微積分教學(xué)資料-chapter15

微積分教學(xué)資料——chapter152024-01-25目錄章節(jié)概述與目標(biāo)微分學(xué)基本概念回顧積分學(xué)基本概念回顧微分方程初步探討多元函數(shù)微積分簡介章節(jié)總結(jié)與拓展延伸章節(jié)概述與目標(biāo)01本章節(jié)主要介紹了微積分中的多元函數(shù)微分學(xué)，包括多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等基本概念和性質(zhì)。介紹了多元函數(shù)微分學(xué)在幾何、物理、經(jīng)濟等領(lǐng)域的應(yīng)用，如空間曲線的切線與法平面、空間曲面的切平面與法線、多元函數(shù)的極值等。章節(jié)內(nèi)容簡要介紹能夠運用多元函數(shù)微分學(xué)的基本方法解決一些實際問題。掌握多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等基本概念和性質(zhì)。了解多元函數(shù)微分學(xué)在幾何、物理、經(jīng)濟等領(lǐng)域的應(yīng)用。學(xué)習(xí)目標(biāo)與要求01多元函數(shù)的基本概念定義域、值域、對應(yīng)法則等。02多元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限、累次極限等。03多元函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)的定義、性質(zhì)及判定方法。04偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義、計算及幾何意義，高階偏導(dǎo)數(shù)等。05全微分全微分的定義、計算及幾何意義，全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等。06多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值定義、必要條件及充分條件，極值的求法及應(yīng)用。知識點梳理微分學(xué)基本概念回顧02VS設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。微分定義設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在某區(qū)間內(nèi)有定義，$x_0$及$x_0+Deltax$在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示為$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依賴于$Deltax$的常數(shù)），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高階的無窮小，那么稱函數(shù)$y=f(x)$在點$x_0$是可微的，且ADeltax稱作函數(shù)在點$x_0$相應(yīng)于自變量增量$Deltax$的微分，記作$dy$，即$dy=ADeltax$。導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)與微分定義可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍是可導(dǎo)的；如果兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等，那么這兩個函數(shù)相差一個常數(shù)；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)；反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)；冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于冪函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)的四則運算法則包括加法與減法、乘法與除法以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。對于兩個函數(shù)的和（或差），其導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和（或差）；對于兩個函數(shù)的積（或商），其導(dǎo)數(shù)可以通過乘法法則（或除法法則）求得；復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t求得。導(dǎo)數(shù)性質(zhì)運算規(guī)則導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及運算規(guī)則當(dāng)$Deltax$很小時，可以用微分來近似計算函數(shù)的增量，即$Deltayapproxdy=f'(x_0)Deltax$。這種近似計算在工程技術(shù)和物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。在測量或計算中，由于各種因素的影響往往會產(chǎn)生誤差。通過微分可以對誤差進行估計和控制。例如，在測量長度時，如果測量儀器的精度不夠高或者測量方法不夠準(zhǔn)確，就會產(chǎn)生誤差。通過微分可以對這種誤差進行估計和控制，從而提高測量的精度和準(zhǔn)確性。在計算機科學(xué)中，微分被廣泛應(yīng)用于數(shù)值計算領(lǐng)域。例如，在求解方程、優(yōu)化問題以及機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域中都需要用到微分。通過微分可以將這些問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)極值或零點的問題，從而簡化計算過程并提高計算效率。微分近似公式誤差估計數(shù)值計算微分在近似計算中應(yīng)用積分學(xué)基本概念回顧03定積分與不定積分定義定積分定義定積分是函數(shù)在一個區(qū)間上的積分，其結(jié)果是一個數(shù)值。定積分的定義涉及到分割、近似、求和和取極限的過程。不定積分定義不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過程，其結(jié)果是一個函數(shù)族。不定積分的定義基于微分的基本定理。積分具有線性性、可加性和區(qū)間可加性等基本性質(zhì)。這些性質(zhì)使得積分在解決復(fù)雜問題時具有很大的靈活性。積分性質(zhì)積分的運算規(guī)則包括冪函數(shù)的積分、三角函數(shù)的積分、指數(shù)函數(shù)的積分等。掌握這些規(guī)則可以方便地計算各種函數(shù)的積分。