第4章 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征

PAGEPAGE4第4章隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)特征4.1內(nèi)容框圖數(shù)字特征數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差矩協(xié)方差相關(guān)系數(shù)重要分布的期望和方差4.2基本要求（1）理解數(shù)學(xué)期望、方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算.（2）熟記二項(xiàng)分布、普阿松分布、正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差.（3）會(huì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.（4）了解矩、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)和計(jì)算.4.3內(nèi)容概要1)一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)是離散型隨機(jī)變量，概率分布為（）。當(dāng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，稱(chēng)為的數(shù)學(xué)期望，記為或，即=。若發(fā)散，則稱(chēng)的數(shù)學(xué)期望不存在。設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為。當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，稱(chēng)為的數(shù)學(xué)期望，記為，即=。若發(fā)散，則稱(chēng)的數(shù)學(xué)期望不存在。2)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為隨機(jī)變量的函數(shù)，即，其中為連續(xù)的實(shí)值函數(shù)。（1）若為離散型隨機(jī)變量，概率分布為（），則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，有=。（2）若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，有=。3)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1)若是隨機(jī)變量，是常量，則。推論1若是常量，則。推論2若是隨機(jī)變量，是常量，則。推論3若是隨機(jī)變量，是常量，則。(.2)若和都是隨機(jī)變量的函數(shù)，則.(.3)若隨機(jī)變量的取值落在常量之間，則其數(shù)學(xué)期望也必落在之間，即若，則。4)一維隨機(jī)變量的方差若存在，稱(chēng)它為隨機(jī)變量的方差，記為或，即=。方差的正的平方根，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為，即。隨機(jī)變量的方差可由下列公式求出：。5)方差的性質(zhì)(1)若是隨機(jī)變量，是常量，則。推論1若是常量，則。推論2若是隨機(jī)變量，是常量，則。推論3若是隨機(jī)變量，是常量，則。設(shè)隨機(jī)變量的均值為，方差為，稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。求的數(shù)學(xué)期望和方差。(2)若是隨機(jī)變量，是任意常量，則。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，達(dá)到最小值。(3)切比雪夫（Чибышев）不等式對(duì)于任何具有有限方差的隨機(jī)變量，都有，其中是任一正數(shù)。(4)如果隨機(jī)變量的方差為零，則隨機(jī)變量以概率1取值為。即如果，則有。6)一維隨機(jī)變量的矩稱(chēng)為隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱(chēng)階矩。稱(chēng)為隨機(jī)變量的階中心矩。顯然：1階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望；2階中心矩就是方差。7)一些常用分布的數(shù)學(xué)期望和方差表1常用離散型和連續(xù)型分布分布名稱(chēng)分布記號(hào)概率分布或概率密度數(shù)學(xué)期望方差分布二項(xiàng)分布普阿松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布分布分布分布8)二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)是的函數(shù)，的數(shù)學(xué)期望記為。（1）如果（）為二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率分布為（），則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，有=。（2）如果（）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度為，，，則當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，有=。二維隨機(jī)變量中各自的數(shù)學(xué)期望和方差（1）把,看作的特殊情形，用求的公式求出,,,,再求出,。（2）先求的邊緣分布，把邊緣分布看作是的一維分布，按照一維隨機(jī)變量求數(shù)學(xué)期望和方差的公式，求出，，，。隨機(jī)變量和差、乘積的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量和差的方差定理隨機(jī)變量和差的數(shù)學(xué)期望等于它們的數(shù)學(xué)期望的和差，即。推論個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望等于它們的數(shù)學(xué)期望之和，即有。定理獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們的數(shù)學(xué)期望的乘積，即若相互獨(dú)立，則有。推論個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué)期望的乘積，即如果相互獨(dú)立，則有。