2021年中考數(shù)學(xué)第二輪壓軸題復(fù)習(xí)：《圓》 專項練習(xí)題（一）

2021年中考數(shù)學(xué)第二輪壓軸題專題復(fù)習(xí):

《圓》專項練習(xí)題(一)

1.如圖1,是。。的直徑，直線4版與相切于點4直線以/與。。相切于點8,點C

(異于點⑷在朋上，點。在。。上，且”?="，延長緲與融相交于點￡連接4。并

延長交融于點F.

圖1圖2

(1)求證：如是。。的切線；

(2)求證：BE=EF；

(3)如圖2,連接長?并延長與。。分別相交于點G、H,連接8//.若45=6,AC=4,求

tanNBHE.

2.如圖，扇形的半徑為OA=3,圓心角2加8=90°,點C是弧四上異于A8的動點，

過點C作SL以于點〃，作在J?緲于點E連接班，點G、，在線段如上，目DG=GH

=HE.

(1)當(dāng)點C在弧四上運動時，CD、CE、DG中,長不變的線段是,該線段的長度

是;

(2)證明：四邊形0GO/是平行四邊形;

(3)當(dāng)0D=時，四邊形OGCH是菱形.

3.。。直徑48=12初，制和剛是O0的切線，AC切。。于點￡且交加于點區(qū)交8〃于點

C,設(shè)AD—x,86=y.

(1)求y與x之間的關(guān)系式；

(2)x,"是關(guān)于十的一元二次方程2t2-30什/77=0的兩個根，求x,y的值;

(3)在(2)的條件下，求△C0D的面積.

4.如圖，在△/的中，點。是〃邊上一點，以m為直徑的。。與邊8c切于點￡,且布=

BE.

(1)求證：48是。。的切線；

(2)若BE=3,8C=7,求。。的半徑長;

(3)求證：Ce=CD*CA.

D

BEC

5.【發(fā)現(xiàn)】

如圖（1）,48為。。的一條弦，點C在弦48所對的優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知

道N4C8的度數(shù)（填“變”或“不變”）；若408=150°,則N/IC8=。.愛

動腦筋的小明猜想，如果平面內(nèi)線段的長度已知，N/C8的大小確定，那么點C是不

是在某一個確定的圓上運動呢？

【研究】

為了解決這個問題，小明先從一個特殊的例子開始研究.如圖（2）,若AB:2五,直

線48上方一點C滿足N4C8=45°,為了畫出點C所在的圓，小明以48為底邊構(gòu)造了一

個等腰RtZMOb,再以。為圓心，）為半徑畫圓，則點。在。。上.請根據(jù)小明的思路在

圖（2）中完成作圖（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并用28鉛筆或黑色水

筆加黑加粗）.后來，小明通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結(jié)論，即：若

線段的長度已知，N/IC8的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角

必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型.

【應(yīng)用】

（1）如圖（3）,43=2?,平面內(nèi)一點C滿足N4第=60°,則面積的最大值

為■

（2）如圖（4）,已知正方形力仇》,以為腰向正方形內(nèi)部作等腰△&!￡,其中BE=BA,

過點￡作于點尸，點戶是△弼的內(nèi)心.

①NBPE=°,NBPA=°；

②連接CR若正方形48C。的邊長為2,則小的最小值為.

圖⑶圖(4)

6.如圖，“是的外角的平分線，交8c的延長線于點綏的延長線與

的外接圓交于點A.

(1)求證：AB—AG-,

(2)若NZ?第=90°,sinf=Y￡,47=4,求故的長.

D

7.已知。。為△48C的外接圓，點E是△4外的內(nèi)心,的延長線交8c于點尸，交。0于點

D.

(1)如圖1,求證：BD=ED.

(2)如圖2,力。為。。的直徑.若8c=12,sinZBAC=—,求處的長.

