六章平面向量及其應(yīng)用課時(shí)余弦定理

數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6．4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)余弦定理01預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)02探究案講練互動(dòng)03自測(cè)案當(dāng)堂達(dá)標(biāo)04應(yīng)用案鞏固提升學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理．2.能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題．1.邏輯推理：余弦定理的推導(dǎo)．2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理求解三角形的邊、角等問題平方平方的和余弦的積的兩倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2.三角形的元素與解三角形(1)三角形的元素一般地，三角形的________________和它們的______________叫做三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的________求其他____的過程叫做解三角形．三個(gè)角A，B，C對(duì)邊a，b，c幾個(gè)元素元素1．若已知三角形的三邊，能否解此三角形？提示：能，利用余弦定理的推論．2．已知三角形的三個(gè)角能不能解三角形？提示：不能．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理針對(duì)直角三角形的一個(gè)特例．(

)(2)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及夾角的情況．(

)(3)已知三角形的三邊求三個(gè)內(nèi)角時(shí)，解是唯一的．(

)(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，則∠A為銳角．(

)√×√√√√√探究點(diǎn)1已知兩邊及一角解三角形[問題探究]已知三角形的兩邊及其一角，三角形的其他元素是否唯一確定？探究感悟：不一定唯一，當(dāng)已知兩邊及其夾角時(shí)，是唯一的，當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，如已知a，b，A，可用a2＝b2＋c2－2bccosA求解c，可能有兩解．√√已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次方程求解．(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．√√已知三角形的三邊解三角形的方法先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦定理的推論求出第二個(gè)角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角．[注意]若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為“已知三邊解三角形”的問題．√√探究點(diǎn)3判斷三角形的形狀[問題探究]在△ABC中，若a2<b2＋c2，則△ABC是銳角三角形嗎？若b2＋c2<a2，則△ABC為鈍角三角形嗎？探究感悟：當(dāng)a2<b2＋c2時(shí)，因?yàn)椤鰽BC中A不一定是最大角，所以△ABC不一定是銳角三角形．當(dāng)b2＋c2<a2時(shí)，△ABC一定是鈍角三角形．整理，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.所以a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形．利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑(1)化邊的關(guān)系：將條件中的角，利用余弦定理化為邊的關(guān)系，再變形條件判斷．(2)化角的關(guān)系：將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷．1．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形解析：在△ABC中，因?yàn)锳＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c.結(jié)合A＝60°可得△ABC一定是等邊三角形．故選D.√2．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀是(