2019年高考全國(guó)1卷理數(shù)試題（試卷版+詳解版）

2019年全國(guó)1卷理數(shù)試題

試題版

解析版

2019年全國(guó)卷I高考理科數(shù)學(xué)試題

1.已知集合加={目-4<%<2},7V={X|X2-X-6<0}，則Mp|N=

A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-2<x<21D.{乂2<%<3}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則

A.(x+l)2+丁=1B.(x-l)2+y2=1

C.x2+(y-l)2=1D.x2+(y+l)2=l

0203

3.已知a=log20.2,b=2-,c=O.2,貝(J

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是息口

2

(苴二LO.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美

2

人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是苴人.若某人滿足上述兩個(gè)黃

2

金分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

cinr4-x

5.函數(shù)-----'在［-兀，兀］的圖像大致為

cosx+廠

6.我國(guó)古代典籍《周易》用隹卜"描述萬(wàn)物的變化.每一"重卦"由從下到上排列的6個(gè)

爻組成，爻分為陽(yáng)爻”——"和陰爻"——"，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取

一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是

7.已知非零向量a,6滿足|a|=2|b|,且(a-b)_L6,則a與6的夾角為

“兀c兀62兀c5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

8.如圖是求一］—的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

CW

（結(jié)束）

B.Z=2+—

A

9.記S“為等差數(shù)列｛??）的前n項(xiàng)和.已知S4=0,%=5,則

A.an=2n-5B.an=3〃-10

C.S“=2〃2一8〃D.S,=-n2-2n

'n2

10.已知橢圓C的焦點(diǎn)為6（-1,0）,瑪（1,0）,過(guò)￡的直線與。交于48兩點(diǎn).若

\AF2\^2\F2B\,|AB\^\8耳I,則C的方程為

2222222

A.J/=1B.二+二=1C.JJD,三+匯=1

2-324354

11.關(guān)于函數(shù)f（x）=sin|x|+1sinx|有下述四個(gè)結(jié)論:

①心）是偶函數(shù)②辦）在區(qū)間（三，兀）單調(diào)遞增

2

③/W在［-兀,用有4個(gè)零點(diǎn)④4M的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.①②④B.②④C.①④D.①③

12.已知三棱錐P-48C的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,是邊長(zhǎng)為2的

正三角形，E,尸分別是PA,國(guó)的中點(diǎn)，NC"=90°,則球。的體積為

A.8痛兀B.4逐兀C.2遍兀D.灰兀

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(/+x)e'在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

14.記S"為等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和.若q=g,4=4，則S=.

15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決

賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為"主主客客主客主".設(shè)甲隊(duì)主

場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:

1獲勝的概率是_______.

x2v2

16.已知雙曲線U:—=1(。＞0,。＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為6,Q,過(guò)G的直線與

a~h-

C的兩條漸近線分別交于力，8兩點(diǎn).若不=麗，耶-E^=0,則C的離心率為

17.(12分)

△ABC的內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求/；

(2)若V2a+6=2c,求sinC.

18.(12分)

如圖,直四棱柱48。＞一4員6。1的底面是菱形，24=4,AB=2,/BAD=60：E,

M./V分別是BC,BBi,4。的中點(diǎn).

(1)證明：例/Vil平面CiDE-,

(2)求二面角4/U41-/V的正弦值.

19.(12分)

3

已知拋物線C：〃=3x的焦點(diǎn)為，斜率為Q的直線/與C的交點(diǎn)為4,8,與x軸的

交點(diǎn)為P.

(1)若|力目+|郎=4,求/的方程；

(2)若麗=3萬(wàn),求M向.

20.(12分)

已知函數(shù)/3=sinx-ln(l+x)，/'(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).證明：

TT

(1)尸(x)在區(qū)間(-1,5)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

21.(12分)

為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物

試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)

選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其

中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)

多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施

以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥

的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為蕭口一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，p：(i=O,l,…,8)表示"甲藥的累計(jì)得分

為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效"的概率，則P0=0,P8=l,

Pi=ap-+bPi+cPi+i(z=l,2,--,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=O),

c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,夕=0.8.

