高二數(shù)學(xué)人教A版選修1-2學(xué)案2-1-1合情推理

第二章推理與證明人人都熟悉地圖，可并不是人人都知道，繪制一張地圖最少要用幾種顏色，才能把相鄰的國家或不同的區(qū)域區(qū)分開來．這個(gè)地圖著色問題，是一個(gè)著名的數(shù)學(xué)難題，它曾經(jīng)吸引了好幾代優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家為之奮斗，并且從中獲得了一個(gè)又一個(gè)杰出的成就，為數(shù)學(xué)的發(fā)展增添了光彩．在地圖上區(qū)分兩個(gè)相鄰的國家或地區(qū)，要用不同的顏色來涂這兩個(gè)國家或區(qū)域．顯然，用兩種顏色是區(qū)分不開的，不過有時(shí)三種顏色就夠了．A，B，C三國各用一色，D國和B國用同樣的顏色．還有另外一種情況，如果地圖中的四個(gè)國家中任何兩個(gè)都有公共邊界，必須用四種顏色才能把它們區(qū)分開．于是，有的數(shù)學(xué)家猜想，任何地圖著色只需四種顏色就足夠了．正式提出地圖著色問題的時(shí)間是1852年．但這個(gè)問題遲遲未得到解決．直到1976年9月，《美國數(shù)學(xué)會(huì)通告》宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界消息：美國伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了地圖的四色猜想是正確的！他們將地圖的四色問題化為2000個(gè)特殊的圖的四色問題，然后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算了1200個(gè)小時(shí)，終于證明了四色問題．四色猜想經(jīng)歷了歸納、猜想等推理活動(dòng)，最后獲得了圓滿證明．同學(xué)們，你想知道推理與證明的有關(guān)知識(shí)嗎？就讓我們步入本章的學(xué)習(xí)吧！2.1合情推理與演繹推理2.1.1合情推理自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入人們仿照魚類的外形和它們?cè)谒械某粮≡?，發(fā)明了潛水艇；為了回答“火星上是否有生命”這個(gè)問題，科學(xué)家把火星與地球作類比，發(fā)現(xiàn)火星具有一些與地球類似的特征，如火星也是圍繞太陽運(yùn)行，繞軸自轉(zhuǎn)的行星，也有大氣層，在一年中也有季節(jié)的變更，而且火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存等等，由此，科學(xué)家們猜測(cè)火星上也可能有生命存在．新知導(dǎo)學(xué)1．歸納推理由某類事物的__部分對(duì)象__具有某些特征，推出該類事物的__全部對(duì)象__都具有這些特征的推理，或者由__個(gè)別事實(shí)__概括出__一般結(jié)論__的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由__部分__到__整體__、由__個(gè)別__到__一般__的推理．2．金導(dǎo)電、銀導(dǎo)電、銅導(dǎo)電、鐵導(dǎo)電，金、銀、銅、鐵都是金屬，因此可猜想所有金屬都導(dǎo)電，這種推理形式為__歸納推理__．3．類比推理由兩類對(duì)象具有__某些類似特征__和其中一類對(duì)象的__某些已知特征__，推出另一類對(duì)象也具有__這些特征__的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)．簡(jiǎn)言之，類比推理是由__特殊到特殊__的推理．4．合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)__已有的事實(shí)__，經(jīng)過__觀察、分析、比較、聯(lián)想__，再進(jìn)行__歸納__、__類比__，然后提出__猜想__的推理．我們把它們稱為合情推理．通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理．5．歸納推理是由部分到__整體__，由具體到__抽象__，由特殊到__一般__，從個(gè)別事實(shí)中概括出__一般結(jié)論__的思維模式．類比推理是在__兩類不同__的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似之處之后，推測(cè)在其他方面也可能存在__相同或相似__之處的一種推理模式．類比推理是由__特殊__到__特殊__的推理．預(yù)習(xí)自測(cè)1．魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷愃频模虼?，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的．該過程體現(xiàn)了(B)A．歸納推理 B．類比推理C．沒有推理 D．以上說法都不對(duì)[解析]推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程，上述過程是推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理．2．下列表述正確的是(A)①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③類比推理是由特殊到一般的推理；④類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①④ B．①③C．②③ D．②④[解析]根據(jù)題意，歸納推理，就是由部分到整體的推理．故①對(duì)②錯(cuò)；類比推理是由特殊到特殊的推理．故④對(duì)③錯(cuò)，則正確的是①④，故選A．3．觀察式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，則可歸納出式子(C)A．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n－1)(n≥2)B．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(1,2n＋1)(n≥2)C．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n－1,n)(n≥2)D．1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)＜eq\f(2n,2n＋1)(n≥2)[解析]由題意可知，當(dāng)n≥2時(shí)，第n個(gè)式子左邊是1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n2)，右邊為eq\f(2n－1,n)，故選C．4．如圖，第(1)個(gè)圖案由1個(gè)點(diǎn)組成，第(2)個(gè)圖案由3個(gè)點(diǎn)組成，第(3)個(gè)圖案由7個(gè)點(diǎn)組成，第(4)個(gè)圖案由13個(gè)點(diǎn)組成，第(5)個(gè)圖案由21個(gè)點(diǎn)組成，…，根據(jù)圖案中點(diǎn)的排列規(guī)律，組成第(50)個(gè)圖案的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(B)A．2450 B．2451C．2452 D．2453[解析]設(shè)組成第(n)個(gè)圖案的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an，由題意可得a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13，a5＝21，故a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，a5－a4＝8，…，由此可推得當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2(n－1)，以上(n－1)個(gè)式子相加可得：(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)，化簡(jiǎn)可得an－a1＝eq\f(n－12＋2n－2,2)＝n(n－1)，即an＝n(n－1)＋1．