5

;

)

DD

圖1圖2

8.如圖，絲是大半圓。的直徑."是小半圓a的直徑，點c是大半圓o上的一個動點(不

與點48重合)，4C交小半圓a于點。，DEL0C,垂足為￡

(1)求證：AD—DC-,

(2)求證：縱是半圓4的切線；

(3)如果OE=EC,請判斷四邊形4卻是什么四邊形，并證明你的結(jié)論.

9.已知△四C是。。的內(nèi)接三角形，絲為。。的直徑.點，是。。外一點，連接勸和川，

切與47相交于點￡,且0"北

(1)如圖1,若力。是。。的切線，tanN外占今證明：AD-AB-,

(2)如圖2,延長。。交。。于點尸，連接3,CF,AF.當(dāng)四邊形4?行"為菱形，且N外C

=30°,比*=1時，求〃尸的長.

10.如圖，已知48是。。的直徑，C是。。上一點(不與48重合)，。為的AC中點，過

點〃作弦巫，/I8于尸，尸是84延長線上一點，且NPEA=NB.

(1)求證：，任是。。的切線；

(2)連接以與〃相交于點G,勿的延長線交所于，，求證：HE=HG；

(3)若tanN用g"，試求綽的值.

11.如圖1,在△/!&?中，AB=AC,。。是△/%的外接圓，過C作CD〃/18,CD交_00千D,

連接力。交此于點￡,延長。C至點尸，使％=作，連接正

(1)求證：/尸是。。的切線；

(2)求證：A言一B^=BE?EC；

(3)如圖2,若點G是的內(nèi)心，BOBE=M,求8G的長.

圖1圖2

12.已知：△/!成?內(nèi)接于。。連接CO并延長交于點￡,交O0于點功滿足N%=3N

ACD.

(1)如圖1,求證：AB—AC\

(2)如圖2,連接劭，點尸為弧做上一點，連接CF,弧。尸=弧BD,過點A作AG1.CD,

垂足為點G,求證：CF+DG^CG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點，為4C上一點，分別連接ZW,OH,OHLDH,過點C

作C2L4C,交。。于點戶，0H-.由1：CF=]2,連接。尸，求"的長.

13.如圖所示，4C與。。相切于點C,線段4。交。。于點B.過點8作劭〃4C交。。于點D,

連接緲、0C,且。C交加于點￡.若NCDB=30°,DB=4-/jcm.

(1)求O0的半徑長；

(2)求由弦①、薇與弧8c所圍成的陰影部分的面積.(結(jié)果保留n)

14.如圖，口4成沙的一邊段與。。相切于點4另兩邊形、宓是00的弦，連接力。并延長

交8c于點M交過C點的直線于點夕，且ZBCP=NACD.

(1)求證：。為。。的切線；

(2)若tanNP=3,求sinN/JOC.

15.如圖，四邊形483內(nèi)接于?！氨?為。。的直徑，。。的切線4戶與曲的延長線交于點

P.

(1)求證：NPAB=2ACB；

4

(2)若A?=12,cosZADB=—,求陽的長.

5

參考答案

1.解：(1)如圖1中，連接辦，

\'CD=CA,

「?NCAD=ZCDA,

\'OA=OD

???NOAD=ZODA,

;直線加與。。相切于點4

/.ZCAO=ZCACh-ZOAD=90°,

0DC=NCD姑N0DA=9C,

???維是。。的切線.

(2)如圖1中，連接8。

'：OD=OB,

/.NODB=ZOBD,

丁宏是。。的切線，8尸是。。的切線，

：?NOBD=/0DE=9N,

:.NEDB=4EBD、

:?ED=EB、

,：AM±AB,BNA.AB,

:.AM"BN,

CAD=NBFD、

??,/CAD=NCDA=NEDF、

:?/BFD=/EDF、

:?EF=ED、

:,BE=EF.

