2020-2021學年北師大版 七年級數(shù)學下冊試題 第五章生活中的軸對稱 習題

《生活中的軸對稱》習題

一、選擇題

1.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

3.下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（）

5.如圖，在△45。中，ZC=90°,AC=BC,AD平分/CAB交BC于D,DELAB于

E,若AB=6cm,則△頌的周長是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

6.如圖，49是△4%的角平分線，DELAB于E,已知△48。的面積為28.47=6,

DE=4,則的長為（）

-------------D-----------。

A.6B.8C.4D.10

7.如圖，△/比中，AB=Q,AC=4,AD平分/BAC,DE工AB于點、E,皿47于點

F,DE=2,則即的長為（）

A.3B.4C.5D.6

8.如圖，4。是中N歷IC的角平分線，DE工AB于點E,8這=24,DE=4,AB

=7,則47長是（）

9.如圖：在△/比中，45和47的垂直平分線分別交比于點〃、E,且點〃在點￡

的左側(cè)，BC=6cm,則龍的周長是（）

A.3c/nB.12cmC.9cmD.6cm

10.如圖，在RtA/J^C中，NC=90°,AC=3,BC=4,AB的垂直平分線交BC

于點〃連接49,則切的周長是（）

B

A.7B.8C.9D.10

11.如圖，在△/阿中，點少在邊47上，原是47的垂直平分線，△4?C的周長

為19,△腔'的周長為12,則線段4?的長為（）

12.如圖，在△力比'中，PM、QV分別是48、4c的垂直平分線，ZBAC=100°那么

/必。等于（）

13.已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40。，則此

等腰三角形的頂角是（）

A.50°B.130°C.50°或140°D.50°或130°

14.如圖，已知AB=AC=BD,則N1與N2的關系是（）

C.Zl+3Z2=180°D.Z1=2Z2

15.如圖，若AB=AC,下列三角形能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是（）

⑴(2)⑶(4)

A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(4)

16.如圖，在第一個中N8=20°,AB=A出,在46上取一點G延長

到A2,使得得到第二個△44。；在4c上取一點D,延長44到4,

使得44=49…，按此做法進行下去，則以點4為頂點的等腰三角形的底

角的度數(shù)為（）

B

A.175°B.170°C.10°D.5°

二、解答題

1.如圖是網(wǎng)格中由五個小正方形組成的圖形，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）

（1）圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；

（2）圖②中，添加一塊小正方形，使之成為軸對稱圖形，且只有一條對稱軸

（畫出一個即可）

圖①圖②

2.如圖，下列4X4網(wǎng)格圖都是由16個相間小正方形組成，每個網(wǎng)格圖中有4

個小正方形已涂上陰影，在空白小正方形中，選取2個涂上陰影，使6個陰

影小正方形組成個軸對稱圖形，請設計出四種方案.

3.如圖，在2X2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.請分別在下列

圖中畫一個位置不同、頂點都在格點上的三角形，使其與△/回成軸對稱圖形.

4.方格紙中每個小方格都的邊長為1的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形

稱為“格點多邊形

圖1圖2圖3

(1)在圖1中確定格點"并畫出一個以力、B、a。為頂點的四邊形，使其

為軸對稱圖形；

(2)在圖2中畫一個格點正方形，使其面積等于10；

(3)直接寫出圖3中的面積是.

5.在七年級我們就學過用一副三角板畫出一些特殊度數(shù)的角.在八年級第二章,

我們學會了一些基本的尺規(guī)作圖，這些特殊的角也能用尺規(guī)作出.下面請各

位同學開動腦筋，只用直尺和圓規(guī)完成下列作圖.

已知：如圖，射線力.

求作：/AOB,使得N/如在射線》的上方，且/月加=45°(保留作圖痕跡，

不寫作法)

.

0A

6.已知：如圖，在△46。中，4CV/6且NC-2N8

(1)用直尺和圓規(guī)作出一條過點火的直線1,使得點。關于直線的對稱點落

在邊4?上(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)設(1)中直線/與邊回的交點為以請寫出線段4?、AC,切之間的數(shù)

量關系并說明理由.

7.如圖，△48C中，AB=3,AC=4,BC=5.

