2022屆平頂山市高三數(shù)學（理）上學期期中考試卷附答案解析

2022屆平頂山市高三數(shù)學(理)上學期期中考試卷

一、單選題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

1.已知集合A={(x,y)\xtyeN*,y>x},B={(%,y)|x+y=8},貝ij4nB中元素的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

2.若z=l—i,則1=1=()

z-1

A.1B.V2C.2D.V5

3.若不等式a/+bx+c>0的解集為(―：,3),則x2+^x+^<0成立的一個必要不充分條件是

()

A.-j<x<3B.-1<x<0C,-3<x<iD.-1<x<6

4.費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內(nèi)角均小120。時，費馬點與

三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°.根據(jù)以上性

質(zhì)，已知4(-2,0),B(2,0),C(0,4)，P為△ABC內(nèi)一點，記f(P)=\PA\+\PB\+\PC\,則f(P)

的最小值為()

A.25/3B.4+2百C.4+V3D.2+V3

5.從某高中2021名學生中選取50名學生參加數(shù)學競賽，若采用以下方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣方法從

2021名學生中剔除21名，再從余下的2000名學生中隨機抽取50名.則其中學生丙被選取和被剔除的概率

分別是()

A2_21B5021c2_2TD2150

?40'2021?2021'2021'40'2000*2000'2021

6.已知定義在R上的函數(shù)/(%)，g(x)滿足緇=產(chǎn)，/'(x)9(x)-/(x)g'(x)>0，怒+舄=

|,則數(shù)列{猊}的前10項的和是()

A.1024B.1023C.2046D.2048

7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多

安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有()

A.20種B.30種C.40種D.60種

8.已知函數(shù)/(%)=sin(o)%+卬)(3>0,|口|<9的最小正周期為n，將該函數(shù)的圖象向左平移個單位

26

長度后，得到的圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則下列說法錯誤的是()

A.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間般拳上單調(diào)遞減B.函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x屋對稱

C.函數(shù)y=/(x)的圖象關于點(工,0)對稱D.函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=V對稱

9.已知三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC,SA=3,

那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為

A.盤B.亞C.世D.三

4444

10.已知點。為正AABC所在平面上一點，且滿足OA+MB+(1+2)0C=0,若△OAC的面積與

△04B的面積比值為1:4,則A的值為()

A.-B.-C.2D.3

23

2

11.已知a,F2為雙曲線x-^=l的左、右焦點，P為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，若4為

XPF述2內(nèi)切圓上一動點，當AFi的最大值為4時，△。&尸2的內(nèi)切圓半徑為（）

12.若2a+-=eb+-=5c+~，則下列選項正確的是（）

2e5

A.b<a\n2<cln5B.aln2>cln5>bC.b>cln5>aln2D.aln2>b>cln5

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a=4,b=4V3,A=30°,

則該三角形的面積等于.

x+y-5<0

14.若實數(shù)尤，y滿足約束條件｛y-220,則z=匕竿的最小值是

X+1-------------------------

x—1N0,

15.已知矩形4BCD中，AB=2,BC=W,E是CD邊的中點.現(xiàn)以AE為折痕將ADE折起，

當三棱錐0-4BE的體積最大時，該三棱錐外接球的體枳為.

16.拋物線C:x=2py2（p>o）的焦點F到準線的距離為2,過點F的直線與C交于力，B兩點，

C的準線與%軸的交點為M,若AMAB的面積為3或，則黑=

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.在公比大于0的等比數(shù)列｛an｝中，己知。2，。3,6%依次組成公差為4的等差數(shù)列

（1）求｛an｝的通項公式；

（2）設4=堡3,求數(shù)列｛仇｝的前n項和Tn.

an

18.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB1PC,AD//BC,AD1CD，且PC=BC=2AD=2CD=

2V2,PA=2.

（1）PA1平面ABCD；

（2）在線段PD上，是否存在一點M，使得二面角M-AC-D的大小為60°?如果存在，求胃的

值；如果不存在，請說明理由.

19.新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是50歲以上人群.該病毒進入人

體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可

能性越高.現(xiàn)對400個病例的潛伏期（單位：天）進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2,方差為2.252.

如果認為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：

2

年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏

50歲以上60220

50歲及50歲以下4080

(1)是否有95%的把握認為“長期潛伏”與年齡有關;

(2)假設潛伏期X服從正態(tài)分布NO，/),其中〃近似為樣本平均數(shù)后d近似為樣本方差s2.

(i)現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性；

(ii)以題目中的樣本頻率估計概率，設1000個病例中恰有k(keN*)個屬于“長期潛伏”的概率是p(k),

當k為何值時，p(k)取得最大值.