故a50＝50×49＋1＝2451，即第(50)個(gè)圖案由2451個(gè)點(diǎn)組成．故選B．5．設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，計(jì)算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)、…、f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n＝40驗(yàn)證猜想的結(jié)論是否正確．[解析]首先分析題目的條件，并對(duì)n＝1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的結(jié)果進(jìn)行歸納推測(cè)，發(fā)現(xiàn)它們之間的共同性質(zhì)，猜想出一個(gè)明確的一般性命題．f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由此猜想，n為任意正整數(shù)時(shí)，f(n)＝n2＋n＋41都是質(zhì)數(shù)．當(dāng)n＝40時(shí)，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)為合數(shù)，因此猜想的結(jié)論不正確．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?數(shù)與式的歸納典例1觀察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4)．分析上述各式的共同特點(diǎn)，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對(duì)等式的正確性作出證明．[思路分析]觀察三個(gè)等式的左右兩邊的特點(diǎn)，包括三角函數(shù)名稱及角的大小的規(guī)律，寫出反映一般規(guī)律的等式，最后對(duì)其進(jìn)行證明．[解析]猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)．證明：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos2α＋60°,2)＋eq\f(sin2α＋30°－sin30°,2)＝1＋eq\f(cos2α＋60°－cos2α,2)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)．所以sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)成立．『規(guī)律方法』1.歸納推理的一般步驟(1)觀察：通過觀察個(gè)別事物發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)．(2)概括、歸納：從已知的相同性質(zhì)中概括、歸納出一個(gè)明確表述的一般性命題．(3)猜測(cè)一般性結(jié)論．2．歸納推理的基本邏輯形式是：S1是(或不是或具有性質(zhì))P，S2是(或不是或具有性質(zhì))P，S3是(或不是或具有性質(zhì))P，…Sn是(或不是或具有性質(zhì))P．∵S1、S2、S3、…、Sn是S類的對(duì)象，∴所有S都是(或都不是或都具有性質(zhì))P．3．由已知數(shù)、式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律．(2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征．(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)．(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論．┃┃跟蹤練習(xí)1__■觀察下列不等式：eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋\f(1,7)))≥eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋\f(1,8)))，試寫出第n個(gè)不等式．[思路分析]觀察各式不難發(fā)現(xiàn)，左側(cè)括號(hào)內(nèi)是連續(xù)奇數(shù)的倒數(shù)之和，右側(cè)括號(hào)內(nèi)是連續(xù)偶數(shù)的倒數(shù)之和，而另一個(gè)數(shù)與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，從而得出一般性結(jié)論．[解析]第1個(gè)不等式為eq\f(1,2)×1≥1×eq\f(1,2)，即eq\f(1,1＋1)×1≥1×eq\f(1,2×1)；第2個(gè)不等式為eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))，即eq\f(1,2＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)))≥eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)))；第3個(gè)不等式為eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)))，即eq\f(1,3＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2×2－1)＋\f(1,2×3－1)))≥eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2×1)＋\f(1,2×2)＋\f(1,2×3)))；…猜測(cè)第n個(gè)不等式為eq\f(1,n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3)＋\f(1,5)＋…＋\f(1,2n－1)))≥eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,6)＋…＋\f(1,2n)))(n∈N＋)．命題方向?圖形中的歸納推理典例2下圖是用同樣規(guī)格的灰、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律，第n個(gè)圖案中需用灰色瓷磚__4n＋8__塊(用含n的代數(shù)式表示)．[思路分析]分析給出的3個(gè)圖形中灰色瓷磚數(shù)目、白色瓷磚數(shù)目以及它們的和之間的關(guān)系，猜測(cè)一般結(jié)論．[解析]第(1)，(2)，(3)，…個(gè)圖案灰色瓷磚數(shù)依次為15－3＝12,24－8＝16,35－15＝20，…由此可猜測(cè)第n個(gè)圖案灰色瓷磚數(shù)為(n＋2)(n＋4)－n(n＋2)＝4(n＋2)＝4n＋8．『規(guī)律方法』通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理．解答該類問題的一般策略是：┃┃跟蹤練習(xí)2__■有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(B)A．26 B．31C．32 D．36[解析]有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案第一個(gè)第二個(gè)第三個(gè)…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.