2022年云南省昆明市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年云南省昆明市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫(huà)掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合A={1,2,6},B=[2,4},C={\,2,3,4},則(AUB)AC=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=l-3i,則2(l-i)=()

A.-2-4zB.4-2ZC.-2+4/D.4+2/

如果:與「共線且方向相反，則機(jī)的值為（

3.(5分)設(shè)向量a=(m,1)?b=(1,m),)

A.-1B.1C.-2D.2

4.（5分）命題p：V.rGR,7+1>0,命題q：30eR,sin20+cos20=1.5,則下列命題中真命

題是（）

A.p[\qB.fpt\qC.-'pVgD.pALq）

5.（5分）已知函數(shù)/（x）的圖像如圖所示，則/（尤）的解析式可以是（）

A.7'。)=弊B./(%)=?

1

C-D.f(x)=x--

6.（5分）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日在北京開(kāi)幕.為保證冬奧會(huì)順利進(jìn)行,

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組委會(huì)需要提前把各項(xiàng)工作安排好.現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

務(wù)，若甲去兩天，乙去三天丙和丁各去一天則不同的安排方法有（）

A.840種B.140種C.420種D.210種

7.（5分）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120。的扇形AO8,C是該小區(qū)的一個(gè)出

入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD己知某人從。沿0。走到。用了2分鐘，

從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑

的長(zhǎng)度為（）

Od

A.50^5B.50V7C.50VHD.50719

8.（5分）已知小、〃為兩條不同的直線，a、0為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A.若機(jī)_La,則〃〃a

B.若加_La,且a〃0,則"?_L〃

C.若mua,〃ua且則a〃0

D.若直線機(jī)、〃與平面a所成角相等，則加〃〃

9.（5分）已知直線/：工+廠1=0將圓C/+），2-2￥-4）葉1=0分為例，N兩部分，且M

部分的面積小于N部分的面積.若在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在M部分的概率為（）

111331

A.-B.---C.-D?一—一

442n4427r

10.（5分）已知函數(shù)/（x）滿足/（1+x）+f（l-x）=0,且/（-X）=f（x）,當(dāng)

時(shí)，f（x）=2r-1,則了（2021）=（）

A.-1B.0C.1D.2

11.（5分）2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！

為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫

扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金500萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%.每年年底扣

除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資

金達(dá)到800萬(wàn)元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為（）（單位：萬(wàn)元，結(jié)果精確

到萬(wàn)元）（參考數(shù)據(jù)：1.2%2.07,1*2.49）

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A.83B.60C.50D.44

x2y2

12.（5分）已知橢圓=+77=I（。>8>0）的右焦點(diǎn)為尸（c,0）,上頂點(diǎn)為4（0,b）,

標(biāo)bz

fj2TTT

直線k色上存在一點(diǎn)P滿足（FP+FA）?>!0=（）,則橢圓的離心率取值范圍為（）

A.[^,>1）B.[-^>1）C.[―^―->1）D.（0,~^\

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知雙曲線C；捺-，=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為

4,且焦距為10,則該雙曲線的漸近線方程為.

14.（5分）己知sina-cosa=&（0<a<ir）,則tana的值是.

15.（5分）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝

品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4遮的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正

方體的中心重合），若其中一個(gè)載面圓的周長(zhǎng)為4m則該球的表面積為.

16.（5分）關(guān)于函數(shù)/（久）=3sin（2x-§,下列結(jié)論正確的有個(gè).

①函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于直線犬=巖對(duì)稱；

②函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（卑，0）對(duì)稱；

5TC

③函數(shù)/（X）在區(qū)間（-各—）內(nèi)是增函數(shù)；

71

④函數(shù)fCx）的圖像是函數(shù)y=3sin2x的圖像向右平移I個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.

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三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛斯｝滿足即+i=2n

(1)證明：數(shù)列｛翳｝是等差數(shù)列.

(2)令bn=an+n,求數(shù)列｛b｝的前〃項(xiàng)和

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18.（12分）某科研機(jī)構(gòu)為了研究喝酒與糖尿病是否有關(guān)，對(duì)該市3名成年男性進(jìn)行了問(wèn)卷

調(diào)查，并得到了如下列聯(lián)表，規(guī)定“平均每天喝100,地以上的”為常喝.已知在所有的

（II）已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有兩名老年人，其余為中年人，現(xiàn)從常喝酒且

有糖尿病的這6人中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

參考公式及數(shù)據(jù)：心（■黑扁方）,ka+出海.