備用圖

(1)試用直尺和圓規(guī)，在直線4?上求作點只使△胸為等腰三角形.要求：

①保留作圖痕跡；②若點尸有多解，則應作出所有的點八并在圖中依次標注

R、2、心…；

(2)根據(jù)(1)求為的長(所有可能的值)

8.如圖，已知AABCIACVABVBC),請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)，按下列要求

作圖(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)：

(1)在邊比上確定一點R使得必+/T=」%；

(2)作出一個△必尸，使得：①△龐尸是直角三角形；②△〃臣的周長等于邊

&1的長.

A

C

9.茅坪民族中學八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的40,B0\

40桌面上擺滿了桔子，如桌面上擺滿了糖果，站在。處的學生小明先拿桔子

再拿糖果，然后回到。處，請你在下圖幫助他設計一條行走路線，使其所走

的總路程最短？

10.如圖，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執(zhí)勤小隊從1處出發(fā),

先到公路加上設卡檢查，再到公路〃上設卡檢查，最后再到達8地執(zhí)行任務,

他們應如何走才能使總路程最短？畫出圖形并說明做法.

11.如圖，點。是//班內(nèi)部一點，現(xiàn)有一只螞蟻要從月的出發(fā)，先到力，再到

OB,最后返回到點R請作出螞蟻爬行的最短路徑（要求：保留作圖痕跡，不

寫作法.)

12.如圖直線4表示一條河的兩岸，豆1、〃卜,現(xiàn)要在這條河上建一座橋.橋

建在何處才能使從村莊力經(jīng)過河到村莊8的路線最短？畫出示意圖，并說明

理由.

B.

-------------------------------12

A

13.在△4?，中，ZBAC=a,點、D,點后在反:上，連接49,AE.

(1)如圖，若a=120°,BA=BE,CA=CD,求的度數(shù);

(2)若為=應,EA=EC,直接寫出/的￡=(用a的式子表示).

14.如圖，△力6c中，AE=BE,ZAED=AABC.

(1)求證：BD平分/ABC；

(2)若AB=CB,/AED=4/EAD,求/。的度數(shù).

D

15.已知：在△力6。中，N6=NGD,6分別是線段6C,47上的一點，且/〃=

AE,

（1）如圖1,若/為490°,。是8C中點，則N2的度數(shù)為；

（2）借助圖2探究并直接寫出N1和N2的數(shù)量關系.

圖1圖2

16.數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：

例1等腰三角形中，N力=110°,求N8的度數(shù).（答案：35°）

例2等腰三角形4%中，N4=40°,求N8的度數(shù).（答案：40°或70°或

100°）

張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下兩題：

變式1：等腰三角形力6c中，ZA=i00°,求N6的度數(shù).

變式2：等腰三角形/比中，NZ=45°,求N8的度數(shù).

（1）請你解答以上兩道變式題.

（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，N力的度數(shù)不同，得到N8的度數(shù)的個數(shù)也可能

不同.如果在等腰三角形4&'中，設N4=x°,當N夕只有一個度數(shù)時，請你

探索X的取值范圍.

17.在△力比中，16=/。，點〃是比的中點，點￡是/〃上任意一點.

(1)如圖1,連接應'、CE,則應1=05'嗎？說明理由；

(2)若/為片45°,施'的延長線與力C垂直相交于點夕時，如圖2,BD=^AE

嗎？說明理由.

圖1圖2

18.如圖，等腰△/6G點〃、E、夕分別在比、AB、47上，且/BAC=/ADE=/

ADF=(50°.

(1)在圖中找出與相等的角，并加以證明；

(2)若46=6,BE=m,求：(用含力的式子表示).

E,

BD

19.如圖，在△力6。中，AB=AC,ZBAC=10Q°,BD平分/ABC,且BD=AB,連

接相、DC.

(1)求證：ZCAD=ZDBC；

(2)求/即。的度數(shù).

(1)如圖1,將力〃、比延長，延長線相交于點0：

①求證：BE=AD-,

②用含a的式子表示/月切的度數(shù)(直接寫出結(jié)果)；

(2)如圖2,當a=45°時，連接加、AE,作磯止于〃點，延長MC與BD

交于點反求證：/V是切的中點.

21.△46。，直線"交于〃，交短于E,將△力應沿施折疊，使力落在同一

平面上的4'處，的兩邊與眼、B的夾角分別記為Nl,Z2.