(i)證明：{PM-P,}"=0,1,2,…,7)為等比數(shù)歹D;

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

22.［選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系屹/中，曲線C的參數(shù)方程為1+尸”為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O

4/

kiT?

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

20cose+V^osine+ll=0.

(1)求C和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求。上的點(diǎn)到/距離的最小值.

1.C2.C3.B4.B5.D6.A7.B8.A9.A10.B11.C12.D

二、填空題

13.y=3x14.—15.0.1816.2

三、解答題

17.解：(1)由已知得sin?B+sin?C-sin?A=sinBsinC,故由正弦定理得

b2+c2-a2=bc.

由余弦定理得cosA=::.

2hc2

因?yàn)?°<A<180°,所以A=60°.

(2)由(1?？?=120°-。，由題設(shè)及正弦定理得&sinA+sin(120°—Cj=2sinC,

gp^^+^-cosC+^-sinC=2sinC，可彳導(dǎo)cos(C+60")=一^^.

由于0°<C<120°,所以sin(C+60)=三，故

sinC=sin(C+60o-60°)

=sin(C+60)cos60—cos(C+60jsin60

_V6+V2

一4'

18.解：(1)連結(jié)ME.

因?yàn)槔?，粉別為,8C的中點(diǎn)，

所以胸IIBiC,且-BxC.

2

又因?yàn)榉?〃的中點(diǎn)，所以心；4。.

由題設(shè)知4員4DC,可得81c』4。，WME&ND,

因此四邊形例/V。助平行四邊形，MN\\ED.

又W平面￡OG,所以例/VII平面

(2)由已知可得。.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，礪的方向?yàn)樾挠烧较?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。?%，則

A(2,0,0),4(2,0,4),M(1,瘋2),N(l,0,2)，平=(0,0,T),軻=(—1,62),

而=(-1,0,-2),麗=(0,-6,0).

m-A,M=0

設(shè)機(jī)=(x,y,z)為平面43的法向量，貝!I_

/〃?AA=0

_2z=0,r—

所以//可取機(jī)=(G,i,o),

-4z=0.

n-MN=0,

設(shè)〃=(p,q,r)為平面4例/珀勺法向量，貝叫—.

n-A、N=0.

所以卜”‘：°：可取〃=(2,0,-1).

—〃-2r=0.

mn_2\/3_V15

于是cos〈機(jī),〃〉=

ImHn\2x755'

所以二面角A-MA}-N的正弦值為叵

5

3

19.解：設(shè)直線/:丁二：工+，，4（%，弘），8（工2，%）.

（3\35

（1）由題設(shè)得/以0，故|4加+|跖|3+%+不，由題設(shè)可得為+&=；.

7L乙

'_3_

由）=5'+'，可得9爐+12?—l）x+4/=0,則百+“-1"D.

2o9

y=3x

12(1)5

從而-得

928

37

所以/的方程為y=}x—三.

28

(2)由A戶=3P與可得y=—3%.

-3

y=—x+r

由.2，可得>92-2y+2f=0.

y2=3x

所以y+%=2.從而-3y2+%=2，故%=一1，X=3.

代入。的方程得玉=3,x,=:.

-3

士…m4V13

^\AB|=——.

20.解：(1)設(shè)g(x)=/，(x),則g(x)=cosx———,g'(x)=-sinJC+-1-.

l+x(1+x)

當(dāng)分寸，g'(x)單調(diào)遞減，而g，(0)>0,g，9<0，可得g'(x)在C有

唯一零點(diǎn)，

設(shè)為a.

則當(dāng)xe(T,a)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)時(shí)，g，(x)<0.

所以g(x)在(-1皿)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故g(x)在1-1,幻存在唯

一極大值點(diǎn)，即尸(x)在現(xiàn)存在唯一極大值點(diǎn).