P（片20.150.100.050.0250.0100.0050.001

如）

履2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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19.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-AiBiCiOi中，E、F分別是棱8C、CCi上的點(diǎn)，CF

=AB=2CE,AB：AD：AAi=l：2：4,AB=\.

(I)證明：AnL平面AiED；

(ID求二面角Ai-ED-F的余弦值.

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20.(12分)已知函數(shù)/(x)=-ex2-nix+lnx.

(I)當(dāng)。=6=1,8=0時(shí)，f(X)在定義域上單調(diào)遞增，求機(jī)的取值范圍；

(II)當(dāng)。=°=0,b=l時(shí)，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)xi，X2，求證：XI+X2>2.

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21.(12分)已知曲線C：y=y,。為直線)，=一±上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)

分別為A，B.

(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).

(2)若以E(0,|)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的

方程.

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（二）選考題：共10分?？忌鷱?2、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

（%=1+與

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線/的參數(shù)方程為,一］T'（r為參數(shù)），

以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為P=

2cos0+4sin0.

（I）寫(xiě)出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（II）直線/與曲線C相交于A,8兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸（1,0）,^\PA\+\PB\.

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［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(x)=|2x+l|-k-II-

(1)解不等式/(x)<2；

(2)若不等式(x)+伏-l|+|2x-3|有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

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2022年云南省昆明市高考理科數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合A={1,2,6},B={2,4),C={1,2,3,4},則(AUB)CC=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

解：?.,集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},

(AUB)AC={1,2,4,6}0{1,2,3,4}={1,2,4).

故選：B.

2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=l-3i,則2(l-i)=()

A.-2-4/B.4-2/C.-2+4/D.4+2/

解：；z=l-3i,；.z的共軌復(fù)數(shù)是2=l+3i,

/.z(l-i)=(l+3i)(1-j)=1-i+3i-3i2=4+2i.

故選：D.

3.(5分)設(shè)向量a=(m,1),6=(1,m~),如果a與b共線且方向相反，則m的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

解析：因?yàn)橄蛄恐c3共線且方向相反，

故由共線向量定理可設(shè)之=Xb(A<0),

即{：二上解得加=±1,

由于入VO,-1,

故選：A.

22

4.(5分)命題p：VAWR,/+1>0,命題/30GR,sin0+cos0=1.5,則下列命題中真命

題是()

A.p/\qB.fpMqC.~"p\/qD.p/\Lq)

解：命題p：由于對(duì)已知VxWR,720,則/+i2i>o,

則命題p：/+1>0,為真命題，為假命題；

命題夕：由于對(duì)V9ER,sin20+cos20=l,

則命題q：30GR,si/e+cos2eu1.5為假命題，夕為真命題.

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則pAg、fp'q、為假命題，p\Lq)為真命題.

故選：D.

5.(5分)已知函數(shù)/(x)的圖像如圖所示，則/(x)的解析式可以是()

A.〃乃=弊B.7(x)=Y

C，(x)=良一1D./(x)=X--

解：根據(jù)題意，用排除法分析：

對(duì)于B,fCx)=",當(dāng)X>0時(shí)，f(x)>0,與圖象不符，

對(duì)于C,=妥一1,其定義域?yàn)?W0},有f(-x)=于Qx),為偶函數(shù)，與圖象

不符；

對(duì)于￡),f(x)=x-：，其定義域?yàn)閧x^WO},當(dāng)xf+8時(shí)，f(x)f+8,與圖象不符;

故選：A.

6.(5分)第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日在北京開(kāi)幕.為保證冬奧會(huì)順利進(jìn)行,

組委會(huì)需要提前把各項(xiàng)工作安排好.現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

務(wù)，若甲去兩天，乙去三天丙和丁各去一天則不同的安排方法有()

A.840種B.140種C.420種D.210種

解：由已知，甲的安排方法為行，乙的方法為磨，剩余的兩天安排丙丁有掰種方法，

故共有C>廢?掰=420.

故選：C.

