四川省遂寧市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷含解析

四川省遂寧市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向右平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位C．向左平移個(gè)長度單位 D．向左平移個(gè)長度單位2．若雙曲線：繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)后可得某一函數(shù)的圖象，則的離心率等于（）A． B． C．2或 D．2或3．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件4．如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn)，且，，則（）A． B．C． D．5．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．6．存在點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．9．如圖在一個(gè)的二面角的棱有兩個(gè)點(diǎn)，線段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于棱，且，則的長為（）A．4 B． C．2 D．10．設(shè)，則復(fù)數(shù)的模等于()A． B． C． D．11．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為（）A． B．C． D．12．在很多地鐵的車廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個(gè)坐位的寬度()，每個(gè)座位寬度為，估計(jì)彎管的長度，下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校初三年級共有名女生，為了了解初三女生分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計(jì)了所有女生分鐘“仰臥起坐”測試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)），并繪制了如下頻率分布直方圖，則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生有_____________個(gè)．14．己知函數(shù)，若關(guān)于的不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球，丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球，且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里，共有________種不同的放法.16．已知，為虛數(shù)單位，且，則=_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.18．（12分）中，內(nèi)角的對邊分別為，.（1）求的大??；（2）若，且為的重心，且，求的面積.19．（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）為了響應(yīng)國家號召，促進(jìn)垃圾分類，某校組織了高三年級學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答隨機(jī)抽出男女各20名同學(xué)的問卷進(jìn)行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.（Ⅰ）由以上數(shù)據(jù)繪制成2×2聯(lián)表，是否有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)？男女總計(jì)合格不合格總計(jì)（Ⅱ）從上述樣本中，成績在60分以下（不含60分）的男女學(xué)生問卷中任意選2個(gè)，記來自男生的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設(shè)，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）已知在ΔABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB（1）求b的值；（2）若cosB+3sin

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】，所以要的函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長度單位得到，故選D2、C【解析】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，所以或，由離心率公式即可算出結(jié)果.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為，又雙曲線的焦點(diǎn)既可在軸，又可在軸上，所以或，或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.3、A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

連接，根據(jù)題目，證明出四邊形為平行四邊形，然后，利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接，由，知，四邊形為平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問題，屬于基礎(chǔ)題5、B【解析】

由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號，然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選：【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項(xiàng)，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.6、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由程序語言依次計(jì)算，直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過程為當(dāng)n=2時(shí)，時(shí)，，此時(shí)輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】

由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長可求．【詳解】解：，，，，，，．，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．10、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡,再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

設(shè)，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設(shè)，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

為彎管，為6個(gè)座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對的圓心角，再利用弧長公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個(gè)座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長所以是最接近的，其中選項(xiàng)A的長度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出，再求出分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.【詳解】解：，.則分鐘至少能做到個(gè)仰臥起坐的初三女生人數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由此不等式對任意的恒成立，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而建立不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，顯然此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，不等式即為，在上恒成立，，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題，屬于常規(guī)題目．15、【解析】

討論裝球盒子的個(gè)數(shù)，計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí)：種；當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí)：種；當(dāng)兩個(gè)盒子有球時(shí)：種.故共有種，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.16、4【解析】

解：利用復(fù)數(shù)相等，可知由有．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）1【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設(shè)，分別求得，和的長，運(yùn)用三棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】（1）四邊形為菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）設(shè)，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，，菱形的邊長為1．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用線面垂直轉(zhuǎn)化，考查三棱錐的體積的求法，考查化簡運(yùn)算能力和推理能力，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．18、（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為，分析運(yùn)算即得解；（2）由為的重心，得到，平方可得解c,由面積公式即得解.【詳解】（1）由，由正弦定理得C，即∴∵∴，又∵∴（2）由于為的重心故，∴解得或舍∴的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.19、（1），，.（2）填表見解析；在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)（3）詳見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表，再用的計(jì)算公式運(yùn)算即可；（3）獲獎(jiǎng)的概率為，隨機(jī)變量，再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，，因?yàn)闃?gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，，.（2）獲獎(jiǎng)的人數(shù)為人，因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎(jiǎng)的文科生有6人，所以獲獎(jiǎng)的理科生有人，不獲獎(jiǎng)的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)61420不獲獎(jiǎng)74306380合計(jì)80320400所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).（3）由（2）可知，獲獎(jiǎng)的概率為，的可能取值為0，1，2，，，，分布列如下：012數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（Ⅰ）填表見解析，有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果”有關(guān)；（Ⅱ）分布列見解析，【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖填寫列聯(lián)表，計(jì)算得到答案.（Ⅱ），計(jì)算，，，得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可得：男女總計(jì)合格101626不合格10414總計(jì)202040，故有95%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷結(jié)果””有關(guān).（Ⅱ）從莖葉圖可知，成績在60分以下（不含60分）的男女學(xué)生人數(shù)分別是4人和2人，從中任意選2人，基本事件總數(shù)為，，，，012.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.21、(1)(2)【解析】

（1）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)的形式，分類討論，分別求得解集，綜合可得結(jié)論．（2）把f（x）去絕對值寫成分段函數(shù)，畫出f（x）的圖像，找出利用條件求得a的值．【詳解】（1）時(shí)，.當(dāng)時(shí)，即為，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.綜上，的解集為.（2）.，由的圖象知，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題22、（1）b=32【解析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將sinAsinC轉(zhuǎn)化為ac，于是可以求出