(2)/(x)的定義域?yàn)?/p>

(i)當(dāng)xe(-l,O］時(shí)，由(1)知,尸(x)在(-1,0)單調(diào)遞增,而尸(0)=0,

所以當(dāng)XG(TO)時(shí),f'(x)<0,故/(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，又/(0)=0,從

而x=0是在(-1,0］的唯一零點(diǎn)

(ii)當(dāng)xe/g時(shí)，由(1)知，/'3在(0,。)單調(diào)遞增，在單調(diào)

遞減,而廣(0)=0,/Cj<0,所以存在匹卜,5J，使得/(￡)=0,且當(dāng)

xe(O,￡)時(shí)，f\x)>Q;當(dāng)》《若時(shí)，尸(x)<0.故人力在(0,￡)單調(diào)遞

增，在單調(diào)遞減.

又/(o)=o，/6卜-

>0，所以當(dāng)XG(Oe時(shí)，/a)>0.從而，

/(x)在(0胃沒(méi)有零點(diǎn).

單調(diào)遞減.而/⑶〉。，

(iii)當(dāng)XG工兀時(shí)，/(x)<0，所以/(x)在《，兀

12

/(7t)<0，所以)(X)在色,兀有唯一零點(diǎn).

(iv)當(dāng)xe(兀,+co)時(shí)，ln(x+l)>l,所以/(x)<0,從而/(x)在(兀,+8)沒(méi)有

零點(diǎn)

綜上，/(X)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

21.解：X的所有可能取值為-1,0,1.

p(X=_l)=(l_a)〃，

P(X=0)=3+(1-a)(l一4)，

P(X=l)=a(l_0,

所以X的分布列為

X-I01

P(l-a)Z?a'+(l-a)(|_#)a(l-^)

(2)(i)由(1)得a=0.4,匕=0.5,c=0.1.

因此p,=0.4/?,+0.5/?,.+0.1/?,+1，故0.1(RM-pj=0.4(/?,-Pz),即

〃,+i-一〃1).

又因?yàn)镻i-Po=0產(chǎn)0,所以{pM-Pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項(xiàng)為p、的等

比數(shù)列.

(ii)由(i)可得

48-1

P8=〃8-〃7+〃7一，6+…+P|-Po+P。=(〃8一〃7)+(〃7一〃6)+…+(P/A))=^—Pl

3

由于P8=l,故P|=下一，所以

4—1

44-1

A=(。4-。3)+(〃3-。2)+(〃2")+(。1-。0)=^—四

凡表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為

0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為%=工。0.0039,此

時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理.

22.解：（1）因?yàn)?1＜子《1,且K^1-rY4產(chǎn)

J+/J+(l+r)2=1,所以3勺直角

坐標(biāo)方程為=

/的直角坐標(biāo)方程為2x+百y+11=（）.

x—cosa,

（2）由（1）可設(shè)面參數(shù)方程為..（a為參數(shù)，-兀＜。＜兀）.

y-2sincr

《上的點(diǎn)到I的距離為I2c°sa+2“sina+l”=4網(wǎng)。j+“

SV7

當(dāng)&=時(shí)，4851-撲11取得最小值7,故Ct的點(diǎn)到/距離的最小值為"

2019全國(guó)一卷高考理科數(shù)學(xué)試題解析

1.已知集合“={x|-4<x<2},N={x|Y一》_6<0},則MClN=()

A.{X|-4<X<3}

B.{.X|-4<x<-2}

C.{x|-2cx<2}

D.{x|2<x<3}

C

解析：

由題意可知，N={x[—2<x<3}，又因?yàn)镸^{x\-4<x<2},則

M^N={x\-2<x<2],故選C.

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則()

A.(x+1>+y2=]

B.(x-l)2+y2=1

C.x2+(y-l)2=1

D.x2+(y+l)2=1

C

解析：

.?復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),

.\z=x+yi

:.\x+yi-i\=l

.-.X2+（y-l）2=1

03

3.已知a=log20.2,z,=2°z,c=O.2，則（）

Ka<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.b<c<a

B

解析：

O2

由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知：a=log20.2<0；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：b=2>\,

0<c=0.2°3<1,于是可得到：a<c<8.

