2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,拋物線y=「啟—*與x相交千點(diǎn)A、點(diǎn)B(4,0),與y軸交千點(diǎn)C直線

y=咚+4經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.點(diǎn)P是第?象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)若乙PCB=乙DCB,翔PCD的面積；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作直線111x軸，過(guò)點(diǎn)P作PH上1T一點(diǎn)H,悌CPH繞點(diǎn)C順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H'恰好落在直線CD上，同時(shí)使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'恰好落在坐

?拋物線y=—扣+bx+c過(guò)點(diǎn)B(4,0)、C

-8+4b+c=0解得?b=1

0+0+C=4.|fC=4

：.拋物線解析式為y=—；Hx+4

(2)如圖1,直線CP與x軸交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)D作DE..ICB于點(diǎn)E,交直線CP千點(diǎn)F,

連接BF.

:.乙CED=乙CEF=90°

SBCDE與6CFE中

LDCE=LFCE

CE=CE

LCED=LCEF

：.6CDE蘭6C吒(ASA)

:.DE=FE,即BC垂直平分DF

:.BD=BF

笫1頁(yè)共17頁(yè)

?:B(4,O),C(O,4)

:.OB=OC

：.乙OBC=45°

..乙CBF=乙OBC=45°

：.乙DBF=90°

4

，.當(dāng)y=.x+4=0時(shí)，解得：x=3

：.O(3,0)

:.BF=BD=4-3=1

：.F(4,1)

設(shè)直線CF解析式為y:虹+4

:.4k+4=1解得：k=

4

:?直線CP:y=-%x+4

L3,解得：：

當(dāng)y=O時(shí)，一7+4=0x=)

161()7

占G(,0),DG=-3=一

3

3,

y=-x+4

解得：住二：，即點(diǎn)C),(：:：\

1,

一/22+x+4

11

一)

8

1149

----?''僅'—

Pcl>SCDG-SlPDG=^DG?OC-]DG?yp=^DGOC-YP)=七X號(hào)X可

49

:.6PCD的面積為一.

16

(3)@若點(diǎn)P落在y軸匕如圖2,

?:6CPH繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)律CPH\H在直線CD上

:.乙PCH=^LPCH'

?:乙0€8=乙80?=45。

乙OCB-乙0。4=乙8。4?乙PCH

即乙DCB=ZLPCB

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711

由（2）可得此時(shí)點(diǎn)P

28

@）若點(diǎn)P落在x軸上，如圖3,過(guò)點(diǎn)口作MN上x軸千點(diǎn)M,交直線1千點(diǎn)N

:?四邊形OCNM是矩形

:.MN=OC二4,

?:oD=3,乙COD=90。

CD=OC2+0滬=5

:.sin乙OCD=。^=3cos乙OCD=耍

CD5'CD5'

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（p,一：廬+p+4）（0<p<4）

:,cH=CH=p,P'H=PH=4-c-我+6+45=屎-P

?:MNI/y軸

占乙CHN=乙OCD

:.R6CNH中，cos乙CHN=CH^--5

44

:.NH'=i5CH=i5P

:.MH=MN-NH=4■"歲

.：乙PMH三LP'H'C=90。

：乙PTTM+乙CHN=乙PH'M+LHPM=90c

:?乙HP'M=乙CHN

l\/iI_I?<>

:.R6H'P'M中，sinLH'P'M=

E=5

_3

.4-p一—

??扣~p-S

解得：Pl=-4（舍去），p2=岑

.1?5010J6

"p''+p+4=一可+了+4=可

,,711,_1016

綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（一，一）或（一，一）.

2839

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y

AI?|pMD'

i圖

圖2

圖1

2.若：次函數(shù)y=a,?+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交千點(diǎn)A(3,0)、B(0,-2),且過(guò)

點(diǎn)C(2,-2).

