廣東省汕頭市澄海區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)高一級(jí)數(shù)學(xué)科試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)用2B鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上.2.答選擇題時(shí)，必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.3.答非選擇題時(shí)，必須用黑色簽字筆或鋼筆，將答案寫(xiě)在答題卡上規(guī)定的位置上.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考人將答題卡收回，試卷考生自己保管.第一部分(選擇題，共60分)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共有8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把它選出后在答題卡規(guī)定的位置上用鉛筆涂黑.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合B，根據(jù)交集運(yùn)算求解.【詳解】由，，所以.故選：B2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】“任一個(gè)都成立”的否定為“存在一個(gè)不成立”.【詳解】“任一個(gè)都成立”的否定為“存在一個(gè)不成立”.故命題的否定為：，.故選：B.3.的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值求解【詳解】.故選：C4.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【詳解】，據(jù)此可知，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.本題選擇D選項(xiàng).5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理即可判斷答案.【詳解】由于在其定義域上都為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，又，故在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，故選：B6.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)（）A.－1 B.－1或3 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程，即可求得答案.【詳解】由題意知：，即，解得或，∴當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，不合題意;當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，符合題意,∴,故選：C7.函數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.-2【答案】B【解析】【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系轉(zhuǎn)化為余弦函數(shù)，配方后求最小值.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故選：B8.已知函數(shù)，若(其中，則的最小值（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得，利用均值不等式求最值即可.【詳解】因?yàn)椋杂煽傻?，化?jiǎn)可得，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由，則，，，從而可判斷A，D；令，從而可判斷B；結(jié)合在R上單調(diào)遞增，從而可判斷C．【詳解】對(duì)于A，由，則，，所以成立，故A正確；對(duì)于B，由，令，，則，所以不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，且在R上單調(diào)遞增，所以成立，故C正確；對(duì)于D，由，則，所以成立，故D正確．故選：ACD．10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)不滿足單調(diào)性；D不滿足奇偶性，B、C選項(xiàng)均為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減正確.【詳解】在上單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，B選項(xiàng)正確；，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，C選項(xiàng)正確；是奇函數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.已知α為銳角，且則下列選項(xiàng)中正確的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由同角的三角函數(shù)基本關(guān)系逐項(xiàng)分析即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，而α為銳角，所以，故A錯(cuò)誤；由，兩邊平方可得，故C正確；因?yàn)棣翞殇J角，所以，故D正確；由，故B錯(cuò)誤.故選：CD12.若是關(guān)于的不等式成立的必要條件，則的值可以是（）A.1 B.0 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為二次不等式的解集為的子集，據(jù)此列出不等式求解.【詳解】由可得，由可得，因?yàn)槭顷P(guān)于的不等式成立的必要條件，所以二次不等式的解為集合的子集，所以即可，解得，故選：BCD第二部分(非選擇題，共90分)三、填空題：本大題共有4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卷相應(yīng)橫線上.13.已知函數(shù)，則________．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)的解析式求得正確答案.【詳解】.故答案為：14.若扇形的圓心角為弧度，弧長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積是_______．【答案】【解析】【詳解】試題分析：設(shè)扇形的半徑為，則所以扇形的面積是，所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、扇形弧長(zhǎng)公式；2、扇形面積公式．15.當(dāng)時(shí)，使成立的取值范圍為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】分類討論，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)在各象限的符號(hào)求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由單調(diào)遞增且可知，，當(dāng)時(shí)，由知，滿足，綜上，.故答案為：16.已知若存在使得，則m的范圍是___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，作出分段函數(shù)的圖象，由圖象可得滿足的條件.【詳解】作出函數(shù)圖象，如圖，因?yàn)榇嬖谑沟?，所以，?故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，17.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且（1）求m值，并求;（2）求的值【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求解；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.所以，.【小問(wèn)2詳解】.18.已知集合.（1）求集合；（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合,再根據(jù)并集的運(yùn)算可求得.（2）根據(jù)集合與集合的關(guān)系,可得關(guān)于a的不等式組,解不等式組即可求得參數(shù)a的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】等價(jià)于，解得，故集合.等價(jià)于，解得，故集合.所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得集合，集合，所以.于是，由，且得，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.19.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由的取值范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：∵的最小正周期為，∴，∴，∵，∴，∴，令，，得，，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴的值域?yàn)椋?0.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域;（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論.【答案】（1）.（2）增函數(shù).見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式的限制條件，列出不等式，轉(zhuǎn)化為求指數(shù)不等式，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，即可證明結(jié)論.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，要使根式有意義，只需，所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）函數(shù)在定義域上為增函數(shù).證明：在上任取，且，則，由，可知，則，又因?yàn)?，，所以，?所以在定義域上為增函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，考查指數(shù)不等式，屬于中檔題.21.已知關(guān)于x的不等式的解集為或.（1）求a，b的值;（2）當(dāng)，且滿足時(shí)，有恒成立，求k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法可得1和a是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，從而利用韋達(dá)定理建立方程組即可求解；（2）由均值不等式中“1”的靈活運(yùn)用可得，從而解一元二次不等式即可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛颍ǎ?，所?和a是方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根且，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，依題意有，即，所以，解得，所以k的取值范圍為.22.我國(guó)十四五規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)明確提出，要“增進(jìn)民生福祉，不斷實(shí)現(xiàn)人民對(duì)美好生活的向往”.大眾旅游時(shí)代已經(jīng)來(lái)臨，旅游不再是一種奢侈品，已逐漸成為現(xiàn)代人的幸福必品；也不再是傳統(tǒng)的走馬觀花式的“到此一游”，而逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成為適合后疫情時(shí)代旅游休閑的一種主流模式.如圖，某度假村擬在道路的一側(cè)修建一條趣味滑行賽道，賽道的前一部分為曲線ABM，當(dāng)時(shí)，該曲線為二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)；賽道的后一部分為曲線，當(dāng)時(shí)，該曲線為函數(shù)（，且）圖象的一部分，其中點(diǎn)．（1）求函數(shù)關(guān)系式;（2）已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【答案