(3)如圖2中，過E點作且于則四邊形48且是矩形,

圖2

設(shè)BE=x,則CL=4-x,CE=4+x,

(4+x)2=(4-x)2+62,

解得：x--y,

4

_9_

,,tanZBOE

tan乙也口QB34

?：/B0E=2/BHE、

2tan/BHE3

tanZBOE=-----------5--------

1-tanVBHE

解得：tan4BHE=三或-3（-3不合題意舍去），

:.tanNBHE=—.

3

補充方法：如圖2中，作HJD交房的延長線于J.

?：tar\^BOE=—=—,

0B4

，可以假設(shè)8￡=3尢08=4%,則況'=5%

?：OB//HJ,

.0B=0E=EB

"EH-EJ'

.4k_5k_3k

"Hf_9k-EJ'

：.HJ=—k,EJ=—k,

55

9719

：.BJ=EJ-BE=—k-3k=—k

55

HT3

NBHE=NHBA=NBHJ,

:.tanNBHE=—.

3

c

圖1

2.(1)解：連接0C.

■:CD工OA、GE1.OB.

.'.ZCE0=ZCD0=9Q°,

?「N408=90°,

???四邊形ODCE是矩形,

：.OC=ED=3,

?:DG=GH=EH、

：.DG=—DE=\,

3

?0-OG的長度不變,DG=-1,

故答案為。G,1.

(2)證明：連接0c交班于尤

.?.四邊形。仇更是矩形，

：.KO=KC、KE=KD,

YEH=GD,

:?KH=KG、

二四邊形0GO/是平行四邊形.

(3)解：當(dāng)山=冬叵時，四邊形。仇?〃是菱形.

2

理由：??,四邊形必然是矩形，

：.N0DC=qG,

egVoc2-OD2=也2-(乎)2=平，

**.OD=-0Cy

..?四邊形OOCE是正方形,

：.DEA.OC,

...四邊形如掰是平行四邊形,

..?四邊形OGCH是菱形.

故答案為‘吐.

3.解：(1)如圖1,作DFLBN交8c于F；

；佩融與。。切于點定48,

.\AB-LAM,ABLBN.

又?：DFLBN,

BAD=/ABC=/BFD=9N,

???四邊形4甑?是矩形，

：,BF=AD=x,DF=AB=12,

,:BC=y,

?-FG=BG-BF=y-x；

.??以切。。于￡

DE=DA=xCE=CB=y,

貝ljDC=D3CE=Ky,

在RtZ\Z?8?中，

由勾股定理得：(/。2=(y-x)2+122,

整理為：y=—,

X

.?沙與X的函數(shù)關(guān)系式是/=強.

(2)由(1)知xy=36,

x,y是方程2*2-30A+S=0的兩個根,

.,?根據(jù)韋達(dá)定理知，xy=p即a=72；

?,?原方程為x-15A+36=0,

解得X」或[x=12

7=12\y=3

(3)如圖2,連接?！?，OE,OC,

'.■AD,BC,CD是。。的切線，

OE1.CD,AD=DE,BC=CE,

,?S”<?=SNOX,

4.(1)證明：連接/、OE,如圖所示:

在△480和△扇。中，

rAB=BE

<0A=0E,

0B=0B

：.^ABO^/\EBOCSSS),

/.ZBAgNBE0,

與邊8c切于點￡,

OE1.BC,

：.^BEO=^BAO=9QQ,

即ABLAD,

-'-AB是。。的切線；

(2)解：；8￡=3,BX7,

：,AB=BE=3,CE=4,

'：ABA-AD,

AC22=

-=7BC-AB472.32=2百5,

YOEIBC,

：.AOEC=^BAC=9Q°,

4EC0=4ACB,

:?MCEOsl\CAB、

.OECE

."———?

ABAC

解得：如=2/匝，

5

???。0的半徑長為生旦.

5

(3)證明：連接DE,

丁絲是。。的直徑，

/.ZAED=9Q°,

:?NAE濟(jì)4DEC=9G,

??.朋是。。的切線，

???/仍6*=90°,

：?/BAS/EAD=9G,

'：AB=BE、

：.NBAE=NBEA,

：.ADEC=AEAD,

???△EDC^/\AEC,

.CE,CA

.歷F，

：.C^=CD*CA.