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是避」

2

（避」。0.618稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的

2

頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是叵。.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比

2

例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是（)

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

B

解析：

方法一:

設(shè)頭頂處為點(diǎn)A，咽喉處為點(diǎn)8,脖子下端處為點(diǎn)C，肚臍處為點(diǎn)。,腿根處為點(diǎn)后，足

底處為歹,BD=t,=A,

2

根據(jù)題意可知警=力，故=;又AO=A8+8O=(/l+?,—=A,故

BDDF

2+1

DF

2

所以身高〃=4>+。/=包*￡，將2=且匚20.618代入可得4.24/.

22

根據(jù)腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm可得A8<AC,DF>EF；

即力<26,”）>105,將九=吏二1=0.618代入可得40</<42

22

所以169.6<h<178.08,故選B.

方法二：

由于頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度極為接近，故頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度26cm

可估值為頭頂至咽喉的長(zhǎng)度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比是

二1（苴二1。（）.618稱為黃金分割比例）可計(jì)算出咽喉至肚臍的長(zhǎng)度約為42cm;將

22

人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度相加可得頭頂至肚臍的長(zhǎng)度為68cm，頭頂至

肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是縣［可計(jì)算出肚臍至足底的長(zhǎng)度約為110；將頭

2

頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度相加即可得到身高約為178cm,與答案175cm更為接

近且身高應(yīng)略小于178cm,故選B.

sinr4-r

5.函數(shù)/（幻=-------r在［-肛幻的圖像大致為（）

COSX+廠

解析：

sin(-x)—xsinx+x

???/(—X)=

22=-fM,

cos(-x)+(-x)cosx+X"

??J(x)為奇函數(shù)，排除A,

,7171

sin——l——

24+2乃

又>0，排除C,

sinTr+乃_7i

于⑺>0，排除,故選

COS7r+(7ry1+12BD.

6.我國(guó)古代典籍《周易》用"卦"描述萬(wàn)物的變化.每一"重卦"由從下到上由E列的6個(gè)爻

組成，爻分為陽(yáng)爻"-----------"和陰爻"------------",下圖就是一重卦.在所有重卦

中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是（）

解析：

每爻有陰陽(yáng)兩種情況，所以總的事件共有2,種，在6個(gè)位置上恰有3個(gè)是陽(yáng)爻的情況有

uu、1cC：205

種，所以尸=T=—=—

2*66416

7.已知m圈向量海滿足問(wèn)=2%,且,則公與B的夾角為（）

.乃

A.—

6

2〃

C.—

3

5萬(wàn)

D.—

6

B

解析：

設(shè)4與〃的夾角為。，

（a—Z?）。

：.（Q-B）.B=卜|WCOS0_W=0

,-.cos^=-

2

產(chǎn)?

]

8.右圖是求2+—1的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）

2+-

2+A

B.A=2+-

A

C.A=1+—

2A

D.A=--

1+2A

A

解析：

把選項(xiàng)代入模擬運(yùn)行很容易得出結(jié)論

選項(xiàng)A代入運(yùn)算可得2+—f,滿足條件,

2+-

2

4=2+—!—

選項(xiàng)B代入運(yùn)算可得,1,不符合條件，

Zn--

2

選項(xiàng)C代入運(yùn)算可得A=；，不符合條件，

選項(xiàng)D代入運(yùn)算可得&=1+!，不符合條件.

4

9.記S,,為等差數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和.已知S4=0,%=5，貝［1()

2

A.an=2n-5B.a“=3〃-10C.Sn=2n-8nD.

A

解析：

S=4。］+6d=0f4=—3o

依題意有《4一u，可得《c,%=2〃-5,S“=〃2_4〃.