(1)求一次函數(shù)表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且SIP8A=4,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上(AB卜一方)是否存在點(diǎn)M,使乙ABO=ZLABM?若存在，求出點(diǎn)M到

y軸的距離若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(I)?次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)、B(O,-2)、C(2,-2)

笫4頁(yè)共17頁(yè)

2

9a+3b4-c—0a=3

0+0+c=-2解得：，

b

4a+2b+c=-2=-l

'C--2

:.二次函數(shù)表達(dá)式為y=4--

x-2

33

(2)如圖1,記直線BP交x軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)P作PDL.x軸于點(diǎn)D

設(shè)p(t,于一柒2)(t>3)

33

：.QD=t,PD三3產(chǎn)一;J2

設(shè)直線BP解析式為y=kx-2

OA

把點(diǎn)P代入得：kt-2=—3t-2

24

:?直線BP:尸（??甲x-2

243

當(dāng)y=O時(shí)，（JL&）X-2=0,解得：x=—￡

淞（上，O）

t-2

?:t>3

:.t-2>1

3

：?一<3,即點(diǎn)N-定在點(diǎn)A左側(cè)

t-2

3

.\AN=3-一三3（t-3）

t-2-t-2

?:S下8/\=$兇BN+S內(nèi)111

NP=2AN?OB+2AN*PD=2AN（OB+PD）=4

.」，3（t-3）,）+20一4J2）=4

-2七一N??33

rf=?4,t2=-1（舍去）

：產(chǎn);<2=旱一孕一2=莘

10

:?點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,-）

(3)在拋物線上(AB下方)存在點(diǎn)M,使乙人80=乙人80

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如圖2,作點(diǎn)0關(guān)千直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E,連接0E交AB于點(diǎn)G,連接BE交拋物線于

點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)E作EF上y軸于點(diǎn)F

:.AB垂直平分OE

:,BE=OB,OG=GE

：.乙ABO=乙ABM

?A(3,0)、B(O,-2),乙A0B=90。

:.OA=3,OB=2,AB=寸一0爐+0B2=退

08

二sin乙OAB二=亟,cos乙OA氏d343

AB—13AB13

11

■:SAOB=)oA?OB=,AB?OG

OA-OB611i

:.OG=

AB13

12平

:.QE=20G=

13

.：乙OAB■乙人06=乙人06+乙BOG=90。

乙OAB=zLBOG

位/嗎cos乙BOG=小

:.RtD.OEF中，sin乙BOG二

OE13OE13

:向=壟243平36

OE=OF='OE=

1313,1313

:.E(乃36)

13113

設(shè)直線BE解析式為y=ex-2

把點(diǎn)E代入得:24365

—e-2=心，蟀得=

13-12

—日x-2

..直線BE:y=

當(dāng)52411

當(dāng)-&x-2=1f-------2,解得:xl二0（舍去),

X2=8

11II

:.點(diǎn)M橫坐標(biāo)為一，即點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為一.

88

補(bǔ)充方法：第（2）小問(wèn)過(guò)點(diǎn)P作x的垂線與直線BA交千點(diǎn)C,用角形PCB的面積減

去三角形PCA的面積等千4直接求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

第（3）用一線三等角相似直接求出點(diǎn)E的坐標(biāo)了（過(guò)點(diǎn)A作直線FE的垂線段，記垂足

為H,連接AE,三角形AHE和三角形EFB相似）.

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3..如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線?=^2+2'^x-｛與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)

C:‘3

A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交千點(diǎn)C,點(diǎn)D為y軸正半軸上?點(diǎn).且滿足OD=:*OC,連

3

接BD,

(1))如圖1,點(diǎn)P為拋物線上位于x軸下方一點(diǎn)，連接PB,PD,當(dāng)S”FBD最大

時(shí)，連接AP,以PB為邊向上作通BPQ,連接AQ,點(diǎn)M與點(diǎn)

N為直線AQ上的兩點(diǎn)，MN=

2且點(diǎn)N位于M點(diǎn)下方，連接DN,求DN+MN+*的最小值

2AM

(2)如圖2,在第(I)間的條件下，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,將6BOE繞著點(diǎn)A

匹_2厄

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得即B'O'E,將拋物線y="x2+幽著射線PA方向平

33'x'(

移，使得平移后的拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,此時(shí)拋物線C與x軸的右交點(diǎn)記為點(diǎn)F,連接

E'F,B'F,R為線段E，F(xiàn)上的一點(diǎn)，連接B'R,將6B'E'R沿蓿B'R翻折后與

6B'E'F重合部分記九B'RT,在平面內(nèi)找個(gè)點(diǎn)S,使得以B，、R、T、S為頂點(diǎn)

的四邊形為矩形，求點(diǎn)S的坐標(biāo).

