四川省雅安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1四川省雅安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點到平面的距離為（）A.1 B.3 C.7 D.〖答案〗B〖解析〗在空間直角坐標(biāo)系中，點到平面的距離.故選：B2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以直線的傾斜角為146°.故選：D3.已知為圓上的一動點，為坐標(biāo)原點，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗圓心為，半徑為，由題意得，故在圓外，所以的最大值為．故選：D4.已知橢圓的右頂點為，上頂點為，為直線與軸的交點，若為等腰三角形，則（）A. B. C. D.2〖答案〗A〖解析〗由題意得，，因為為等腰三角形，則，所以，解得.故選：A5.若點，到直線的距離相等，則（）A.1 B. C.1或 D.或2〖答案〗C〖解析〗若，在直線的同側(cè)，則，解得．若，分別在直線的兩側(cè)，則直線經(jīng)過的中點，則，解得．故選：C6.如圖，在四面體中，分別為的中點，為的重心，則（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗因為分別為的中點，所以.因為為的重心，所以，所以.故選：B.7.已知是雙曲線的左焦點，為坐標(biāo)原點，過點且斜率為的直線與的右支交于點，，，則的離心率為（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，雙曲線的右焦點為，的中點為，連接，,因為，為的中點，所以，則，可得，又因為，所以，則，，可得，所以的離心率為．故選：B.8.已知是拋物線的焦點，過的直線與交于兩點，則的最小值為（）A.36 B.24 C.18 D.9〖答案〗A〖解析〗由題意，由題意可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，恒成立，則，，當(dāng)時，取得最小值.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，分別是橢圓的上、下焦點，點在橢圓上，則（）A.的長軸長為 B.的短軸長為C.的坐標(biāo)為 D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗由橢圓，可得，，則，所以，橢圓的長軸長為，的短軸長為，上焦點的坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得到的最小值為．故選：ABD.10.圓與圓的公切線的方程可能為（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑，由題意得，圓與圓的半徑之和為，半徑之差為0，因為，所以圓與圓的位置關(guān)系為相交．由題意得，因為圓與圓的半徑相等，所以公切線的斜率為2．設(shè)公切線的方程為，即，由，得，所以公切線的方程為或．故選：CD11.已知左、右焦點分別是，的雙曲線上有一點（，），且，則（）A. B.C.的面積為31 D.的周長為〖答案〗AD〖解析〗由題知，，則．因為在第一象限，所以．在中，因為，所以，A正確；且，可得，B錯誤；所以，C錯誤；因為，所以，故的周長為，D正確．故選：AD.12.數(shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時光》.已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標(biāo)準的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應(yīng)鐘上數(shù)字對應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)的中點為，若長度為2的時針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細），則下列說法正確的是（）A.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則B.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面C.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為D.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，則，，所以，A正確.，故是平面的一個法向量.因為，所以，所以與不垂直，從而與平面不平行，B不正確.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，，，C正確.由，得.因為，所以外接圓的半徑，則四面體的外接球的半徑，則，故四面體的外接球的表面積為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．〖答案〗〖解析〗由，得，在方向上的投影向量為．故〖答案〗為：14.已知為拋物線上一點，點到的焦點的距離為9，到軸的距離為6，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)點的坐標(biāo)為，其中，由點到的焦點的距離為，根據(jù)拋物線的定義，可得，又由到軸的距離為，可得，所以，解得．故〖答案〗為：.15.已知橢圓，過點，斜率為的直線與交于，兩點，且為的中點，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓上的點，則，兩式相減得，而，即，整理得，又，于是，顯然點在橢圓內(nèi)，符合題意，所以.故〖答案〗為：16.若A，B是平面內(nèi)不同的兩定點，動點滿足（且），則點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故被稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知是圓上的動點，點，，則的最大值為_______．〖答案〗〖解析〗由題意得設(shè)，，所以，則，由于是圓上的點，所以，所以，解得，即，所以，如圖，所以的最大值為，故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過點．（1）若經(jīng)過點，求的斜截式方程；（2）若在軸上的截距為，求在軸上的截距．解：（1）由題意得，則方程為，其斜截式方程為．（2）設(shè)的截距式方程為，由題意得得，所以在軸上的截距為．18.已知圓與圓關(guān)于直線對稱．（1）求的標(biāo)準方程；（2）記與的公共點為，求四邊形的面積．解：（1）將的方程轉(zhuǎn)化為，可得的圓心為，半徑為3．設(shè)的圓心為，半徑為，因為與關(guān)于直線：對稱，所以解得故的標(biāo)準方程為．（2），根據(jù)對稱性可知到直線的距離，則，則四邊形的面積．19.如圖，在長方體中，點，分別在棱，上，，，，.（1）證明：.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，因為，所以.（2）由（1），，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨取，則.易得平面，所以是平面的一個法向量，且.設(shè)平面設(shè)與平面的夾角為，所以.故平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知曲線的方程為．（1）說明為何種圓雉曲線，并求的標(biāo)準方程；（2）已知直線與交于，兩點，與的一條漸近線交于點，且在第四象限，為坐標(biāo)原點，求．解：（1）因為，所以是以，為焦點，實軸長為2的雙曲線．設(shè)：（，），則，，，所以的方程為．（2）由（1）可得的漸近線方程為，由得即．設(shè)，，由得，由韋達定理得則21.如圖，在五面體中，四邊形為矩形，平面平面，且，正三角形的邊長為2.（1）證明：平面.（2）若，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.解：（1）因為四邊形為矩形，所以，又平面平面，所以平面，因為平面平面平面，所以，又平面平面，所以平面.（2）分別取中點，連接，因為平面平面為正三角形，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，得，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍去），故.22.圓稱為橢圓的蒙日圓.