%=q+4d=5［d=2

10.已知橢圓c的焦點(diǎn)為6(-1,0),乙(1,0)，過(guò)K的直線與。交于A,B兩點(diǎn).若

\AF2\=2\F2B\,\AB\=\BF}\,則C的方程為（）

.X2

A.—+y2=1

2-

B

解析：

由橢圓C的焦點(diǎn)為耳（一1,0）,底（1,0）可知c=l,又「l伍|=2|。8|,|—|=|明|,

可設(shè)13Kl=/〃，則|AK|=2，〃，|8￡HAB|=3〃7,根據(jù)橢圓的定義可知

\BFt\+\BF2\^m+3m^2a，得根=；a，所以|8瑪卜；。,\AF2\^a，可知A（0,一公，

Q?22

根據(jù)相似可得B（a，耳刀代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,+}=1,得/=3,02=/一°2=2,

22

二橢圓。的方程為二+乙=1.

32

11.關(guān)于函數(shù)/（x）=sin|%|+|sinR有下述四個(gè)結(jié)論：

TT

①/（X）是偶函數(shù)②/（X）在區(qū)間（-,乃）單調(diào)遞增

③/（X）在［-1,句有4個(gè)零點(diǎn)④/（X）的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

C

解析：

因?yàn)?（-x）=sin|T+kin（T）|=sin|X+Mnx|=/（x）,所以/（x）是偶函數(shù)，①正確，

因?yàn)槎琖㈤,而/￥）</（耳）,所以②錯(cuò)誤，

632o3

畫出函數(shù)/（X）在［一肛句上的圖像，很容易知道/（X）有3零點(diǎn)，所以③錯(cuò)誤，

結(jié)合函數(shù)圖像，可知f（x）的最大值為2,④正確，故答案選C.

12.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上,PA=PB=PC,AABC是邊長(zhǎng)為2

的正三角形，旦尸分別是Q4,A8的中點(diǎn)，NCEF=90。，則球。的體積為（）

A*瓜兀

B.4A/6TT

<.2屈兀

D.6萬(wàn)

D

解析：

/&+"一_/+/一

34X2-2

設(shè)PA=x,則cos/PAC=

2PApc2-xx

22

丫2yY-9X

.■.CE2^PE2+PC2-2PEPCCOSZPAC=—+X2-2-X?—^=—+2

42x24

Ixr~

.NC￡F=90°,EF=—PB=—,CF=6

22

22

=CE~+=CF*■，即1-2d-----3，解彳導(dǎo)x=,

44

:.PA=PB=PC=O

又=2

易知PA,PB,PC兩兩相互垂直，

故三棱錐P-ABC的外接球的半徑為亞，

2

4(任Y

???三棱錐P-ABC的外接球的體積為彳子當(dāng)=瓜兀，故選D.

3I2J

13.曲線y=3(r+尤)靖在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

y=3x

解析：

???/=3(2尤+l)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)e"

??.結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程的斜率&=3,

.?切線方程為y=3x.

14記S“為等比數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，若6=；,=4，則$5=

。121

S=——

s3

解析：

設(shè)等比數(shù)列公比為4

.?.（6/）2=肅

「4=3

121

.山c=——

3

15.甲乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該對(duì)獲勝，決賽結(jié)

束）根據(jù)前期的比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為"主主客客主客主"設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的

概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4:1獲勝的概率是

0.18

解析：

甲隊(duì)要以4:1,則甲隊(duì)在前4場(chǎng)比賽中輸一場(chǎng)，第5場(chǎng)甲獲勝，由于在前4場(chǎng)比賽中甲有2

個(gè)主場(chǎng)2個(gè)客場(chǎng)，于是分兩種情況：

C\-0.6-0.4-0.52-0.6+0.62-C\-0.5-0.50.6=0.18.

22

16.已知雙曲線C:=-2=1（?！?力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為6,與,過(guò)6的直線與C的

6rb

UUUlULUUUU1uuu

兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若￡A=A3,百3?=0,則C的離心率為.