5.解：【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)圓周角性質(zhì)，N/C8的度數(shù)不變,

?.?/加8=150°,

:./ACB=L/A0B=15。,

2

故答案為：不變，75°；

【研究】補全圖形如圖1所示，

【應(yīng)用】(1)如圖2,

圖2

記△48C的外接圓的圓心為0,連接0A,08,

?；NAC8=6Q°,

AOB=2/ACB=\2N,

0A=OB,

：,ZOAB=30°,

過點。作。a48于小

-'-AH=^AB=^3,

在RtZvl//0中，設(shè)。。的半徑為"，則仍三j

根據(jù)勾股定理得，(2r)2-r2=3,

.."=1(舍去負(fù)數(shù))，

：.0A=2,OH=1,

,.點C到的最大距離力為r+0//=2+1=3,

「?品布最大='份仁■^■*2?*3=3?,

故答案為：373；

(2)①?：EF2AB,

：.^EFB=9Qa,

:.NBER/EBF=9Q°,

;點戶是△阪的內(nèi)心，

■■-PE,/方分別是N比尸和NE8尸的角平分線，

：.ABEP=^Z.BEF,ZEBP=ZABP=ZABE,

；.NBPE=M°-(2BE巴/EBP)=180°-—QNBEF+/EBC=180°-—X90°

22

135°；

在△外￡和△8〃中，

"BE=BA

<ZEBP=ZABP,

BE=BA

：./\BPE^./\BPA(%5).

:.NBPA=NBPE=135°,

故答案為：135°,135°；

②如圖3,

作△/）的的外接圓，圓心記作點0,連接fl4,0B,在優(yōu)弧48上取一點0,連接B0,

則四邊形4陽。是。。的圓內(nèi)接四邊形，

AZ/4?=180oNBPA=45°,

:./A0B=2/AQB=qQ°,

：.0A=0B=

連接0C,與。。相交于點戶‘此時，人’是3的最小值，

過點。作OMLAB于M,ON'CB,交C8的延長線于N

則四邊形。的訓(xùn)是正方形，

：.028仁—AB^1,

2

：.CN=BC+BN=3,

22=

在Rt^ovc中，oc=VON-K：NVw.

?0-CP的最小值=CP=0C-OP'=V10一血，

故答案為：A/YQ-\j~2.

Q

圖3

6.(1)證明：???必是△/?8c的外角N/7?C的平分線,

：.2FDE=4CDE,

?：NADB=NACB=/FDE,NABC=4CDE,

???4ABC=4ACB,

.\AB=AC]

(2)解：???/，綣=90°,

:?NDCE=/BAD=9G,

，/a/CDE=NABA/ADB=9N,

,:NADB=/FDE=4CDE,

：.NABD=NE,

?..sjn￡=E,

5_

：.s\n^ABD^—=^-,

BD5

FX4,

8Z?=4

7.(1)證明：如圖1,連接8￡

,?任是△48。的內(nèi)心，

：?NABE=NCBE,ZBAD=ZCAD,

'：4DBC=4CAD.

：./DBC=NBAD,

Y4BED=/BAA/ABE、

/.NDBE=4DEB,

；.BD=E。

圖1圖2

(2)如圖2所示；連接08.

.??力。是直徑，AD平令乙BAC,

：.AD-LBC,ABF=FC=6、

???ZBAC=ZB0D,sinZBAC=1-.BF=6,

5

???。8=10.

在RtZ\80尸中，BF=6,08=10,

OF=7OB2-BF2=8）

：.DF=2,

在RtZ\8〃尸中，B戶+Df?=B?、

"1-BD=2^/10?

DE=2^/10?

OE=10-2V10.

8.證明：（1）連接辦，

,「40為圓a的直徑，

貝I]400=90°.

?.YC為。。的弦，做為弦心距，

.'.AD=DC.