(1)如圖①，當"落在四邊形應匹C內(nèi)部時，探索NZ與N1+N2之間的數(shù)

量關系，并說明理由.

(2)如圖②，當H落在4。右側(cè)時，探索/力與Nl,N2之間的數(shù)量關系,

并說明理由.

22.如圖(1),△力比1是一個三角形的紙片，點。、￡分別是△/比邊上的兩點，

研究(1)：如果沿直線膜折疊，則與的關系是.

研究(2)：如果折成圖2的形狀，猜想NE%'、Z.CEA'和//的關系，并說

明理由.

研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想/被4'、ACEA）和N4的關系，并說

明理由.

23.圖形在折疊過程中會形成相等的邊和相等的角，下面是同學們在數(shù)學課上所

做的三角形、四邊形折疊實驗，請根據(jù)實驗過程解決問題：

問題（一）

如圖①，一張三角形力8。紙片，點。、￡分別是△45C邊上兩點.

研究（1）：如果沿直線比'折疊，使力點落在四上，則/物'和//的數(shù)量

關系是;

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想N&Z4'、ZCEA'和的數(shù)量關系

是;

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想/應W、ACEA'和N/的數(shù)量關系,

并說明理由.

問題（二）

研究（4）：將問題（一）推廣，如圖④，將四邊形/靦紙片沿"折疊，使

點力、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時，Z1+Z2與N44B之間的數(shù)量關系

是.（直接寫出結(jié)論）

B

B

24.發(fā)現(xiàn)（1）如圖1,把△46。沿施折疊，使點4落在點"處，請你判斷/1+

Z2與/月有何數(shù)量關系,直接寫出你的結(jié)論,不必說明理由

思考（2）如圖2,BI平分/ABC,CI平分4ACB,把△力比折疊，使點/與點

/重合，若Nl+N2=100°,求N3/C的度數(shù);

拓展（3）如圖3,在銳角△力阿中，物147于點F,CC4?于點G,BF、CG

交于點〃，把△/比折疊使點力和點〃重合，試探索與/1+N2的關系，

并證明你的結(jié)論.

答案

一、選擇題

1.B.2.D.3.C.4.A.5.46.BLC.8.D.

9.D.10.411.C.12.〃.13.〃.14.415.5.16.〃.

二、解答題

1.解：（1）如圖①所示：即為所求；

3.畫對任意三種即可.

4.解：（1）如圖1所示:

圖2

△RW的面積=矩形4底的面積-△加切的面積-△，掰的面積-△R%的面

積

=5X6-lxiX3-yX3X5-yX4X6

=9

故答案為：9.

5.解：如圖所示，N4如即為所作.

(2)線段46、AC,切之間的數(shù)量關系為：AB=AC+CD.

理由：由題可得，AE=AC,/CAD=/EAD,AD=AD,

：./\ACD^/\AED(SAS),

：.DE=CD,4AED=4C=2/B,

又：/AED=/我/BDE,

：./B=/BDE,

:.BE=DE=CD,

又*:AB=AE+BE,

：.AB=AC+CD.

(2),：AB=?>,AC=4,BC=5.

:.AE+AG=Bg,

...△4%為直角三角形，ZBAC=90°,

當CP\=CB時，

■:CALBP、,

：.APl=AB=3；

當BP尸BP產(chǎn)BC=5時，

//=3+5=8；

"尸跖-48=5-3=2；

當時，

設則

在RtZSA47中，/+42=（戶3）2,解得矛=工，

6

即仍=工.

6

綜上所述，力〃的值可能為2、3、8、1.

6

8.解：（1）如圖，作的垂直平分線，交比于點只則點月即為所求;

（2）如圖，①在%'上取點。，過點。作優(yōu)'的垂線，②在垂線上取點后使龍

=DB,連接比；③作尾的垂直平分線交加1于點6

，Rt△頌即為所求.

9.解：①分別作點。關于以、如的對稱點是KN,

②連接MN,分別交力于。，0B于E.

則C-C為所求的行走路線.

10.解：如圖所示，分別作46關于公路山、〃的對稱點/、B',連接/

B'交加、〃于"、/V兩點，連4伙BN,則4-止即為最短路線.

連接〃P"與OA、如交于點K/V,

則螞蟻爬行的最短路徑為：

PmMN^PN=Pm州P"N=P'P".

