第六章 剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)

Saturday,February24,2024理論力學(xué)第二篇運(yùn)動(dòng)學(xué)6.1剛體的平移一、平行移動(dòng)如果在物體內(nèi)任取一直線，在運(yùn)動(dòng)過程中這條直線始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱平移。例如：二、平移的特點(diǎn)

設(shè)剛體作平移，在剛體內(nèi)任選兩點(diǎn)A、B,令點(diǎn)A的矢徑為rA，點(diǎn)B的矢徑為rB,則兩條矢端曲線就是兩點(diǎn)的軌跡。由圖可知當(dāng)剛體平移時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度和方向都不改變。剛體平移時(shí)，其上各點(diǎn)的軌跡不一定是直線，也可能是曲線，但是它們的形狀是完全相同的。因此只要把點(diǎn)B的軌跡沿BA方向平行移動(dòng)一段距離BA，就能與點(diǎn)A的軌跡完全重合。6.1剛體的平移上式對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，得而因此，得將上式再求一次導(dǎo)數(shù)，得結(jié)論：當(dāng)剛體平行移動(dòng)時(shí)。其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；在每一瞬時(shí),各點(diǎn)的速度相同,加速度也相同。因此,研究剛體的平移,可以歸結(jié)為研究剛體內(nèi)任一點(diǎn)（如質(zhì)心）的運(yùn)動(dòng)。速度、加速度6.1剛體的平移

例：圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，當(dāng)曲柄OA在平面上繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，通過滑槽連桿中的滑塊A的帶動(dòng)，可使連桿在水平槽中沿直線往復(fù)動(dòng)。若曲柄OA的半徑為r，曲柄與x軸的夾角為j=ωt，其中ω是常數(shù)，求此連桿在任一瞬時(shí)的速度及加速度。解：連桿作平移，因此在連桿上任取一點(diǎn)M可代表連桿的運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)M的位置坐標(biāo)為這就是點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程。因此，點(diǎn)M的速度及加速度為6.1剛體的平移剛體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，其上或其擴(kuò)展部分有兩點(diǎn)保持不動(dòng)，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。通過這兩個(gè)固定點(diǎn)的一條不動(dòng)的直線，稱為剛體的轉(zhuǎn)軸或軸線，簡(jiǎn)稱軸。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、轉(zhuǎn)動(dòng)方程取轉(zhuǎn)軸為z軸。通過軸線作一固定平面Ⅰ,此外，通過軸線作一與剛體固連的動(dòng)平面Ⅱ。這兩個(gè)平面間的夾角用j表示,稱為剛體的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角j是一個(gè)代數(shù)量，它確定了剛體的位置,它的符號(hào)規(guī)定為:從z軸正向往下看,逆時(shí)針為正,反之為負(fù)。并用弧度(rad)表示,當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),轉(zhuǎn)角j是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即這個(gè)方程稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)方程。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)二、角速度轉(zhuǎn)角j對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角速度，用ω表示，即角速度表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向。單位一般用rad/s（弧度/秒）。角速度是代數(shù)量。從軸的正端向負(fù)端看，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，角速度取正值，反之取負(fù)值。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、角加速度

角速度ω對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為剛體的瞬時(shí)角加速度。用α表示，即角加速度表示角速度變化的快慢。單位一般用rad/s2(弧度/秒2)。角加速度也是代數(shù)量。如果ω與α同號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是加速的；如果ω與α異號(hào)，則轉(zhuǎn)動(dòng)是減速的。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)四、兩種特殊情況

1.勻速轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角速度不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。在工程實(shí)際中，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢常用每分鐘轉(zhuǎn)數(shù)n來表示，其單位為r/min（轉(zhuǎn)/分），稱為轉(zhuǎn)速。角速度ω與轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為式中轉(zhuǎn)速n的單位為r/min，角速度ω的單位為rad/s。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2.勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角加速度不變的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。其中ω0和j0分別是t

=0時(shí)的角速度和轉(zhuǎn)角。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度以固定點(diǎn)O′為弧坐標(biāo)s的原點(diǎn)，按j角的正向規(guī)定弧坐標(biāo)s的正向，于是將上式對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得上式可寫成即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度的大小，等于剛體的角速度與該點(diǎn)到軸線的距離的乘積，它的方向沿圓周的切線指向轉(zhuǎn)動(dòng)一方。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)速度分布規(guī)律：6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)atan二、轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)的加速度轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的切向加速度的大小，等于剛體的角加速度與該點(diǎn)到軸線距離的乘積，它的方向由角加速度的符號(hào)決定。法向加速度為即：轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)任一點(diǎn)的法向加速度的大小，等于剛體角速度的平方與該點(diǎn)到軸線距離的乘積，它的方向與速度垂直并指向軸線。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)如果ω與α同號(hào)，剛體作加速轉(zhuǎn)動(dòng)；反之作減速轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)M加速度a的大小和方向：6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)由于在每一瞬時(shí)，剛體的ω和α都只有一個(gè)確定的數(shù)值，所以得知：