7.(5分)如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出

入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CZX已知某人從。沿0。走到。用了2分鐘，

從。沿著OC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑

的長(zhǎng)度為()

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C.50V1TD.50g

解：設(shè)該扇形的半徑為，?米，連接co.

由題意，得CD=150（米），00=100（米），ZC￡）O=60°,

在△C￡>0中，CEr+OD1-2CD'OD-cos600=O8

即，1502+1002-2XI50X100x*=r2,

解得r=50夕（米）.

8.（5分）已知m、”為兩條不同的直線，a、0為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A.若m-Ln9則〃〃a

B.若"?_La,〃〃口且（x〃0,則m_L〃

C.若mua,〃ua且相〃0,〃〃仇則a〃0

D.若直線“、〃與平面a所成角相等，則加〃〃

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如圖可否定C；

9.(5分)已知直線/：x+y-l=O將圓C：7+y2-2x-4yH=0分為M,N兩部分，且M

部分的面積小于N部分的面積.若在圓C內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在M部分的概率為()

111331

A.-B.---C.-D.---

442n4427r

解：圓C：-2x-4y+l=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x-1)2+(y-2)2=4,

所以圓C的圓心C(l,2),半徑為廠=2,

直線/：x+y-I=0,

點(diǎn)C到直線/的距離為d=5=魚(yú)，

設(shè)直線/與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,

故力B=2Vr2-d2=2V2,

所以NACB=90°,

1

故SM=,S圓-S&ACB=兀-2，

則該點(diǎn)落在M部分的概率為:"=-=

S圓4714271

故選：B.

10.(5分)已知函數(shù)fG)滿足f(1+x)-x)=0,且f(-x)=/(x),當(dāng)1WXW2

時(shí)，f(x)=2X-1,貝I]/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

第14頁(yè)共24頁(yè)

解:v/(l+x)4/(1-x)=0,

：.f(1-x)=-/(1+x),

：.f(-x)=-f(2+x)

又'"(-x)—f(x),

：.f(x)=-f(x+2),即/(x+2)=-f(x),

：.f(x+4)=j[(x+2)+2]=-/(x+2)=f(x),

：.T=4,

：.f(2021)=/'⑴=2-1=1.

故選：C.

11.(5分)2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！

為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫

扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金500萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%.每年年底扣

除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資

金達(dá)到800萬(wàn)元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為()(單位：萬(wàn)元，結(jié)果精確

到萬(wàn)元)(參考數(shù)據(jù)：1.24^2.07,1.2562.49)

A.83B.60C.50D.44

解：設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為x萬(wàn)元，

則1年后投入再生產(chǎn)的資金為：500(1+20%)-x,

2年后投入再生產(chǎn)的資金為：[500(1+20%)-x](l+20%)-x=500(l+20%)2-(1+20%)

X-X,

5年后投入再生產(chǎn)的資金為：

500(1+20%)5-(1+20%)(1+20%)3》-(1+20%)2》-(1+20%)x-x=800,

12^—1

故一------%=500x1.25-800,解得x、60.

1.2-1

故選：B.

x2y2

12.(5分)已知橢圓=+々=1(。＞人＞0)的右焦點(diǎn)為尸(00),上頂點(diǎn)為A(0,b),

a2b2

直線上存在一點(diǎn)P滿足(而+E1)-G=O,則橢圓的離心率取值范圍為()

A.弓，1)B.＞1)C.[―-2—，1)D.(0,

第15頁(yè)共24頁(yè)

Q2TTTTTQ2Q2

解：設(shè)P(-,y)f由(尸P+FA)-AP=0,則FP+FA=(——c,y)+(-c")=(——2c,

ta2

y+/?),AP=(——，y~/?),

c

TTTQ22

所以由(EP+凡4)TP=0,可得：(一-2c)-—+(y+b)(y-b)=0,

cc

Q4

口J得：——2?2-/;2=-y2^0,整理可得：o'-2a2c2-(a2-c2)dWO,即e'-sJ+iw

cz

0,

3-V52

23+75

解得:——<e<

2~-2~

即造二-一店+1

2

V5-1

由于橢圓的離心率小于I,所以丁

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知雙曲線C：(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為

4,且焦距為1。，則該雙曲線的漸近線方程為」=±gx—.