2

解析：

UUU1ULUUUU1uuuUUU1uuu

由64=48,6不68=0知人是8/;；的中點(diǎn)，68_1乙8，又。是K，鳥的中點(diǎn)，所以。4

為中位線且OAJ.M,所以。3=。耳，因此〃0A=NBQ4,又根據(jù)兩漸近線對(duì)稱，

)2=^l+tan260°=2.

17.A46c的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為"c.設(shè)(sin8-sinC)2=sin2A-sinfisinC.

(1)求A；

(2)若夜a+6=2c，求sinC.

略

解析：

(1)由(sinB-sinC))=sin2A-sin8sinC得sin?B+sin2C-sin2A=sinBsinC

結(jié)合正弦定理得〃+c2-a2=be

;.8SA=心士包,

2bc2

rr

又Aw(O4),，A=2.

(2)由&a+b=2c得起sinA+sin3=2sinC,

>/2sinA+sin(A+C)=2sinC

—+sin(-+C)=2sinC,

23

.V3.「「一五

??—sinC—cosC=----

222

7ty/2

???sin(C——)=—

62

>c^rTCTC__TC兀

又0<c<——<c---<一

3662

..—,冗、nc一兀冗

又sin(C——)>0.\0<C——<—

662

..cosC——二——，

I6)2

萬(wàn)./V，兀冗、.(「兀、(x-?兀、.兀

.".sinC=sin(C——+—)=sinC——cos—+cosC——sin—=------—.

66I6J616J64

18.如圖，直四棱柱ABCD-AMGA的底面是菱形，=4,A3=2,/BAD=60°,

E,M,N分別是BC,BBVA,D的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面CQE;

(2)求二面角A-MA^-N的正弦值.

(1)見解析；

(2)當(dāng)

解析：

(1)連結(jié)”,5和4，。；.?加,￡分別是8片和8c的中點(diǎn)J.ME//gC且“七=3用。,

又N是A[D,:.ME//DN，且ME=ON,.?.四邊形用NDE是平行四邊形，

：.MN//DE,又?！陁平面GOE，肱V<Z平面，二MN//平面60邑

(2)以。為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，由題。(0,0,0),A(2,0,0),4(2,0,4),"(1,6,2)

UUU1UUUU1UUU

AA=(0,0,-4),AM=(T，G，-2)，4。=(一2,0,-4)，設(shè)平面叫加的法向量為

UIII

〃i=(石,加4)，平面DAM的法向量為%=(%,%,Z2)，

riruuir

勺.AA=O

由4u*uuum，令石=6得i=(73,1,0),

勺?4M=0

inuuir

X-4Z=0

-A{D=0-222in

由，UDuuuw彳導(dǎo)<令々=2得&=Q,0,-1),

-x2+y/3y2-2Z2=0

n2?\M-0

,二面角A-M^-N的正弦值為巫.

5

3

19.已知拋物線C：V=3尤的焦點(diǎn)為尸，斜率為]的直線/與C的交點(diǎn)為A,8,與8軸

的交點(diǎn)為P.

(1)若四尸|+|8用=4,求/的方程；

(2)若Q=3而，求IA5|.

(1)8y-12x+7=0；

(2)

3

解析：

3

(1)設(shè)直線/的方程為y=]x+b，設(shè)4%,以)，8(%，%)，

3,

y-—x+b9，,

聯(lián)立直線/與拋物線的方程：V2消去y化簡(jiǎn)整理得/+(3匕-3〃+。2=0,

y2=3x

224X(33Z?)

A=(3/?-3)-4X-/?>0,:.b<-,X,+X2=~，依題意IA/q+18尸|=4可

429

知%+々+：=4,即內(nèi)+々=<，故2=：，得匕=一：，滿足八>0,故直線

22928

37c

/的方程為>=彳工一7/即8y-12x+7=0.

