(1.18)-6.8 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)

6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)方法基于模擬濾波器的頻率變換，模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)方法。對(duì)于數(shù)字高通、帶通和帶阻的設(shè)計(jì)，通用方法為雙線(xiàn)性變換?？梢越柚谀M濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)一個(gè)所需類(lèi)型的過(guò)渡模擬濾波器，再通過(guò)雙線(xiàn)性變換將其轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器，例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)步驟：（1）確定所需類(lèi)型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。（2）將所需類(lèi)型數(shù)字濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成相應(yīng)類(lèi)型模擬濾波器的邊界頻率，雙線(xiàn)性轉(zhuǎn)換公式為（6.5.1）

（3）將相應(yīng)類(lèi)型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)。（4）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。（5）通過(guò)頻率變換將模擬低通轉(zhuǎn)換成相應(yīng)類(lèi)型的過(guò)渡模擬濾波器。（6）采用雙線(xiàn)性變換法將相應(yīng)類(lèi)型的過(guò)渡模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器?！纠?.5.1】設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率ωp=0.8πrad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率ωs=0.44πrad，阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。解：

（1）確定數(shù)字高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：ωp=0.8πrad,

p=3dBωs=0.44πrad,

s=15dB（2）將高通數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成高通模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：（3）模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算：對(duì)通帶邊界頻率(本例中就是3dB截止頻率Ωc）歸一化，即λp=λc=1，

p=3dB將λp=1和－Ωsh代入（6.2.51）式，求出歸一化低通濾波器的阻帶截止頻率令T=2s，雙線(xiàn)性變換法得到模擬邊界頻率：

（4）設(shè)計(jì)歸一化模擬濾波器G(p)。查表6.2.1，得到歸一化模擬低通原型系統(tǒng)函數(shù)G(p)為取N=2（5）利用頻率變換公式（6.2.50）式將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬高通濾波器HHP(s)：（6）用雙線(xiàn)性變換法將模擬高通Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：程序ep651.m：wpz=0.8;wsz=0.44;rp=3;rs=15;[N,wc]=buttord(wpz,wsz,rp,rs);%調(diào)用buttord和butter直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器[Bz,Az]=butter(N,wc,'high');fkz=0:1/500:1;wkz=pi*fkz;Hkz=freqz(Bz,Az,wkz);plot(fkz,20*log10(abs(Hkz)));gridonxlabel('頻率(w/pi)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,1,-100,5])程序運(yùn)行結(jié)果：

N=2；Bz=［0.1326－0.26530.1326］;

Az=［1.00000.73940.2699］數(shù)字濾波器損耗函數(shù)曲線(xiàn)3dB15dB圖6.5.1高通數(shù)字濾波器損耗函數(shù)

【例6.5.2】希望對(duì)輸入模擬信號(hào)采樣并進(jìn)行數(shù)字帶通濾波處理，系統(tǒng)采樣頻率Fs=8kHz，要求保留2025～2225Hz頻段的頻率成分，幅度失真小于1dB；濾除0～1500Hz和2700Hz以上頻段的頻率成分，衰減大于40dB。試設(shè)計(jì)數(shù)字帶通濾波器實(shí)現(xiàn)上述要求。

解這是一個(gè)用數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行帶通濾波處理的應(yīng)用實(shí)例（先對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行A/D變換，再進(jìn)行數(shù)字帶通濾波處理）。首先確定數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)：為了使濾波器階數(shù)最低，選用橢圓濾波器。調(diào)用MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)（ellipord和ellip）直接設(shè)計(jì)數(shù)字帶通濾波器的程序?yàn)閑p652.m。程序：ep652.m

fpl=2025;fpu=2225;fsl=1500;fsu=2700;Fs=8000;wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];%濾波器邊界頻率（關(guān)于π歸一化）rp=1;rs=40;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs);%調(diào)用ellipord計(jì)算濾波器階數(shù)N和通帶截止頻率wpo[Bz,Az]=ellip(N,rp,rs,wpo);%調(diào)用ellip計(jì)算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量Bz和Azfkz=0:1/500:1;wkz=pi*fkz;Hkz=freqz(Bz,Az,wkz);plot(fkz,20*log10(abs(Hkz)));gridonxlabel('頻率(w/pi)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,1,-60,5])程序運(yùn)行結(jié)果:N=3wpo=［0.50620.5563］;ws=［0.37500.6750］B=［0.00530.00200.00450.0000－0.0045－0.0020－0.0053］A=［1.00000.57302.93791.09172.79190.51720.8576］由系數(shù)向量B和A可知，系統(tǒng)函數(shù)分子分母是2N階多項(xiàng)式:

式中

繪出6階橢圓數(shù)字帶通濾波器損耗函數(shù)曲線(xiàn)圖6.5.2六階橢圓數(shù)字帶通濾波器損耗函數(shù)曲線(xiàn)

【例6.5.3】希望對(duì)輸入模擬信號(hào)采樣并進(jìn)行數(shù)字帶阻濾波處理，系統(tǒng)采樣頻率Fs=8kHz，要求濾除2025～2225Hz頻段的頻率成分，衰減大于40dB；保留0～1500Hz和2700Hz以上頻段的頻率成分，幅度失真小于1dB。試設(shè)計(jì)數(shù)字帶阻濾波器實(shí)現(xiàn)上述要求。

解首先確定數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)：選用橢圓濾波器，ellip中加入濾波器類(lèi)型參數(shù)′stop′，帶阻。程序：ep653.mfpl=2025;fpu=2225;fsl=1500;fsu=2700;Fs=8000;wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];%濾波器邊界頻率（關(guān)于π歸一化）rp=1;rs=40;[N,wpo]=ellipord(wp,ws,rp,rs);%調(diào)用ellipord計(jì)算濾波器階數(shù)N和通帶截止頻率wpo[Bz,Az]=ellip(N,rp,rs,wpo,'stop');%調(diào)用ellip計(jì)算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量Bz和Azfkz=0:1/500:1;wkz=pi*fkz;Hkz=freqz(Bz,Az,wkz);plot(fkz,20*log10(abs(Hkz)));gridonxlabel('頻率(w/pi)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,1,-60,5])程序運(yùn)行結(jié)果:N=3，wpo=[

0.38110.6750]

B=[0.3600

0.2078

1.0749

0.4094

1.0749

0.2078

0.3600]

A=[1.0000

0.3982

1.1068

0.3508

0.7452

0.0761

0.0178]根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)向量B和A畫(huà)出6階數(shù)字橢圓帶阻濾波器損耗函數(shù)曲線(xiàn)。

圖6.5.3六階橢圓數(shù)字帶阻濾波器損耗函數(shù)曲線(xiàn)以上僅介紹了用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字高通、數(shù)字帶通和數(shù)字帶阻濾波器的基本步驟。

這種方法基于模擬濾波器的頻率變換，即先設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，再利用頻率變換將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的模擬濾波器（例如模擬高通濾波器），最后采用雙線(xiàn)性變換法將所需類(lèi)型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器。

如果設(shè)計(jì)的是數(shù)字低通或者數(shù)字帶通濾波器，則也可以采用脈沖響應(yīng)不變法。但對(duì)于數(shù)字高通或者數(shù)字帶阻濾波器,則只能采用雙線(xiàn)性變換法進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

按照以上步驟設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的計(jì)算繁雜，MATLAB提供的濾波器設(shè)計(jì)工具箱函數(shù)就是按照這種理論來(lái)實(shí)現(xiàn)各種類(lèi)型濾波器的設(shè)計(jì)的。工程實(shí)際中，調(diào)用對(duì)應(yīng)函數(shù)就可以直接設(shè)計(jì)所需要的各種濾波器。請(qǐng)注意，對(duì)于濾波器的頻率變換，除了本節(jié)介紹的模擬域的頻率變換以外，在數(shù)字域也可以進(jìn)行頻率變換。

利用數(shù)字域頻率變換的設(shè)計(jì)過(guò)程是：先將模擬低通濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法或者雙線(xiàn)性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器，再在數(shù)字域利用頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成所需類(lèi)型的數(shù)字濾波器（例如數(shù)字高通濾波器）。

最后要說(shuō)明的是，前面所介紹的IIR數(shù)字濾波器的間接設(shè)計(jì)法是通過(guò)先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再進(jìn)行s

z平面轉(zhuǎn)換，來(lái)達(dá)到設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的目的的。

這種設(shè)計(jì)方法使數(shù)字濾波器幅度特性受到所選模擬濾波器特性的限制。例如，巴特沃斯低通幅度特性是單調(diào)下降，而切比雪夫低通特性帶內(nèi)或帶外有上、下波動(dòng)等。

對(duì)于要求任意幅度特性的濾波器，則不適合采用這種方法。數(shù)字域直接設(shè)計(jì)IIR濾波器的方法和FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法可以解決這種問(wèn)題。

IIR濾波器的數(shù)字域直接設(shè)計(jì)方法有零極點(diǎn)累試法、頻域幅度平方誤差最小法和時(shí)域直接設(shè)計(jì)法［1,3,12］。后兩種方法都屬于優(yōu)化設(shè)