(2)證明：???。為4c的中點，0,為4。的中點,

：.0,D//0C.

又DELOC,

:.DE、0\D

..?〃￡與。4相切.

(3)如果如=用,又。為4c的中點，

：.DE//0.0,又苗?！ㄡj

四邊形4⑻為平行四邊形.

又NDEgqy,OgO、D,

..?四邊形a的為正方形.

9.解：(1)證明：

：.AE=EC=^AC,N因=90。，

???48為。。的直徑，

...N4第=90°,

■：tanABAC=—=—,

AC2

：.BC=^AC,

:?AE=BC,

:朋是。。的切線，

：.DA2.AB,

：.ADAO=AACB=9Q°,

ZDAE^rZCAB^ZABOZCAB^90°,

^DAE=/ABC,

在△心￡和△48C中，

rZDEA=ZACB=90°

"AE=BC,

ZDAE=ZABC

:ZAEml\ABCqASQ,

.'.AD=AB\

(2)在RtZ\48C中，N840=30°,BC=1,

?.48=2,

?；NABC=NAFC=6G°,

.?.四邊形4?紡為菱形，

AC=FC=^^3,

.?.△/FC是等邊三角形，

:.NDFC=^4AFC=30。,

：.CE=—FC=^-,

22

:.EF=MCE嗅

:.DF=2EF=3.

10.S：(1)證明：如圖1,連接延

圖1

.28是。。的直徑，

：.4AEB=9N,

:?NEA濟(jì)4B=90°,

'：OA=OE,

，/OAE=/AEO,

???N決N4&2=90°,

?：4PEA=NB、

，NPE9NAE0=9G,

：.ZPEO=90°,

又,??如為半徑，

?.?比是。。的切線；

(2)如圖2,連接0D,

.?.，為會的中點，

：.OD\AC、設(shè)垂足為肌

：?NAMO=90°,

'：DEA.AB,

：.ZAFD=90°,

ZAOD^ZOAM=ZOAM^zAGF=90°,

???4A0D=4AGF,

?：NAEB=/EFB=9G,

/B=4AEF、

?：4PEA=2B、

/.4PEF=2NB、

'：DELAB.

???AE=AD，

「?4A0D=2NB,

NPEF=NAOD=/AGF、

：.HE=HG}

：.Z.P=Z.ODF,

OF5

.'.tanZP=tanNODF=-----=-----,

DF12

設(shè),0F=5x,則如'=12x,

22

??.OD=7OF+DF=13x，

/.BF=0R-08=5^3x=18x,AF=OA-0Q=13x-5x=8x,

■:DE工OA、

:?EF=DF='2x、

AE=VAF2+EF2=4VEF2+BF2=6A/13^

?；NPEA=NB、4EPA=NBPE,

:、XPEAsXPBE、

.PA_AE_Wl3_2

一市五對運至，

■：/44PEF=NFA//AGF=qG,

:?/PEF=/AGF、

/.4P=/FAG、

又?：NFAG=NPAH,

.\ZP=ZPAH,

:,PH=AH,

過點〃作以在功于點(

:?PK=AK,

■.■—PK=—1.

PE3

5

tanNP=-----,

12

設(shè)HK=3a,PK=12a,

:,PH=13a,

：.AH=\3a,PE=36a,

：,HE=HG=36a-13a=23^,

：,AG=GH-AH=23a-13^=10a,

.AH_13a_13

,■AG=10a=IO'