28

3,

y=—x+b3

(2)聯(lián)立方程組.2消去x化簡(jiǎn)整理得/一2、+2人=0,A=4-8匕>0,

V=3x

-'-h<\，M+%=2,X%=2匕，Q=3而，可知弘=—3%，則—2%=2,得

_3

%=T,Y=3,故可知人=一萬(wàn)滿足△>(),

=X3+1

|AB|=.I^->,2l^+fll=^-

20.已知函數(shù)f(x)=sinx—ln(l+x),/'(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù).證明：

7T

(1)/。)在區(qū)間(-1,耳)存在唯一極大值點(diǎn);

(2)/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

略

解析:

⑴對(duì)小)進(jìn)行求導(dǎo)可得，小占，(-94)

1

取g(x)=cosx—；---貝!|g'(x)=_sinx+

1+X(1+X)2'

乃1

在xe(-l,y)內(nèi)g<x)=_sinx+(]+'產(chǎn)為單調(diào)遞減函數(shù)，且g(o)=i

<°所以在xe(0,l)內(nèi)存在一個(gè)%,使得g'(x)=0,所以在

77

xe(-1,%)內(nèi)g'(x)>0，/'(x)為增函數(shù)；在xe(%,5)內(nèi)g'(x)<0,/'(x)為減函數(shù)，

TT

所以在廣(X)在區(qū)間(-1,2)存在唯一極大值點(diǎn)；

(2)*(1)可知當(dāng)XG(-1,0)時(shí)，/'(X)單調(diào)增，且/'(0)=0,可得/'(x)<0

則/(x)在此區(qū)間單調(diào)減；

當(dāng)xe(0,x0)時(shí),/'(X)單調(diào)增,且尸(0)=0,/'(幻>。則/(刈在此區(qū)間單調(diào)增;又

/(0)=0則在xe(―1,%)上/(x)有唯一零點(diǎn)龍=().

當(dāng)無(wú)€(/5)時(shí)，/'(x)單調(diào)減，且/(%)>0"'母<0，則存在唯一的xe(%，9,

rr

使得/G)=o，在XG(Xo，X|)時(shí)，/'(%)>0,/(x)單調(diào)增；當(dāng)xe(X|，5)時(shí)，/(x)單

JT7TTT

調(diào)減，且/(-)=l-ln(l+-)>l-lne=O,所以在%6(%0,-)±/(%)無(wú)零點(diǎn);

當(dāng)xeg,%)時(shí)，y=sinx單調(diào)減，y=-ln(l+x)單調(diào)減，則/(x)在xeg,乃)上單調(diào)

減/(%)=。-111(1+〃)<0,所以在工€(5，萬(wàn))上/(x)存在一零點(diǎn).

當(dāng)%e(^,+oo)時(shí)，/(x)=sinx-ln(l+%)<1-ln(l+^)<0恒成立，則/(%)在

xe(/,+o。)上無(wú)零點(diǎn).

綜上可得，/(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

21.為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物

實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一

只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪實(shí)驗(yàn).當(dāng)其中一種藥

治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)就停止實(shí)驗(yàn)并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為

了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪實(shí)驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則

甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,

甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a

和夕，一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在實(shí)驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，P,(i=0,1,…,8)表示"甲藥的累計(jì)得分為i

時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=0,P8=1

Pi=aPi_{+bPi+cpM(i=l,2,…,7),其中a=P(X=—l),b=P(X=0)

c=P(X=1).假設(shè)。=0.5,夕=0.8.

(i)證明:{加-P,}(i=0，l，2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求P4,并根據(jù)P4的值解釋這種實(shí)驗(yàn)方案的合理性.

(1)略；(2)略

解析：

(1)一輪實(shí)驗(yàn)中甲藥的得分有三種情況：1、-1、0.

得1分時(shí)是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則P(X=1)=。(1-4)；

得-1分時(shí)是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則P(X=-1)=(1-a)尸；

得0分時(shí)是都治愈或都未治愈，則P(X=0)=皿+(1-。)(1一尸).

則X的分布列為：

X1-10

pa”0伙l-a)a/7+(l-aXl”)

(2)(i)因?yàn)椤?0.5,尸=0.