故選B．命題方向?數(shù)列中的歸納推理典例3下面各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：(1)1,5,9,13,17，(21)；(2)eq\f(3,4)，1,1eq\f(1,3)，1eq\f(7,9)，2eq\f(10,27)，(3eq\f(13,81))；(3)eq\r(2＋\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))，eq\r(5＋\f(5,24))，(eq\r(6＋\f(6,35)))．[思路分析]要在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，必須正確地判斷出每列數(shù)所具有的規(guī)律，為此必須進(jìn)行仔細(xì)的觀察和揣摩．常用方法是對(duì)比自然數(shù)列，奇數(shù)列，偶數(shù)列，自然數(shù)的平方列找關(guān)系，分?jǐn)?shù)可先理順其分母(或分子)的規(guī)律，等等．[解析](1)考察相鄰兩數(shù)的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4，可見，相鄰兩數(shù)之差都是4.按此規(guī)律，括號(hào)里的數(shù)減去17等于4，所以應(yīng)填入括號(hào)里的數(shù)是17＋4＝21．(2)像(1)那樣考慮難以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，改變一下角度，把各數(shù)改寫為eq\f(3,4)，1，eq\f(4,3)，eq\f(16,9)，eq\f(64,27)．可以發(fā)現(xiàn)：1÷eq\f(3,4)＝eq\f(4,3)，eq\f(4,3)÷1＝eq\f(4,3)，eq\f(16,9)÷eq\f(4,3)＝eq\f(4,3)，eq\f(64,27)÷eq\f(16,9)＝eq\f(4,3)．后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的eq\f(4,3)倍，按照這個(gè)規(guī)律，括號(hào)中的數(shù)應(yīng)是eq\f(64,27)×eq\f(4,3)＝eq\f(256,81)＝3eq\f(13,81)．(3)每個(gè)數(shù)都是算術(shù)根，根號(hào)下有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是整數(shù)n＋1，另一項(xiàng)是分?jǐn)?shù)，分子與整數(shù)項(xiàng)相同，分母是分子的平方減1，按此規(guī)律，下一個(gè)數(shù)應(yīng)為eq\r(6＋\f(6,35))．『規(guī)律方法』由數(shù)列的遞推公式容易寫出數(shù)列的前n項(xiàng)，觀察數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，分析特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想其通項(xiàng)公式，然后再給予證明是解答數(shù)列問題常用的方法．┃┃跟蹤練習(xí)3__■若an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．且a1＝1．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an．[解析](1)由已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，得a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1．(2)歸納猜想，得an＝2n－1(n∈N*)．將命題的條件、結(jié)論類比推廣命題方向?典例4已知△ABC的邊長分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．類比這一結(jié)論有：若三棱錐A－BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐體積VA－BCD＝__eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)__．[思路分析]解答本題的關(guān)鍵是確定好類比對(duì)象．平面中圓類比空間中球，平面中長度類比空間中面積，平面中面積類比空間中體積．[解析]內(nèi)切圓半徑req\o(→,\s\up7(類比))內(nèi)切球半徑R，三角形的周長：a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐各面的面積和：S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，三角形面積公式系數(shù)eq\f(1,2)eq\o(→,\s\up7(類比))三棱錐體積公式系數(shù)eq\f(1,3)．∴類比得三棱錐體積VA－BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．『規(guī)律方法』類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性．(2)用一類事物的已知特征、性質(zhì)去推測(cè)另一類事物具有類似的特征、性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(或猜想)．(3)檢驗(yàn)這個(gè)猜想一般情況下，如果類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)之間越相關(guān)，那么類比得出的結(jié)論就越可靠．類比推理的結(jié)論既可能真，也可能假，它是一種由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)過程，具有十分重要的實(shí)用價(jià)值．┃┃跟蹤練習(xí)4__■在△ABC中，若AB⊥AC且AD⊥BC于D，則有eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體A－BCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想？并說明理由．[解析]猜想四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD于E，則eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．如圖所示，連接BE并延長交CD于F．∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD．而AF平面ACD，∴AB⊥AF．在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2)．在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)．∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，故猜想正確．易混易錯(cuò)警示典例5若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn＝eq\f(a1＋a2＋a3＋…＋an,n)(n∈N*)也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{cn}(n∈N*)是等比數(shù)列，且cn>0，則數(shù)列dn＝?。。q\r(n,c1·c2·c3·…·cn)__(n∈N*)也是等比數(shù)列．[錯(cuò)解]eq\f(c1＋c2＋c3＋…