11.解：(1)如圖1,連接。4

圖1

?：AB=AC,

??AB=AC?4ACB=/B,

.\OAA-BC,

VCA=CF、

???NCAF=ZCFA,

'：CD"AB,

/.4BCD=

???4ACB=/BCD,

/.4ACD=NCAXNCFA=2/CAF、

4ACB=NBCD,

4ACD=24ACB,

:?乙CAF=4ACB,

：,AF//BC,

：.OA±AF,

，力尸為。0的切線；

(2)Y/BAD=/BCD=/ACB、NB=4B,

:、XABEsXCBA、

.AB_BE

**BC=AB1

:.A6=BSBE=BE(陽明=BE+BE?CE、

??.A序一B^=BE?EC；

(3)由(2)知：A戌=BSBE,

'：BSBE=64,

.'.AB=8,

如圖2,連接4G,

圖2

:?』BAG=/BAM乙DAG,ZBGA=NGAC+NACB,

;點G為內(nèi)心，

/.NDAG=NGAC、

又■：NBA步ZDAG=NGA3/ACB,4BAD=/ACB,

4BAG=4BGA,

??BG=AB=8.

12.(1)證明：如圖1中，連接42設(shè)N8&?=3Q,4ACD=Q.

圖1

^BEC=BAO^ACD,

:.NBAC=2a,

???緲是直徑，

ZDAC=9Q°,

NP=90°-a,

J.N8=NP=90°-a,

?.?N/C8=180°-NA4C-N48al80°-2a-(90°-a)=90°-a.

NABC=NACB,

?\AB=AC.

(2)證明：如圖2中，連接4。，在切上取一點Z,使得紇=劭.

?BD=CF.

:.DB=CF、

?：NDBA=NDCA,CZ=BD、AB=AC,

:、MAD噲XAZCQSAS),

：.AD=AZ,

,：AG工DZ、

：.DG=GZ,

/.CG=CZ+GZ=BMDG=CRDG.

(3)解：連接4?,PA,作斷，4C于4ORLPC于R、CT,所交所的延長線于匚

：?/ACP=9G,

???功是直徑，

VORLPC,OKLAC、

：.PR=RC、ZORC=ZOKC=ZACP=90°,

???四邊形ar。?是矩形，

：.RC=OK,

?：OH：PC=1：&,

???可以假設(shè)O勺PC=2a,

:?PR=RG=a、

:?RG=0K=a、sinN%=普-=返，

V2a2

：?40HK=45。,

'：OHLDH.

AZDH0=9Q0,

???NZ?/〃=180°-90°-45°=45°,

二口是直徑,

AZDAC=90°,

：.ZADH=90°-45°=45°,

/.NDHA=NADH,

.\AD=AH,

?：NCOP=/AOD,

：,AD=PC,

.\AH=AD=PC=2a,

，AK=A"HK=2/a=3a,

22=

在Rt"OK中，tan/*=*=[■,OA=7AK+OKVa2+(3a)2=Vl0'

AllO

.,.sinZCM/r=—

AO10

?：/AD訃/DAG=9G0,N4?ZWN47G=90°,

/DAG=ZACD,

?：AO=CO,

OAK=NACO、

，DAG=/ACO=/OAK、

.'.tanZ>4CZ?=tanZZZ4^=tanNOAK=—,

3

???AG=3DG,CG=3AG,

：.CG=9DG,

由（2）可知，CG=DG^CF、

:?D*\2=9DG,

33Q

：.DG=—,AG=3DG=3X—=—,

222

AD22=2-3>/10

?''^VDG+AGJ/2+7)

2

???i耍

sinNF=sinNOAK、

.c!n/r--CT_V7O

FC10_

CT=HXFC=義匝X12=色叵，F(xiàn)「222

=VFC-CT=^12-(-^S)2=

10105

厘零)2-(中)2二嚕,

JVZD

.18V10_971027V10

51010

13.解：(1)??,4C與。。相切于點Q

：.ZACO=90°.

?:BD"AC、

：.ZBEO=ZACO=90°,

.1.DE=EB=—BD=^?=2JQ(cni)

22

'：ZZJ=3O°,

：.4O=2ND=60°,

在RtZ\8&?中，sin60°=—,返=馬巨.

OB2OB

.".OB—5,即。。的半徑長為5cm.

(2)由(1)可知，N260°,/BEO=9Q°,

：.2EBO=4X30°.

在叢CDE與叢OBE中,

'/D=NEBO

<ZCED=ZO