笫7頁(yè)共17頁(yè)

05

解：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DD'HMN,且DD'=MN=2,連接DM;過(guò)點(diǎn)D作DJ.ly

軸千點(diǎn)J

作直線AP,過(guò)點(diǎn)M作MH..1AP千點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)D作DK..1AP于點(diǎn)K

-fer2',2^

?:y=xTx-=0n

33

解得：x1=-3,功1

:.A(-3,O),B(LO)

?:x=0時(shí)，廠第x2+—=—祁

：.CCO,-),oc=

22萬(wàn)25

:.QD=jOC=T?D(O,了一)

范〒,2范

設(shè)p(t,一----t)(-3<t<1)

33

設(shè)直線PB解析式為y二虹+b,與y軸交于點(diǎn)G

k+b=。k=范

曇_s2沁云解得：jk=t+

kt+h，3t+一3_V3卜=_坐一百

范療.療

:.直線PB:y=(—t+)x-了t4，G(0,---------1-)

―33

:范范5范

3(—一｛)=^t+-3-

：11

,SBPD=SBDG+S1DG?DG?(xn-xp)1范范(1-t)

(一1十---)

PDG=2DG頃4~芽回=p2,33"

厄…，

=-----(P+4t-5)

6

4

:.t=-2=?2時(shí)，Se:.BPD最大

:.P（?2,一療），直線PB解析式為排■蔓一，直線AP解析式為y=-｛和?3

33

笫8頁(yè)共17頁(yè)

tan乙ABP=IYpl_范=范

陽(yáng)一Xpl―1+2--3

：.乙ABP=30°

■:6BPQ為等邊三角形

:.乙PBQ=60。，BP=PQ=BQ

:.BA平分乙PBQ

:PQ上x軸，PQ與x軸交點(diǎn)[為PQ中點(diǎn)

沁(-2,戲)

_________QI-J3

占R6AQ1中，tanLQA]=..—-(—13

乙QA1=乙PA/=60°

:.乙MAH=180。-LPAI-LQAT=60°

?MH±AP千點(diǎn)H

:,R6AHM=90°,SmLMAH^=~

AM2

?:DD'IIMN,DD'=MN=2

.四邊形MNDIM平行四邊形

占D'M=DN

范

:.DN+MN+2AM=2+D'M+MH

'D'KJ,AP千點(diǎn)K

范

:?當(dāng)點(diǎn)D'、M、H在同?直線上時(shí)，DN+MN+二AM=2+D'M+MH=2+D'K最短

2范

'.'DD'HMN,D(O,—)

3

：.乙DD1=30。

，DJ=c.DDr=LDJ=5DD=邁

D'(l,)

3

?乙PA/二60°,乙ABP=30°

:.乙APB=180°-乙PA1?乙ABP=90°

PBIID'K

笫9頁(yè)共17頁(yè)

設(shè)直線D'K解析式為y=^x+d,

3

把點(diǎn)D，代入得：一范+~=砒一

33

解得d=

茬4萬(wàn)

:?直線DK:y=x+3

把直線AP與直線D'K解析式睥競(jìng)得:

.1/i13(I

小('丁，了)

:.D'K=J(I尋*令"二芋

￡_121I?￡

：,DN+MN+.AM的最小值為<

2o

(2))連接BA、BB；EA、E'A、EE,如圖2

?點(diǎn)C(0,—{)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E

占E(O,../3)

OE_范

tan乙EAB=—=一

OA-3

：.乙EAB=30°

?拋物線C由拋物線C平移得到，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E

—古

:.設(shè)拋物線C解析式為：「子x2+mx+石，

'.'A(-3,O),P(-2,-,./3),E(O,范)，B(1,O),

:.BEIiPA,BE=PA,

占拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0),

:?.范一x9-3m+../3=0

3

-4萬(wàn)