運算規(guī)則積分性質(zhì)及運算規(guī)則面積計算定積分可以用來計算平面圖形的面積，如矩形、三角形、圓、橢圓等。通過定積分，我們可以將這些圖形的面積表示為函數(shù)在某個區(qū)間上的積分。體積計算定積分還可以用來計算立體圖形的體積，如長方體、圓柱體、球體等。通過將立體圖形切割成無數(shù)個薄片，并計算每個薄片的面積和厚度，然后將這些值相乘并求和，就可以得到立體圖形的體積。積分在面積、體積計算中應(yīng)用微分方程初步探討04一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式通過變量代換將非標(biāo)準(zhǔn)形式的一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。常數(shù)變易法通過引入一個適當(dāng)?shù)某?shù)，將一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為可求解的形式。積分因子法通過找到一個合適的積分因子，將一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為可積分的形式。一階線性微分方程解法030201闡述可分離變量的概念，并給出可分離變量的微分方程的通解。可分離變量的定義詳細(xì)解釋分離變量法的基本步驟，包括將方程變形、兩邊積分、求解未知函數(shù)等。分離變量法的基本步驟通過具體例子展示分離變量法在求解微分方程中的應(yīng)用。分離變量法的應(yīng)用舉例可分離變量法求解微分方程物理學(xué)中的應(yīng)用介紹微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用，如牛頓第二定律、振動問題等。工程學(xué)中的應(yīng)用闡述微分方程在工程學(xué)中的應(yīng)用，如電路分析、控制系統(tǒng)設(shè)計等。經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用探討微分方程在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用，如經(jīng)濟增長模型、金融市場分析等。生物學(xué)中的應(yīng)用介紹微分方程在生物學(xué)中的應(yīng)用，如種群增長模型、藥物動力學(xué)等。微分方程在實際問題中應(yīng)用舉例多元函數(shù)微積分簡介05設(shè)$D$為一個非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組$(x1,x2,…,xn)∈D$，通過對應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實數(shù)$y$與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)具有一些與一元函數(shù)類似的性質(zhì)，如連續(xù)性、可微性、可積性等。這些性質(zhì)在多元函數(shù)微積分中起著重要的作用。多元函數(shù)定義多元函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念及性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)定義偏導(dǎo)數(shù)反映的是多元函數(shù)與其中一個自變量之間的變化率，即函數(shù)關(guān)于某一自變量的變化率而保持其他自變量不變。全微分定義全微分反映的是多元函數(shù)在其定義域內(nèi)某一點附近的全局變化率，即函數(shù)在該點附近關(guān)于所有自變量的變化率。計算方法偏導(dǎo)數(shù)可以通過求導(dǎo)法則和鏈?zhǔn)椒▌t進行計算，全微分可以通過偏導(dǎo)數(shù)進行計算。在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體的問題選擇合適的計算方法。偏導(dǎo)數(shù)與全微分計算極值定義多元函數(shù)的極值是指函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)取得的最大值或最小值。極值問題在多元函數(shù)微積分中是一個重要的問題，涉及到函數(shù)的優(yōu)化和實際應(yīng)用中的許多問題。極值條件多元函數(shù)取得極值的必要條件是其一階偏導(dǎo)數(shù)在該點處為零。此外，還需要通過二階偏導(dǎo)數(shù)判斷該點是否為極值點。求解方法求解多元函數(shù)的極值問題可以通過求一階偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零來找到可能的極值點，然后通過二階偏導(dǎo)數(shù)判斷該點是否為極值點。在實際應(yīng)用中，還需要考慮約束條件和邊界條件等因素。多元函數(shù)極值問題探討章節(jié)總結(jié)與拓展延伸06泰勒公式與泰勒級數(shù)泰勒公式是用多項式逼近光滑函數(shù)的重要工具，而泰勒級數(shù)則是將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的有效方法。函數(shù)的單調(diào)性與極值通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，進而研究函數(shù)的性態(tài)和變化趨勢。洛必達(dá)法則與不定式的極限洛必達(dá)法則是求解不定式極限的強大工具，通過求導(dǎo)簡化復(fù)雜極限的計算過程。微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，這些定理建立了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的深刻聯(lián)系。關(guān)鍵知識點總結(jié)回顧常見誤區(qū)及易錯點提示忽視定理成立的條件在使用微分中值定理時，必須注意定理成立的條件，如閉區(qū)間上連續(xù)、開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)等?；煜├展脚c麥克勞林公式泰勒公式和麥克勞林公式都是函數(shù)展開的方法，但前者適用于任意點，后者僅在原點處展開。不恰當(dāng)使用洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則只適用于不定式極限，且在使用時需保證分子分母求導(dǎo)后極限存在或為無窮大。誤判函數(shù)的單調(diào)性與極值在判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值時，需考慮函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)的符號變化。微分方程初步微分方程是微積分的重要應(yīng)用領(lǐng)域，通過求解微分方程可以研究自然現(xiàn)象的變化規(guī)律。數(shù)值計算方法數(shù)值計算方