12.解：如圖，先確定44'與河等寬，且44'，河岸，連接胡'，與河岸的

交點就是點C過點。作切垂直河岸，交另一河岸于點〃，切就是所求的橋

的位置.

理由：由作圖過程可知，四邊形/物'為平行四邊形，/〃平移至，。即可

得到線段/B,兩點之間，線段最短，由于河寬不變，切即為橋.

13.解：(1)'：BE=BA,

：.ABAE=/BEA,

：.Z5=180°-2/BAE,①

;CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

：.ZC=180a-2ACAD,②

①+②得：Z^ZC^360°-2QBAE+/CAD)

.*.180°-乙必8360°-2[(/BW/DAE)+QDAE。CAE)],

一N為4180°-2[{ABAI>ADAEVACAE^+ZDAE\,

-N創(chuàng)4180°-2(/BAC+/DAE),

，2/%￡=180°-ZBAC.

"：ZBAC=12Q0,

：.2ZDAE=180°-120°=60°,

：.ZDAE=30°,

(2),:DA=DB,EA=EC,

"DAB=/B,Z.EAC=Z.C,

又在△/阿中，ZB+ZC=180°-ZBAC=180°-a,

：.ZDAB+ZEAC=ZB+ZC=7Q°,

：.Z.DAE=^BAC-(乙DABMEAC)

=a-(180°-a)=2a-180°.

故答案為：2a-180°.

14.(1)證明：AAED=AABC,/AED=/AB吩4EAB,ZABC=AABE+ZDBC,

?.NEAB=2DBC,

'：AE=BE,

:./EAB=/ABE,

：.4DBC=/ABE,

:.BD平分/ABC;

(2)設/EAD=x,則N4&?=4x,

'：ZAED=ZABE+ZEAB,ZEAB=ZABE,BD平分/ABC,

：.4BAE=2x,/ABC=4x,

：.ABAC=Zx,

,:AB=CB,

：.ABAC=AC,

：.ZC=3x,

VZABC+ZBAC+ZC-180°,

，4x+3x+3x=180°,

解得,x=18°,

/.Z<7=3^=54°,

即NC的度數(shù)是54°.

15.解：(1)ZAED=ZCDE+ZC,ZADC=ZB+ZBAD,

\AD=AE,

：./AED=/ADE,

VZ5=ZC,/BAC=90°,〃是比中點，

.?./為。=45°,

/.ZB+ZBAD=ZEDC+ZC+ZCDE,

即N物〃=2/儂，

AZ2=22.5°；

(2)ZAED=ZCDE+ZC,ZADC=AABAD,

,：AD=AE,

：./AED=2ADE,

\'AB=AC,

N8=NC,

/./B"BAD=/EDC+/C+/CDE,

典/BAD=2/CDE,Z1=2Z2.

16.解：（1）變式1：VZ/l=100°,

N4只能為△45。的頂角，

?.?△/仇?為等腰三角形，

：.ZB=ZC=^X（180°-100°）=40°；

2

變式2：若N4為頂角，則N8=（180°-ZA）4-2=67.5°；

若為底角，N6為頂角，則N6=180°-2X45°=90°；

若/月為底角，N6為底角，則N6=45°；

故N8=67.5°或90。或45°；

（2）分兩種情況：

①當90WxV180時，NZ只能為頂角，

二/夕的度數(shù)只有一個；

②當0VxV90時，當x=60時，等腰三角形45C是等邊三角形，

...N6的度數(shù)只有一個，

...當N8只有一個度數(shù)時，請你探索x的取值范圍為90WxV180或60.

17.解：（1）成立.

理由：：力6=4C,〃是優(yōu)1的中點，

：.ZBAE=ZCAE.

，AB=AC

在△/跖和△業(yè)芯中，（/BAE=NCAE,

AE=AE

:.△ABE^XACE（弘S）,

:.BE=CE；

（2）成立.

理由：：乙必、45°,BF^AF.

二△力跖為等腰直角三角形

：.AF=BF,

由（1）知AD工BC,

"EAF=/CBF

'/EAF=/CBF

在△/緒和△66F中，JAF=BF，

ZAFE=ZBFC

，△的陰△aF(ASA),

:.AE=BC,

■：BD=^BC,

2

:.BD=LAE.

2

18.解：(1)結(jié)論：/BDE=/DAC.