附.K2=n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2>fc0）0.10.050.010

k02.7063.8416.635

若f?N（〃R2）,則P（〃-67Vf<〃+（T）=0.6862,P（4-2。VfV〃+2c）=0.9544,P（〃一3）VfV〃+

3a）=0.9974.

2。.已知橢圓E$+W=l（a>b>。）的離心率為|,且橢圓上的點到其右焦點F的最遠距離為3.

(1)求橢圓E的標準方程;

(2)當直線I(斜率不為0)經(jīng)過點F,且與橢圓E交于4,B兩點時，問x軸上是否存在定點

P,使得x軸平分/APB?若存在,求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

21.已知函數(shù)/(x)=x2lnx+^(a6R)在x=1處的切線與直線x-y+2=0平行

(1)求實數(shù)a的值，并求/(x)的極值；

(2)若方程/(%)=m有兩個不相等的實根,x2>求證：xf+%2>|?

22.在直角坐標系xOy中，直線I的參數(shù)方程為0；二(t為參數(shù))，以原點。為極點，%軸

非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p2=—.

(1)求曲線C的直角坐標方程和直線I的普通方程；

(2)已知點P(l,—1),直線I與曲線C父于A,B兩點，求.

23.已知函數(shù)/(%)=|x-2t|-|x+t|(t>0).

(1)當t=l時，求不等式/(%)>1的解集；

(2)若/2/-(%)對任意的xER恒成立，M=t+三，求M的最小值.

3

4

答案解析部分

一、單選題

1.C2.D3.D4.B5.B6.C7.A8.D9.D10.B11.C12.A

二、填空題

13.已知△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,a=4,b=4小，A=30°

則該三角形的面積等于.

【答案】4V3或8V3

xy—5W0

14.若實數(shù)x,y滿足約束條件｛y—220,則z=平等的最小值是.

%—1Z0,

【答案】I

15.已知矩形ABCD中，AB=2,BC=遍，E是CD邊的中點.現(xiàn)以AE為折痕將ADE折起,

當三棱錐D-ABE的體積最大時，該三棱錐外接球的體積為.

16.拋物線C:x=2py2(p>0)的焦點F到準線的距離為2,過點F的直線與C交于4,B兩點,

C的準線與x軸的交點為M,若△M4B的面積為3&，則黑=.

【答案】2或9

三、解答題

17.在公比大于0的等比數(shù)列｛an｝中，己知。2，。3,6%依次組成公差為4的等差數(shù)列

⑴求｛an｝的通項公式;

(2)設％=照3,求數(shù)列｛%｝的前n項和Tn.

an

【答案】(1)解：設｛an｝的公比為q,

2

因為a2,a3,6a1成等差數(shù)列，所以的+6%=2的，則2q-q-6=0,

又q>0,所以q=2.

又因為%-。2=4,所以%=2,

nn

所以Qn=2x2t=2

log2a2n5_2n-5

(2)解：由題可知c=

n2n

則7n=3+3+!+...+箏，①

n222232n

加=”+:+套+…+祭+煞，②

①一②得押=/+2（表+*+…+玄）一磊=_"辭.

故〃=一1一好

5

【考點】等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)列的求和

【解析】【分析】(1)先由已知條件。2，。3,6%依次組成公差為4的等差數(shù)列，求出ai,q,進一步得到an=

2X2n-1-2n

(2)由(1)求出力=些3=竽，再用錯項相減的方法求丁人

an2

18.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB1PC,AD//BC,AD1CD，且PC=BC=2AD=2CD=

2V2,PA=2.

(1)PA1平面ABCD；

(2)在線段PD上，是否存在一點M,使得二面角M-4C-D的大小為60°?如果存在，求霽的

值；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明：?在底面4BCO中，AD||BC,AD1CD

且BC==2CD=2V2

AB=AC=2,BC=2V2/.AB1AC

又：AB1PC,ACdPC=C,ACc平面PAC,PCu平面PAC

：.AB1平面PAC又：PAu平面PAC：.AB1PA

"：PA=AC=2,PC=2V2PA1AC

又?:PALAB,ABdAC=A,ABc平面ABCD,ACc平面ABCD

：.PA1平面ABCD

(2)解：方法一：在線段AD上取點N,使AN=2ND

貝ijMN||PA

又由(1)得PA1平面ABCD：.MN1平面ABCD

又?:ACc平面ABCD；.MNLAC作NO1AC于。

又?:MNNO=N,MNc平面MNO,NOc平面MNO

6

，AC1平面MNO又：MOc平面MNO：.AC1MO

又：AC1NONMON是二面角M-AC-D的一個平面角

設霽=x則MN=(l-x)4P=2-2x,ON=^AN當xAD=x

這樣，二面角M-AC-D的大小為60°

即tan/MON="=B=tan60°=V3

ONx

即—=x=4—2V5

PD

滿足要求的點M存在，且翳=4一2H

方法二：取BC的中點E,則AE>AD,AP三條直線兩兩垂直

...可以分別以直線4E、AD.AP為x、y、z軸建立空間直角坐標系

且由(1)知AP=(0,0,2)是平面ACD的一個法向量

設霽=久€(0,1)貝lJMN=(1—x)AP=2-2x,AN=xAD=V2x

AM=(0,V2x,2-2x),AC=(V2,V2,0)

設4Q=(a,b,c)是平面ACM的一個法向量

ab

fflllCAQ-AM=y[2xb+(2-2x)c=0.f=-

則｛r-r--?(V2X.