解：?.?雙曲線C；(a>0,b>0),

漸近線方程為.y=±\x,

由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)y=\x,

?.?焦距為10,

:.右焦點(diǎn)、為(5,0),

\5b\

?..R=%解得I,

,漸近線方程為〉=±&兀

4

故答案為：)=±可X.

14.(5分)已知sina-cosa=迎(0<a<n),則tana的值是-1

解：Vsina-cosa=V2sin(a—5)=V2,

/.sin(a—=1,

VaG(0,ii),

第16頁(yè)共24頁(yè)

??。一4一2，即。一彳，

則tana=-1.

15.（5分）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝

品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為48的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正

方體的中心重合），若其中一個(gè)載面圓的周長(zhǎng)為4m則該球的表面積為647r.

解：由于球心和正方體的中心重合,

BC=**4V3=2V3,

所以球的半徑R=AB=J22+（28片=4,

故S以=4?7T-42=647r.

故答案為：64n.

16.（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）=3sin（2x-9,下列結(jié)論正確的有①②③個(gè).

①函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于直線工=袈對(duì)稱；

②函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（等，0）對(duì)稱；

③函數(shù)/（X）在區(qū)間（一%—）內(nèi)是增函數(shù)；

1■412

7T

④函數(shù)/（%）的圖像是函數(shù)），=3sin2x的圖像向右平移I個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.

解：由于當(dāng)x=E^時(shí)，f（x）=3?sin（2x=3?sin*=-3,是函數(shù)的最值,

第17頁(yè)共24頁(yè)

故函數(shù)/(九)的圖象關(guān)于直線工=淺對(duì)稱；故①正確.

由于當(dāng)x=爭(zhēng)寸，/(x)=3*sin(2x學(xué)一號(hào))=3?simr=0,故函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)

,0)對(duì)稱；故②正確；

C-Jr"rrC-rr

在區(qū)間(一各—)上，(-*-),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(一各—)上是增

函數(shù)，故③正確；

把函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移二個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)f(x)=3sin(2xV)的圖象，

故④錯(cuò)誤，

故答案為：①②③.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛%｝滿足a.1=弛靖竺?.

(1)證明：數(shù)列｛簧｝是等差數(shù)列.

(2)令bn=a〃+〃,求數(shù)列｛與｝的前w項(xiàng)和S”.

(1)證明：依題意，由冊(cè)+1=互喘君■,可得

(n+l)ana

-----------n-+--1-=------n-+I，

2n+12n

..1以1.

卞

,數(shù)歹U｛翳｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

-h=\+n-1=〃,

2n

n

：.an=2f尤N*.

(2)解：由(1)知，bn~。〃+幾=〃+2”.

S〃="+b2+…

=(1+21)+(2+22)+…+(〃+2”)

=(1+2+—+n)+(2'+22+—+2n)

一n(n+l)?2-2計(jì)1

第18頁(yè)共24頁(yè)

18.(12分)某科研機(jī)構(gòu)為了研究喝酒與糖尿病是否有關(guān)，對(duì)該市3名成年男性進(jìn)行了問(wèn)卷

調(diào)查，并得到了如下列聯(lián)表，規(guī)定“平均每天喝100〃也以上的”為常喝.已知在所有的

4

30人中隨機(jī)抽取1人，患糖尿病的概率為二.

常喝不常喝合計(jì)

有糖尿病6

無(wú)糖尿病18

合計(jì)30

(I)請(qǐng)將如表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為糖尿病與喝酒有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(II)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有兩名老年人，其余為中年人，現(xiàn)從常喝酒且

有糖尿病的這6人中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

參考公式及數(shù)據(jù)：片=回需燃Ea.

P(犬20.150.100.050.0250.0100.0050.001

區(qū))

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴30x會(huì)4=8,

故糖尿病患者總計(jì)有8名，其中常喝酒的有8-2=6名,

2X2列聯(lián)表如下:

常喝不常喝合計(jì)

有糖尿病628

無(wú)糖尿病41822

合計(jì)102030

9

30x(6x18—2x4)

：2?8.523>7.898,

■K-10x20x8x22-

...有99.5%的把握認(rèn)為糖尿病與喝酒有關(guān).