1．在每一瞬時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的速度和加速度的大小，分別與這些點(diǎn)到軸線的距離成正比。

2．在每一瞬時(shí)，剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的加速度a與半徑間的夾角θ都有相同的值。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)例：葉輪由靜止開始作勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)。輪上M點(diǎn)：r=0.4m，在某瞬時(shí)的全加速度a=40m/s2,與轉(zhuǎn)動(dòng)半徑的夾角θ=30o。若t=0時(shí)，位置角j0=0，求葉輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程及t=2s時(shí)M點(diǎn)速度和法向加速度。6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)由于勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，故α為常量。轉(zhuǎn)動(dòng)方程為當(dāng)t=2s時(shí)，葉輪的角速度為因此M點(diǎn)的速度及法向加速度為解：將M點(diǎn)在某瞬時(shí)的全加速度a沿軌跡的切向及法向分解，則切向加速度及角加速度為anat6.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)6.3輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)比一、齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)外嚙合內(nèi)嚙合因兩輪之間沒有相對(duì)滑動(dòng)，故但因此或處于嚙合中的兩個(gè)定軸齒輪角速度與兩齒輪的嚙合圓半徑成反比。又故設(shè)輪Ⅰ是主動(dòng)輪，輪Ⅱ是從動(dòng)輪。傳動(dòng)比：不僅適用于圓柱齒輪傳動(dòng)，也適用于軸成任意角度的圓錐齒輪傳動(dòng)、摩擦傳動(dòng)等。有時(shí)為了區(qū)分輪系中各輪的轉(zhuǎn)向。對(duì)各輪都規(guī)定統(tǒng)一的轉(zhuǎn)動(dòng)正向，這時(shí)各輪的角速度可取代數(shù)值，從而轉(zhuǎn)動(dòng)比也取代數(shù)值：正號(hào)表示兩輪轉(zhuǎn)向相同，負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)向相反。6.3輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)比二、皮帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)

如不考慮皮帶的厚度，并假定皮帶與輪間無相對(duì)滑動(dòng)，則于是皮帶輪的傳動(dòng)比為即：兩輪的角速度與其半徑成反比。輪Ⅰ為主動(dòng)輪：r1、ω1輪Ⅱ?yàn)閺膭?dòng)輪：r2、ω26.3輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)比例2-4下圖是一減速箱，它由四個(gè)齒輪組成，其齒數(shù)分別為Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求減速箱的總減速比i13；(b)如果n1=3000r/min，求n3.13n142n3n2解：求傳動(dòng)比：則有：6.3輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)比

例：圖為一減速箱，軸Ⅰ為主動(dòng)軸，與電機(jī)相聯(lián)。已知電機(jī)轉(zhuǎn)速n=1450r/min,各齒輪的齒數(shù)z1=14,z2=42，z3=20，z4=36。求減速箱的總傳動(dòng)比i14及軸Ⅳ的轉(zhuǎn)速。6.3輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)比解：用n1、n2、n3、n4分別表示各齒輪的轉(zhuǎn)速，則有應(yīng)用齒輪傳動(dòng)比公式，得將兩式相乘，得6.3輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)比6.4以矢量表示角速度和角加速度·以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度zz——角速度（代數(shù)量）——角速度矢（矢量）它的指向按照右手螺旋規(guī)則確定。角速度矢是滑動(dòng)矢量。同樣于是一、以矢量表示角速度和角加速度aaωωkk即角加速度矢α為角速度矢ω對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上任一點(diǎn)的速度矢等于剛體的角速度矢與該點(diǎn)矢徑的矢積。二、以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度1.以矢積表示點(diǎn)的速度如在軸線上任選一點(diǎn)O為原點(diǎn)，O證明：

的方向于是可得結(jié)論：

與v的方向一致則§6.4以矢量表示角速度和角加速度·以矢積表示點(diǎn)的速度和加速度vω×rrω2.以矢積表示點(diǎn)的加速度O因?yàn)辄c(diǎn)M的加速度