(duì)頂角定義,先求出,即可求出答案.【詳解】解:由題意,∵,∴,∴,∴;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義和對(duì)頂角定義,解題的關(guān)鍵是正確的求出角的度數(shù).14.【分析】由垂線的定義可得,根據(jù)對(duì)頂角相等可得,最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解:,,,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義、對(duì)頂角相等,熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵.15./【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義,即可解答.【詳解】解:,垂足為點(diǎn)C,點(diǎn)A到直線的距離是線段的長(zhǎng),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離,點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離.16.(1)5(2)點(diǎn)D是線段的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段的中點(diǎn),理由見解析【分析】(1)首先根據(jù),,即可求得、的長(zhǎng),再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義,即可求得的長(zhǎng),據(jù)此即可求得結(jié)果;(2)首先可求得、、的長(zhǎng),再根據(jù)各條線段之間的關(guān)系,即可判定.【詳解】(1)解:,,,解得:,則,又是線段的中點(diǎn),,;(2)解:點(diǎn)D是線段的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段的中點(diǎn),理由如下:,,,,,點(diǎn)D是線段的中點(diǎn),點(diǎn)E是線段的中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義,線段的和差,準(zhǔn)確找到各線段之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.17.(1)(2)【分析】(1)先根據(jù)已知條件設(shè),,,用方程求出,進(jìn)而求出線段的長(zhǎng);(2)根據(jù)中點(diǎn)定義求出的長(zhǎng),然后得出線段的長(zhǎng).【詳解】(1)解:點(diǎn)、把線段分成三部分,其比是,設(shè),,,線段,;(2)是的中點(diǎn).,.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)之間的距離,掌握中點(diǎn)定義的應(yīng)用,其中用方程的思想解決此題是解題關(guān)鍵.18.(1)4(2)見解析【分析】(1)根據(jù),得出,則,即可求解;(2)根據(jù),可得,則,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:∵,,∴,∵,分別是,的中點(diǎn),∴,∴,故答案為:4.(2)∵,,∴,∵,分別是,的中點(diǎn),∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算,以及線段的和差關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點(diǎn)的定義,根據(jù)圖形得出線段之間的關(guān)系.19.(1)(2)(3)或或或或【分析】(1)根據(jù)“最強(qiáng)點(diǎn)”的定義計(jì)算即可;(2)根據(jù)“最強(qiáng)點(diǎn)”的定義列式即可;(3)將點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)分成未相遇,相遇后,點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)后,和點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后四種階段討論,并且每個(gè)階段又有可能有2種不同的點(diǎn)的情況.【詳解】(1)解:點(diǎn)是的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,故答案為:;(2)解:是的最強(qiáng)點(diǎn),,,又,,,,故答案為;(3)解:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí)、相遇,,解得,階段一:點(diǎn)、未相遇時(shí),即時(shí),①設(shè)時(shí)點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,解得,又,即,,為大于1的正整數(shù),不滿足題意,舍去;②設(shè)時(shí),點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,解得,又,即,,為大于1的正整數(shù),符合題意;階段二:點(diǎn)、相遇后,且點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn),即時(shí),③設(shè)時(shí),點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,,又,即,,為大于1的正整數(shù),符合題意;④設(shè)時(shí),點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,,又,即,,∵n為大于1的正整數(shù),符合題意;階段三:點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)后,且點(diǎn)未到達(dá)點(diǎn),即時(shí),⑤設(shè)時(shí),點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,,又,即,,符合題意;⑥設(shè)時(shí),點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,,又,即,,不符合題意,舍去;階段四:點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后,即時(shí),,,點(diǎn)不可能為的最強(qiáng)點(diǎn);⑦設(shè)時(shí),點(diǎn)為的最強(qiáng)點(diǎn),,,,,又,即,,符合題意;綜上所述,當(dāng)為或或或或時(shí),點(diǎn),,恰好有一個(gè)點(diǎn)是其余2個(gè)點(diǎn)的最強(qiáng)點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程,列一元一次方程解應(yīng)用題,線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,運(yùn)用分類討論的思想,正確地列出代數(shù)式表示出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.20.(1)作圖見解析(2)作圖見解析;兩點(diǎn)之間線段最短【分析】(1)以點(diǎn)O為圓心,為半徑畫弧,交于一點(diǎn),該點(diǎn)即為點(diǎn)E;(2)連接交于點(diǎn)P,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,此時(shí)最?。驹斀狻浚?)解:以點(diǎn)O為圓心,為半徑畫弧,交于一點(diǎn)E,則點(diǎn)E即為所求作的點(diǎn),如圖所示:(2)解:連接交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn),依據(jù)是根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短.故答案為:兩點(diǎn)之間線段最短.【點(diǎn)睛】本題主要考查了作一條線段等于已知線段,兩點(diǎn)之間線段最短,解題的關(guān)鍵是熟練掌握用尺規(guī)作一條線段等于已知線段的方法.21.(1)12(2)①75;②或(3)或【分析】(1)利用中點(diǎn)和,求出和,求和即可得;(2)①利用分針和時(shí)針每分鐘走過(guò)得角度即可計(jì)算;②分兩種情況計(jì)算即可;(3)設(shè)時(shí)間為t,列出含t的方程,解方程即可.【詳解】(1)∵B是中點(diǎn).∴;∴;∵;∴;∴;∴,故答案為:12;(2)①分針的速度為(每分);時(shí)針的速度為(每分);30分鐘時(shí)針走的路程為,即時(shí)針從8點(diǎn)到走的路程為15°,∴,故答案為:;②當(dāng)在內(nèi)部時(shí),,∴;當(dāng)在外部時(shí),(3)設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間為t分鐘,時(shí)針與分針得速度差為,∴,∵平分,∴,①,解得(分),②,解得(分),綜上所述t為或.【點(diǎn)睛】本題考查了線段長(zhǎng)度的計(jì)算,時(shí)針和分針的夾角,以及列一元一次方程解決問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合和細(xì)心計(jì)算是解題的關(guān)鍵.22.(1)(2)在一點(diǎn)二十二分或一點(diǎn)五十五分時(shí),時(shí)針和分針垂直(3)下一個(gè)美妙時(shí)刻是七點(diǎn)零五分;22【分析】(1)按照題干步驟,先求從三點(diǎn)開始分針旋轉(zhuǎn)的角度,再求時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度,二者之差再減去初始角度即為所求;(2)設(shè)從一點(diǎn)開始過(guò)了x分鐘時(shí)針和分針垂直,根據(jù)等量關(guān)系式分針旋轉(zhuǎn)角度(初始角度時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度)最終差值代入計(jì)算,但應(yīng)注意時(shí)針和分針垂直包含2種情況,分別是最終的角度差值為和;(3)因?yàn)闀r(shí)針比分針走得慢,所以再次到達(dá)美妙時(shí)刻時(shí),分針比時(shí)針多走一圈,用分針多走的角度除以分針和時(shí)針的速度差即為再次到達(dá)美妙時(shí)刻所需的時(shí)間;用一天的時(shí)間除以該時(shí)間也就是一天當(dāng)中美妙時(shí)刻的數(shù)量.【詳解】(1)解:三點(diǎn)整,時(shí)針與分針?biāo)山嵌葹椋瑥娜c(diǎn)到三點(diǎn)三十分,分針旋轉(zhuǎn)的角度是,時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度是,∴三點(diǎn)三十分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁?;三點(diǎn)到三點(diǎn)四十分,分針旋轉(zhuǎn)的角度是,時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度是,∴三點(diǎn)四十分時(shí),時(shí)針與分針?biāo)山嵌仁?;故答案為:;?)