(2)由題意可知，常喝酒且有糖尿病的6人中恰有2名老年人，則中年人為4人,

現(xiàn)從常喝酒且有糖尿病的這6人中隨機(jī)抽取2人，

第19頁(yè)共24頁(yè)

故恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率p=姿=微.

cf)

19.(12分)如圖，在長(zhǎng)方體ABCQ-AiBiCiQi中，E、F分別是棱BC、CCi上的點(diǎn)，CF

=AB=2CE,AB：AD：M=l：2：4,AB=1.

(I)證明：AF_L平面AiE￡＞；

(II)求二面角Ai-ED-F的余弦值.

(/)證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB=\,

3

則D(0,2,0),F(1,2,1),Ai(0,0,4),E(1,一，0).

2

I1

zo3T

D=xf-

2,一，4),FD=(-1,0,-1).

2

于是=-1-3+4=0,AF-ED=-1+1=0.

因此，AFLEA\,AFVED.

又E4inE￡>=E,."凡L平面AiED；

(//)解：設(shè)平面EF。的法向量能=(x,y,z),

則？號(hào)=一％一：=°,取z=-1.可得￡=(1,2,-1),

n?ED=—x+2y=0

由(1)可知，族為平面AiE￡)的一個(gè)法向量,

T7n-AF4

于是cosVn,AF>=

I1-1I-很―3'

2

???二面角A\-ED-F的余弦值為3

第20頁(yè)共24頁(yè)

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=*d+9-CJ?-mx+lnx.

(I)當(dāng)。=c=l,。=0時(shí)，，f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求相的取值范圍；

(II)當(dāng)a=c=0,b=l時(shí)，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)xi，X2,求證：XI+X2>2.

【解答】(I)解：易知函數(shù)/G)的定義域?yàn)?0,+8),

由題意知函數(shù)/(x)=?-mx-^lnx,

所以/(x)=4-2%-〃?+亍N0在(0,+8)上恒成立，

即/nWf-M+l在(0,+8)上恒成立，

令函數(shù)g(x)=x3-2x+(x>0),

貝l]g'(x)=3/-2—.=3X4%21=QN+yj),

所以當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<l時(shí)，，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

則當(dāng)X=1時(shí)，g(X)取得最小值，即g(X)min=g(1)=0,

故mWO.

(II)證明：由題意的f(x)=/3-nvc+lnx(x>0),

令f(x)=-m+；=0,得m=%2+p

設(shè)函數(shù)6(x)=p+i(x>0),

則人(xi)=h(A2),且函數(shù)人(x)在(，+8)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減,

不妨設(shè)X1<X2,所以0Vxi<l〈X2，

令函數(shù)H(x)=h(尤)-h(2-尤)，xG(0,1),

第21頁(yè)共24頁(yè)

則H'QX)__吃+2--3=2-=巴曰/［空￥上1,

x(2-x)zX2(2—X)(2x—x2)

所以函數(shù)”(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

又H(1)=0,故H(x)>/7(1)=0恒成立，

則力(x)>/?(2-%)對(duì)(0,1)恒成立，

因?yàn)?<用<1,所以力(用)>/?(2-xi),即〃(X2)>h(2-Xi),

又X2>1,2-加>1且函數(shù)〃(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以X2>2-XI，即Xl+X2>2.

2i

21.(12分)已知曲線C：y=號(hào)Y，。為直線)=—或上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)

分別為A,B.

(1)證明：直線A8過(guò)定點(diǎn).

(2)若以E(0,|)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段A8的中點(diǎn)，求該圓的

方程.

1

(1)證明：設(shè)。(八一2)'A('1')")’則"J=2y「

yi+^

由于y'=x,.,.切線D4的斜率為xi,故----=x,

%1-亡t

整理得：2ai-2yi+l=0.

設(shè)3(必)2)，同理可得2比2-2)>2+1=0.

故直線AB的方程為2tx-2y+l=0.

1

???直線A3過(guò)定點(diǎn)(0,-)；

⑵解：由(1)得直線AB的方程y=fx+*.

(y=5+5

由彳％?，可得7-2a-1=0.

(7遙

于是+&=23yi+%=￡(%1+%2)+1=2/+1.

設(shè)M為線段4B的中點(diǎn)，則MG,t2+1),

由于向而E%=(t,12一2),幾與向量(1,力平行，

./