AQ-AC=y/2a+>/2b=0c=^ib

令b=2x—2,則AQ=(-2x+2,2x-2,V2x),它背向二面角

又?..平面ACD的法向量AP=(0,0,2),它指向二面角

這樣，二面角M-AC-D的大小為60°

APQ

即cosAP,AQ='^--[2缶=cos600=-

|4P||?，<?I2-J(-2+2X)2+(2-2X)2+(V2X)22

即x=4-2V3

；?滿足要求的點M存在，且霽=4-2次

【考點】直線與平面垂直的判定，與二面角有關的立體幾何綜合題，用空間向量求平面間的夾角

【解析】【分析】(1)推導出ABLAC,AP1AC,AB1PC,從而ABJ_平面PAC,進而PALAB,由此能證明

PAL平面ABCD；(2)以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法

7

能求出在線段PD上，存在一點M,使得二面角M-AC-1)的大小為60°,為=4-2百.

19.新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是50歲以上人群.該病毒進入人

體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到他人的可

能性越高.現(xiàn)對400個病例的潛伏期(單位：天)進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2,方差為2.252.

如果認為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下面的列聯(lián)表：

年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏

50歲以上60220

50歲及50歲以下4080

(1)是否有95%的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；

(2)假設潛伏期X服從正態(tài)分布NO，/),其中〃近似為樣本平均數(shù)已/近似為樣本方差s2.

(i)現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性；

(ii)以題目中的樣本頻率估計概率，設1000個病例中恰有k(k€N*)個屬于“長期潛伏”的概率是p(k),

當k為何值時，p(k)取得最大值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.10.050.010

上02.7063.8416.635

若6~7(出。2),貝-cr<f<〃+c7)=0.6862,P(〃-2<r<f<〃+2(r)=0.9544,P0-3(r<f<〃+

3a)=0.9974.

400X(60X80-220X40)2

【答案】(1)依題意有K2=x6.35

280x120x100x300

由于6.35>3.841,故有95%的把握認為“長期潛伏”與年齡有關;

(2)(i)若潛伏期X?N(7.2,2.252),

由P(X>13.95)=匕詈，=0.0013,

得知潛伏期超過14天的概率很低，因此隔離14天是合理的；

(ii)由于400個病例中有100個屬于長潛伏期，

若以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是；，

于是P(k)=臉。0?(y?G)iooo-k,

則P(k)=>。。(/(」。。。-*

P(k-1)—苗育?16。。^'

_4oo_')!_',1001_])

-3c而—3fc!(1000-k)!-3I〃)'

當0<k<等時，1；

當1221<kW1000時，<1；

4P(k-1)

8

，p(l)<p(2)<…<p(250),p(250)>p(251)>…>p(1000).

故當A=250時，p(fc)取得最大值.

【考點】獨立性檢驗的基本思想，二項分布與n次獨立重復試驗的模型，正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表

Z5的意義

【解析】【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算K口的值，對照臨界值表中的數(shù)據(jù)，即可得到答案；

(2)(i)利用正態(tài)分布,結合小概率事件進行判斷即可；

(ii)先求出個患者屬于“長潛伏期”的概率，然后利用二項分布的概率公式，再利用作商法判斷單調(diào)性，

即可得到答案.

20.已知橢圓E:冬+'=l(a>b>0)的離心率為I,且橢圓上的點到其右焦點F的最遠距離為3.

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)當直線I(斜率不為0)經(jīng)過點F,且與橢圓E交于4,B兩點時，問x軸上是否存在定點

P,使得x軸平分4PB?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)???橢圓的左頂點到右焦點距離最遠

/.Q+C=3

:離心率為\

a2

聯(lián)立解得：Q=2,C=1

/.62=a2—c2=3

橢圓E的標準方程為：［+1=1

43

(2)x軸上存在點P(4,0),使得x軸平分ZAPB

理由如下：假設x軸上存在點P(m,0),使得x軸平分ZAPB

設直線/：x=ny+l,與=+?=1聯(lián)立可得：

(3n2+4)y2+6ny-9=0

設，B(x2,y2)

則%+丫2=一品，%'2=一高

由題意得：ZAPF=ZBPF

??k^p+k^p=0

即=o

xt-mx2-m

化簡得：2幾+(1-M)(y1+J/2)=0

把%+為=-品，=一高代入，得：

—18n—6n+6mn

F=0

3n2+4---3n2+4

9

化簡得：(―4+m)九=0

???直線I的斜率變化，且斜率不為0

/.-4+m=0

/.m=4

，x軸上存在點P(4,0),使得x軸平分/APB

【考點】橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的綜合問題

【解析】【分析】(1)由題意得：a+c=3,￡=；，解得a,c,由b2=a2-c2,即可得出橢圓E的

a2

標準方程；

(2)假設x軸上存在點P(m,O),使得x軸平分ZAPB,

設4%，%)，/如先)，

設直線I：x=ny+1,與—+^-=1聯(lián)立可得：(3/+4)產(chǎn)+6ny—9=0,利用韋達

黑一：；

定理即可得+y2=-34，%丫2=3“+4，得k4P+kBP=0，化簡得(-4+m)n=0,

進而得出答案。

21.已知函數(shù)/(%)=x2lnx+?(a6R)在x=1處的切線與直線久一y+2=0平行

(1)求實數(shù)a的值，并求/(%)的極值;

(2)若方程/(x)=m有兩個不相等的實根xx,x2-求證：xf+xj>|-

【答案】⑴函數(shù)/(x)的定義域為(0,+河，,(x)=2xlnx+x-/,

由題意知f(1)=1—a=1,Aa=0.

:./(%)=2x\nx4-%=x(21nx4-1),令/(%)=0,則％,

當xe(0,f)時，/(%)<o；xe(f,+8)時，/(%)>o.

f(x)的極小值為度)=_,

22

(2)由(1)知/(%)=xlnx,由/(%!)=/(x2)=m得，x121nxi=&lnx2

即2/21nxi=2X221nx2，

2222

所以巧\nxr=x2lnx2.

,??/H冷，不妨設<x2

令G=2?h=x22?2(t)=￡ln￡(￡>0)

則原題轉化為/i(t)=2m有兩個實數(shù)根匕，￡2(G<J)，

//f

又/(t)=1+Int,令力(t)>0,得t>e-1；令/(t)<0,得tVe-1,

???4(t)在(0,?T)上單調(diào)遞減，在(eT,+8)上單調(diào)遞增，

又tt0+時，/5(t)->0,2(1)=0,=-e-i,

10

-1

由/t)圖象可知，-eT<2m<0,0<tj<e<t2<1.

設9?)=次t)-咤-t)=tint-(j-t)ln(j-t),tG(0,i)

則g'(t)=(Int+1)-[-ln(j-t)-1]=2+ln[t(|-t)].

當0<t<：時，t(j-t)=-(t-；)2+^<^，則g'(t)<0

???5(t)在(0，)上單調(diào)遞減.

又"5(|)=妃)一妃一3=0

???te(0,i)時，g(t)>0,得到9(幻=4?1)一火：一口)>0，即火0)>/：一匕)，

又""(G)=力?2)，二〃?2)>-C1)，

又0<G<},則:-G>￡,且1>t2>：，/t)在C，+8)上單調(diào)遞增，

—22

t2>|>SPtj+t2>j,BP+x2>|.

【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

【解析】【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，求出a的值，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進

而求出/(X)的極值；

222

(2)由(1)知f(x)=x\nx,由/(%i)=/(x2)=m得，x1\nx1=x2lnx2，令S=

f

%i2,t2=x22,/?=tlnt(t>0),則原題轉化為力(t)=2m有兩個實數(shù)根tr,t2(i<J)，

求導可得力(t)的單調(diào)性，數(shù)形結合可得0<Q<亡2<1，設g?)=/?)-〃(：一￡)=丹9一

(j-t)ln(|-t)，求導可得g⑷的單調(diào)性，tE(0,i),進而證得詔+以o

22.在直角坐標系xOy中，直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點。為極點，x軸

非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為.

廠S1M6+3

(1)求曲線C的直角坐標方程和直線I的普通方程：

(2)已知點P(l,-1),直線I與曲線C交于A.B兩點，求焉.

【答案】(1)由,得2x+y—1=0,

即直線I的普通方程為2%+y-l=0.

22

由Q、得psin0+3P2=12?

廠sin2e+3廣廣

因為y=psind,/+y2=p2,

所以3/+4y2=12,

故曲線c的直角坐標方程為1+1=1.

43

(2)直線I的參數(shù)方程為{yVLi+2t(t為參數(shù))，

11

x=

化為標準形式｛:左t為參數(shù))，

4.2V5

y=-i+—f

代入3/+4y2=12，得