四川省天府名校2024屆高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

四川省天府名校2024屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中．“階幻方”是由前個(gè)正整數(shù)組成的—個(gè)階方陣，其各行各列及兩條對(duì)角線所含的個(gè)數(shù)之和（簡(jiǎn)稱幻和）相等，例如“3階幻方”的幻和為15（如圖所示）．則“5階幻方”的幻和為（）A．75 B．65 C．55 D．452．已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．23．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是偶函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）4．二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1605．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A． B．1 C．2 D．36．點(diǎn)為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．9．在棱長(zhǎng)為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點(diǎn)，又P、Q分別在線段、上，且，設(shè)平面平面，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．平面 B．C．當(dāng)時(shí)，平面 D．當(dāng)m變化時(shí)，直線l的位置不變10．已知定義在上的函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的最大值為，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．12．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)，則__________；__________.14．二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.15．若復(fù)數(shù)z滿足，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是______.16．銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，直線為曲線的切線（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.19．（12分）已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，成等差數(shù)列，且，求a的值．20．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線存在與軸垂直的切線，求的取值范圍.（2）當(dāng)時(shí)，證明：.21．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積．22．（10分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時(shí)選擇戴口罩，在一項(xiàng)對(duì)人們霧霾天外出時(shí)是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

計(jì)算的和，然后除以，得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】由題意或4，則，故選B．3、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，即可得到的單調(diào)區(qū)間，利用對(duì)稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上遞增，所以要使，則有，變形可得，解可得：或，即的取值范圍為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。4、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開式的通式，是基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，故，也即，化簡(jiǎn)得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長(zhǎng)為2，所以內(nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.7、B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點(diǎn)，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

利用換元法設(shè)，則等價(jià)為有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，求出的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由即，解得，結(jié)合圖象可知，此時(shí)當(dāng)時(shí)，得，則是唯一解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小值為，結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí).綜上所述：或.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.9、C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個(gè)分析即可.【詳解】因?yàn)?所以,因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn),所以,所以,因?yàn)槊婷?所以.選項(xiàng)A、D顯然成立；因?yàn)?平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以,所以B項(xiàng)成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項(xiàng)不成立.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.10、D【解析】

先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到，比較三個(gè)數(shù)的大小，然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)，是增函數(shù).因?yàn)椋院瘮?shù)是奇函數(shù)，所以有，因?yàn)椋瘮?shù)在時(shí)，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期，即故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.12、D【解析】

連接，，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，在等腰中，取的中點(diǎn)為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、01【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入即可求解.【詳解】函數(shù)，所以，.故答案為：0；1.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出，由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，從而得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】由題意，．展開式通項(xiàng)為，由得，∴常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．15、【解析】

先求得復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.【詳解】，，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模，是基礎(chǔ)題.16、【解析】

由余弦定理，正弦定理得出，從而得出，推出的范圍，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的范圍，再利用二倍角公式化簡(jiǎn)，即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡(jiǎn)得又為銳角三角形，則，，.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)，然后利用導(dǎo)數(shù)等于求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入兩個(gè)曲線的方程，解方程組，可求得；（2）設(shè)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而，然后利用求得的取值范圍為.試題解析：（1）對(duì)求導(dǎo)得．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，解得，所以的值為1．（2）記函數(shù)，下面考察函數(shù)的符號(hào)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，，從而．∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．，∴，又曲線在上連續(xù)不間斷，所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知唯一的，使．∴；，，∴，從而，∴，由函數(shù)為增函數(shù)，且曲線在上連續(xù)不斷知在，上恒成立．①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立，記，則，當(dāng)變化時(shí)，變化情況列表如下：

3

0

極小值

∴，故“在上恒成立”只需，即．②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，綜合①②知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)．故實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式.【方法點(diǎn)晴】函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中，和切線有關(guān)的題目非常多，我們只要把握住關(guān)鍵點(diǎn)：一個(gè)是切點(diǎn)，一個(gè)是斜率，切點(diǎn)即在原來函數(shù)圖象上，也在切線上；斜率就是導(dǎo)數(shù)的值.根據(jù)這兩點(diǎn)，列方程組，就能解決.本題第二問我們采用分層推進(jìn)的策略，先求得的表達(dá)式，然后再求得的表達(dá)式，我們就可以利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具來求的取值范圍了.18、（Ⅰ）直線的直角坐標(biāo)方程為；曲線的普通方程為；（Ⅱ）.【解析】

（I）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（II）將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程，可得，而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】由可得直線的直角坐標(biāo)方程為由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)可得曲線的普通方程為.易知點(diǎn)在直線上，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，并整理得.設(shè)是方程的兩根，則有.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.19、（1），（2）【解析】

（1）利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡(jiǎn)得，故可求其周期與單調(diào)性；（2）根據(jù)圖像過得到，故可求得的大小，再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積，最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可．【詳解】（1），最小正周期：，由得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由可得：，所以．又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以而，．20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）在上有解，，設(shè)，求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，得到答案.（2）證明，只需證，記，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值，得到證明.【詳解】（1）由題可得，在上有解，則，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn)，所以.（2）由，所以，要證明，只需證，即證.記在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn)，，則，故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，證明不等式，意在考查學(xué)生的綜合