解得m-3

:.拋物線C解析式為：y=片2巡x+打

3x3

...范1+/疝*+../3=0,解得XI=-3,x2=-1

33

第10頁(yè)共17頁(yè)

.'.F(-1,O)

?他BOE繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得至6B'O'E'

:.乙BAB-乙EAE=60°,AB'=AB=I-(-3)=4,AE=AE=奴。爐+OE2=

扣+(哥=2療

:.6ABB'、6AEE是等邊三角形

:.乙￡人8=乙￡人￡+乙EAB=90。,點(diǎn)B'在AB的垂直平分線上

E(-3,2../3),B'(-I,絕)

B'E'=2,乙FB'E=90°,EF=J(-1+3)2+(2哥=4

:.乙B'FE'=30°,乙B'EF=60°

@如圖3,點(diǎn)T在E，F(xiàn)上，乙B，TR=90°

過(guò)點(diǎn)S作SW..1B舊千點(diǎn)W,設(shè)翻折后點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，

：.乙EBT=30。，,./3

■:6B'E'R翻折得B'E"R

:.乙8'6史=乙8舊史=60°,B'E"=B'E'=2

E'T=B'E"-B'T=2-,./3

:.R6RTE，中，R尸范ET=2范一3

?四邊形RTBS是矩形

:.乙SBT=90。，SB'=RT=2..Z3-3

：乙58'\￥=乙587-乙EB'T=60°

.'BW=&SB'=療一，二~理'池SB'=3-§療

1范

五s=xs'-Bl'iV=T石，ys=ys'+SW=3+T

：.s(1--------3,

2

@)如圖4,點(diǎn)T在EF上，乙BRT=90c

過(guò)點(diǎn)S作SX..1BF千點(diǎn)X

1

1

/.ER=2BE=I,點(diǎn)E翻折后落在EF上即為點(diǎn)T

B'S=RT=ER=I

.:乙SB'X=90°-乙RB'F=30°

第II頁(yè)共17頁(yè)

11界范

XS=2B'S=2B'X=yB'S=—

垃s屈+XS=-],ys=ys'-B'X=逑

/13.73

:.S居，了一）

@）如圖，點(diǎn)T在B'F上，乙B，TR=90°

.".RE'IIEB',ZE'=0B'E'R=6O°

:.ZEBE"=ZERE"=I20°

:.四邊形BERE'是平行四邊形

","ER=E"R

.衛(wèi)B'E'RE'是菱形

B'E'=E'R

:.L:.B'E,R是等邊三角形

?乙B'SR=90°,即RS..IB'E

:.點(diǎn)S為BE中點(diǎn)

：.S（-2,2../3）

綜上所述，使得以B，、R、T、S為頂點(diǎn)的四邊形為矩形的點(diǎn)S坐標(biāo)為Ch一/3,3+事

13范

或（----）2-------）或（-2,2范）.

圖5

第12頁(yè)共17頁(yè)

第13頁(yè)共17頁(yè)

4.如圖，AB題0的直徑，點(diǎn)C囿0上?點(diǎn)（與點(diǎn)A,B不重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PQ,

使得乙ACQ乙ABC.

（1）求證：直線PQ是0。的切線.

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD..LPQ于點(diǎn)D,交00千點(diǎn)E,若00的半徑為2,sin乙DAC」工，：

圖中陰影部分的面積.

Q

解：（I）證明：如圖，連接0C,

?:AB就（）的直徑，

：.乙ACB=90°,

1MA=OC,

:.乙?八8=乙八（20.

:.乙CAB+乙ABC=乙ACO+乙ACQ=乙OCQ=90。，即OC上PQ.

上直線PQ是00的切線.

(2)連接OE,

1

?:sin乙DAC=—ADl.PQ,

:.乙DAC=30°,乙ACD=60°.

:.乙ABC=乙ACD=60",

：.乙CAB=90。-60°=30°,

第14頁(yè)共17頁(yè)

：.乙￡人0=乙口人0■乙CAB=60”,

又？OA=OE,

從AEO為等邊.角形，

：.乙AOE=60。.

:.Si；,iS4溝EO

1

=S七一一2