定理獨(dú)立隨機(jī)變量和差的方差等于它們的方差之和，即若相互獨(dú)立，則有。推論個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于它們的方差之和，即若相互獨(dú)立，則有。9)二維隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)變量與的協(xié)方差，記為，即=。稱(chēng)為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)，記為，即=。從這一定義容易看出，。容易看出。性質(zhì)1若為隨機(jī)變量，則。性質(zhì)2若為隨機(jī)變量，則。性質(zhì)3若為隨機(jī)變量，則=。性質(zhì)4若為隨機(jī)變量，為常量，則性質(zhì)5若為隨機(jī)變量，則。性質(zhì)6若為的相關(guān)系數(shù)，則。性質(zhì)7如果與之間有線性關(guān)系，其中是常數(shù)，，則當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有。反之，當(dāng)時(shí)，與之間有線性關(guān)系，其中是常數(shù)且；當(dāng)時(shí)，與之間有線性關(guān)系，其中是常數(shù)且。定義若隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)，則稱(chēng)與不相關(guān)。定理對(duì)隨機(jī)變量與，下面的事實(shí)是等價(jià)的：（1）；（2），即與不相關(guān)；（3）；（4）。定理若相互獨(dú)立，則與不相關(guān)。4.4自測(cè)題四判斷題：(正確打+，錯(cuò)誤打-)1．設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為:-10aP0.40.4b且E=0.2，則。已知隨機(jī)變量只能取-1、0、1、2四個(gè)值，其相應(yīng)的概率依次為、則的數(shù)學(xué)期望為16/37。3.已知隨機(jī)變量的概率密度，則=1。一袋中有5只乒乓球,編號(hào)為1,2,3,4,5?，F(xiàn)從中任取3只，求取出的3只乒乓球的最大編號(hào)的數(shù)學(xué)期望為4.5。已知二項(xiàng)分布的均值為60，方差為20，試驗(yàn)次數(shù)，成功的概率為＝1/36.設(shè)X的概率分布是：X-10121/51/21/51/10則E(5X+2)=3。7.已知的分布為則=1/4。8．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為…,其中是已知常數(shù)，則。9．設(shè)~，=，則的數(shù)學(xué)期望E=2/3。10.設(shè)～，～，且與相互獨(dú)立，令，則～.11．設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立，且其概率密度分別為，，則,2。12．兩隨機(jī)變量獨(dú)立必不相關(guān)。13.兩隨機(jī)變量滿足.14．已知隨機(jī)變量,滿足用切比雪夫不等式估計(jì)1/12.15．設(shè)隨機(jī)變量～，。選擇題：1.離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,則().（A）0.2;（B）0.3;（C）0.5;（D）1.3.2．已知隨機(jī)變量只能取-1、0、1、2四個(gè)值，其相應(yīng)的概率依次為c,2c,3c,4c則為（）。（A）0;（B）1;（C）2;（D）5.3.已知的分布為則=（）。（A）1/2;（B）1;（C）2;（D）4.4.已知隨機(jī)變量～，且，，則二項(xiàng)分布的參數(shù)的值分別為（）。（A）;（B）;（C）;（D）.5.已知隨機(jī)變量,則().（A）0;（B）1;（C）2;（D）.6.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,則數(shù)學(xué)期望=（）。（A）1;（B）;（C）;（D）2.7.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，，其中，已知，則有（）。（A）；（B）；（C）；（D）.8．隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且服從，服從，則服從（）。；；；.9.某零件的質(zhì)量服從,現(xiàn)任取40個(gè)此類(lèi)零件,記其平均質(zhì)量為,則().（A）;（B）;（C）;（D）.10．隨機(jī)變量，，相互獨(dú)立，，，則E(-2+3)=（）。（A）3;（B）6;（C）9;（D）12.11.設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)變量，滿足，則（）不一定成立。（A）;（B）;（C）;（D）.12.隨機(jī)變量與獨(dú)立同分布，記，，則與必（）。(A)獨(dú)立;(B)不獨(dú)立;(C)相關(guān);(D)不相關(guān).13．若，則()。（A）不相關(guān);（B）相關(guān);（C）不獨(dú)立;（D）獨(dú)立.14.設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的方差分別為4和2，則為（）。（A）8;（B）16;（C）28;（D）44.15.設(shè)隨機(jī)變量,,則=().（A）-1;（B）0;（C）1;（D）3.三、填空題：1．已知離散型隨機(jī)變量的概率分布如下:-2-10123a1/63aa11/30則________。離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則_______。3．設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,則________。4.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則______。5.若某人射擊的命中率為0.2,則他命中目標(biāo)時(shí)已經(jīng)射擊的次數(shù)為的數(shù)學(xué)期望______。6．隨機(jī)變量X具有以下的分布律：-2023P0.20.20.30.3則=。7．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則________。8.設(shè)隨機(jī)變量，已知3，1/3，則________，________。9.~，~，且相互獨(dú)立，則~__________。