設(shè)從一點(diǎn)開始過(guò)了x分鐘時(shí)針和分針垂直,由題意,得:分針旋轉(zhuǎn)角度(初始角度時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度)最終差值,當(dāng)分針和時(shí)針垂直時(shí),最終差值可以是或;①當(dāng)最終差值為時(shí):,解得:,此時(shí)為一點(diǎn)二十二分;②當(dāng)最終差值為時(shí):,解得:,此時(shí)為一點(diǎn)五十五分.綜上:在一點(diǎn)二十二分或一點(diǎn)五十五分時(shí),時(shí)針和分針垂直.(3)解:再次到達(dá)美妙時(shí)刻時(shí),相當(dāng)于分針比時(shí)針多旋轉(zhuǎn)一周,時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn),分針每分鐘旋轉(zhuǎn),時(shí)針每分鐘少旋轉(zhuǎn),∴到達(dá)下一個(gè)美妙時(shí)刻需要時(shí)間分鐘,此時(shí)為七點(diǎn)零五分.一天有分鐘,,即一天有22個(gè)美時(shí)刻.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查鐘面角的計(jì)算,一元一次方程的應(yīng)用.理解并掌握題干中鐘面角的計(jì)算方法,是解題的關(guān)鍵.23.(1)①,同角的余角相等;②180(2)①6;②或20【分析】(1)①根據(jù)同角的余角相等解答;②利用角的和差關(guān)系即可求解;(2)①由平分知,旋轉(zhuǎn)角等于的一半,即可列方程求解;②分在的內(nèi)部和外部討論即可.【詳解】(1)解:①∵,∴,,∴(同角的余角相等).故答案為:,同角的余角相等;②∵,∴.故答案為:180;(2)解:①根據(jù)題意,得,即,解得.故答案為:6;②當(dāng)在的內(nèi)部時(shí),∵,∴,解得;當(dāng)在的內(nèi)部時(shí),∵,∴,解得,綜上,t為或20時(shí),【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用,余角的性質(zhì),角的計(jì)算等知識(shí)的綜合運(yùn)用,列方程求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.24.(1)100(2)3或7(3)存在,時(shí),的度數(shù)保持不變,;時(shí),的度數(shù)保持不變,【分析】(1)當(dāng)時(shí),,,故,即得;(2),與的度數(shù)比為,知,,故從旋轉(zhuǎn)到(或從旋轉(zhuǎn)到需要(秒),從旋轉(zhuǎn)到需要(秒),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,解方程可得答案;(3)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即可得到答案.【詳解】(1)解:(1)當(dāng)時(shí),,,,;故答案為:100;(2),與的度數(shù)比為,,,從旋轉(zhuǎn)到或從旋轉(zhuǎn)到需要(秒),從旋轉(zhuǎn)到需要(秒),當(dāng)時(shí),,,恰好是的平分線,,解得;當(dāng)時(shí),,,恰好是的平分線,,解得(舍去);當(dāng)時(shí),,,恰好是的平分線,,解得;綜上所述,當(dāng)為3或7時(shí),恰好是的平分線;(3)存在某個(gè)時(shí)間段,使得的度數(shù)保持不變,理由如下:當(dāng)時(shí),,,平分,,,時(shí),的度數(shù)保持不變,;當(dāng)時(shí),,,平分,,,時(shí),的度數(shù)隨的改變而改變;當(dāng)時(shí),,,平分,,,時(shí),的度數(shù)保持不變,;綜上所述,時(shí),的度數(shù)保持不變,;時(shí),的度數(shù)保持不變,.【點(diǎn)睛】本題考查了角的和差,角平分線的定義,一元一次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,能應(yīng)用分類討論思想解決問(wèn)題.25.(1);(2)和;和【分析】(1)先求得,再根據(jù)角平分線的定義求得,據(jù)此求解即可;(2)由對(duì)頂角相等以及(1)的結(jié)論,得到,根據(jù)補(bǔ)角和余的定義即可求解.【詳解】(1)解:∵,,∴,∵是的平分線,∴,∴;(2)解:∵,且,∴的補(bǔ)角是和;∵,∴,∴的余角是和;故答案為:和;和.【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義以及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì),若兩個(gè)角的和為,則這兩個(gè)角互余;若兩個(gè)角的和等于,則這兩個(gè)角互補(bǔ).26.(1)或(2)或【分析】(1)分當(dāng)在外部時(shí),當(dāng)在內(nèi)部時(shí),兩種情況根據(jù)余角的定義求出,再根據(jù)角平分線的定義求出即可得到答案;(2)分當(dāng)在內(nèi)部時(shí),當(dāng)在內(nèi)部時(shí),兩種情況利
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