理由：'：AB=AC,NBAC=60°,

比是等邊三角形，

/.Z<7=60°,

?/ZADB=Z3+ZADE=Zl+ZC,/ADE=/C=60°,

(2)如圖，在DE上截取DG=DF,連接47,

比是等邊三角形，

\ZJ3=ZC=6Q°,

：ZADE=ZADF=6Q°,AD=AD,

,.△/〃儂(SAS),

,.AG=AF,Z1=Z2,

/Z3=Z1,

\Z3=Z2

/Z^=60°+Z3,N/〃=60°+Z2,

\4AEG=AAGE,

\AE=AG,

\AE=AF=6-m.

19.證明(1)'：AB=AC,/為4100°

：.ZABC=ZACB=40°

■:BD平分/ABC

二/加=/龐。=20°

"：BD=AB

：.ZADB=ZDAB=80°

：.ZCAD=20°

"CAD=/DBC

(2)延長/〃到點反使得/￡=87,

'：BD=AB=AC,ACAD=ADBC,

:.△DBC^XCAE,

：.CD=CE,4BDC=4ACE,

：.ZCDE=ACED=a,

'：ZADB=80°,

)應=100°

：.ZBDC=ZACE=1QQ°+a,

.,.20°+100°+a+a=180°,

，a=30°,

：.ZBDC=130°.

20.M：(1)①："="，CD=CE,ZCAB=ACED=a,

，N力行=180°-2a,ZZ?CF=180°-2a,

，ZACB=ADCE,

二AACB-ADCB=ADCE-/DCB,

/.AACD=/BCE,

'AC=BC

把叢ACD和叢BCE中，|NACD=NBCE，

DC=CE

:.△ACD^XBCE(SIS),

：.BE=AD',

②?：MAC噲XBCE,

：.ZCAD=ZCBE=a+ZBAO,

,：ZABE=ZBOA+ZBAO,

：.ACBE+a=ZBOA+ABAO,

：./BASa+a=ZBOA+ZBAO,

(2)如圖2,作BPIMN交初V的延長線于P,作DQLMN于Q,

NBCK乙BCA=NCA%NAMC,

?/ZBCA=AAMC,

：.ABCP=ACAM,

'AC=BC

在△物與中，，NBPC=/AHC，

ZBCP=ZCAM

：./\CBP^/\ACM(AAS\

：.MC=BP,

同理，CM=DQ,

：.DQ=BP,

'BP=DQ

在△"V與△〃QV中，，NBNP=/DNQ，

ZBPC=ZDQN

：.ABP24DQN(AAS),

:.BN=ND,

是物的中點.

21.解：(1)2N4=N1+N2.理由如下：

如圖①.+ZAEA'+ZADA'=360°,

又%'+Z2+ZAEA'=360°,

ZA+ZA'=Z1+Z2,

又力=/，，

.*.2ZJ=Z1+Z2；

(2)2ZJ=Z1-Z2.理由如下：

如圖②，設的'交4C于點丘

：N1=N4+N"孔ADFA=AA'+Z2,

二/1=NZ+N/'+Z2,

AA+ZA'=Z1-Z2,

：△小應是由沿直線應折疊而得，

Z/l=Z.A',

.*.2ZJ=Z1-Z2.

22.解：(1)ABDA'=24；

故答案為：ABDA'=2/4

(2)ABDA'+ZCEA'=2N4

理由：在四邊形4Z4'￡中，AA+ADA'E+ZADA'+ZA'￡4=360°

：.ZA+ZDA'6=360°-/ADA'-ZA'EA

'：ABDA'+ZADA'=180°,ACEA'+ZA'￡4=180°

：.ABDA'+ZCEA'=360°-ZADA'-ZA'EA

：.ABDA'+ZCEA'=ZA+ZDA'E

施是由龐沿直線應折疊而得

：.^A=^DA'E

：.Z.BDA'+N6E4'=2ZA；

(3)ABDA'-ACEA'=24

理由：〃4'交〃1于點R

VABDA'=/A+/DFA,/DFA=/A'+4CEA'

：.ABDA'=//+//+Z.CEA'

：.ABDA'-ACEA'=N4+N/

應是由沿直線應折疊而得

:./A=/DA'E

："BDA'-ACEA'=2/4

23.解：（1）;根據(jù)折疊的性質(zhì)可知N〃4'E=Z