10.設(shè)11.設(shè)12.已知隨機(jī)變量13.，則E=_____,D=_____。14.已知二維隨機(jī)變量的概率分布為 1211/21/421/40=________。15．隨機(jī)擲100次硬幣，設(shè)為出現(xiàn)的正面數(shù)，為出現(xiàn)的反面數(shù)，則相關(guān)系數(shù)_________。4.5自測(cè)題四答案一、1.＋；2.＋；3.＋；4.＋；5.－；6.＋；7.＋；8.＋；9.＋；10.＋；11.＋；12.＋；13.＋；14.＋；15.＋；二、1.D；2.B；3.A；4.B；5.B；6.C；7.B；8.C；9.B；10.A；11.D；12.D；13.A；14.D；15.C；三、1.；2.0.61；3.0；4.；5.5；6.4.7；7.；8.2,4；9.；10.；11.；12.0.6；13.；14.；15.；4.6典型例題例1某種彩票，以10000份為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)組，在這10000份中，有1個(gè)一等獎(jiǎng)，10個(gè)二等獎(jiǎng)，100個(gè)三等獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金5000元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金200元，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金10元。某人買(mǎi)了1份這種彩票，問(wèn)他平均能得到多少獎(jiǎng)金？解設(shè)是他能得到的獎(jiǎng)金數(shù)。根據(jù)題意，可列出下列表格：一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)不中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)10000份中的份數(shù)概率要計(jì)算獎(jiǎng)金數(shù)的平均值，可以這樣做：先求出10000份彩票總共可得到多少獎(jiǎng)金，將獎(jiǎng)金總數(shù)除以10000，就是平均每份彩票可得到的獎(jiǎng)金數(shù)，即的平均值。這個(gè)式子也可以寫(xiě)成下列形式：的平均值。例2袋中有2個(gè)白球，3個(gè)紅球，從中任意取出2個(gè)球，設(shè)是取到的白球數(shù)。求的數(shù)學(xué)期望。解的取值只能是，，。從2個(gè)白球，3個(gè)紅球中任取2個(gè)，恰好取到個(gè)白球的概率為（）。將代入上式，可得，，。的概率分布為012由數(shù)學(xué)期望的定義可知。#例3設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為=求的數(shù)學(xué)期望。解由數(shù)學(xué)期望的定義可知==。#例4設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為=。求的數(shù)學(xué)期望。解由數(shù)學(xué)期望的定義可知====。#注稱(chēng)為伽瑪（Gamma）函數(shù)，它的定義是：。它有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，；（2）；（3）。例5設(shè)服從[0，1]上的均勻分布，概率密度為，求。解由于已知的概率密度為，而是的函數(shù)，用2.5節(jié)定理2.1中求一維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的公式，可求得概率密度因此。可以直接計(jì)算。例6的概率分布為-2-101230.10.20.250.20.150.1求的數(shù)學(xué)期望。解法1先求隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布，得到01490.250.40.250.1再按照求數(shù)學(xué)期望的公式，計(jì)算的數(shù)學(xué)期望。#解法2按照定理4.1給出的公式直接計(jì)算的數(shù)學(xué)期望。例7已知，，求：（1）；（2）。解（1）。（2）。例8設(shè)的概率分布為的概率分布為如果計(jì)算它們的數(shù)學(xué)期望，則有，，兩者都是0，看不出什么區(qū)別。但是，的分布與的分布，顯然有很大的區(qū)別，一個(gè)集中，一個(gè)分散，所以，為了將它們區(qū)分開(kāi)來(lái)，還需要用到其他的數(shù)字特征。例如，在上面例1中，，的方差為=，=。，的標(biāo)準(zhǔn)差為，。例9設(shè)隨機(jī)變量服從0-1分布，概率分布為01求的數(shù)學(xué)期望和方差。解，，由定理4.2可得。例10設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。求的數(shù)學(xué)期望和方差。解，，由定理4.2可得。例11已知，求。解。例12設(shè)隨機(jī)變量的均值為，方差為，稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。求的數(shù)學(xué)期望和方差。解，。例13設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。（1）用切比雪夫不等式對(duì)概率作近似估計(jì)；（2）求概率的精確值。解在前面的例3中，已經(jīng)求得的數(shù)學(xué)期望和方差。（1）用切比雪夫不等式作近似估計(jì)，有。（2）用積分式作精確計(jì)算，則有。例14設(shè)服從0-1分布，概率分布為01求的階原點(diǎn)矩和階中心矩。解的階原點(diǎn)矩為。的階中心矩為。例15設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，概率密度為。求的階原點(diǎn)矩。解的階原點(diǎn)矩為。例16設(shè)服從上的均勻分布，概率密度為。求的4階中心矩。解因?yàn)椤?，所以。?階中心矩。例17設(shè)（）的聯(lián)合概率密度為。求。解。例18設(shè)（）的聯(lián)合概率密度為。求，，，。解法一。。。同理可得，。解法二先求的邊緣概率密度。再求的數(shù)學(xué)期望和方差。。。同理可得，。兩種解法得到的結(jié)果是完全相同的。例19設(shè)的聯(lián)合概率分布為0100.30.30.610.30.10.40.60.41求，，，。解先求，的邊緣概率分布，見(jiàn)上表邊緣。再求的數(shù)學(xué)期望和方差。。。同理可得，。