新版高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1習(xí)題第三章空間向量與立體幾何3.2.1

3.2立體幾何中的向量方法第1課時用向量方法解決平行問題課時過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1若a=(1,2,3)是平面γ的一個法向量,則下列向量能作為平面γ的法向量的是()A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(1,2,3) D.(3,6,8)解析:∵選項B中,向量(3,6,9)=3a與a平行,又a為平面γ的法向量,∴向量(3,6,9)也是平面γ的法向量.答案:B2設(shè)平面α的法向量為(1,2,2),平面β的法向量為(2,4,k),若α∥β,則k等于()A.2 B.4 C.4 D.2解析:∵α∥β,∴1-2=2-答案:C3若平面α,β的法向量分別為μ=(2,3,5),υ=(3,1,4),則()A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正確解析:∵μ·υ=2×3+3×(1)+(5)×4≠0,且μ≠kυ(k∈R),∴μ與υ既不垂直也不平行.∴α與β相交但不垂直.答案:C4若兩個不同的平面α與β的法向量分別是a=(1,0,2),b=(1,0,2),則平面α與平面β的關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.無法判斷解析:∵a=b,∴a∥b,∴α∥β.答案:A5若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為u,則能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),u=(2,0,0) B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(1,0,1) D.a=(1,1,3),u=(0,3,1)解析:∵l∥α,∴a⊥u,即a·u=0.故選D.答案:D6已知兩個不同的平面α與β有公共的法向量n=(1,1,1),則平面α,β的位置關(guān)系為.

答案:α∥β7如圖,在正三棱錐SABC中,點O是△ABC的外心,點D是棱BC的中點,則平面ABC的一個法向量可以是,平面SAD的一個法向量可以是.

答案:OSBC(8已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)為兩個平行平面的法向量,則λ=.

答案:29已知在長方體ABCDA1B1C1D1中,E,M,N分別是BC,AE,CD1的中點,AD=AA1=a,AB=2a.求證:MN∥平面ADD1A1.證明以D為原點,分別以DA,DC,DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E12∵M,N分別為AE,CD1的中點,∴M34a,a∴MN=-34a顯然n⊥平面A1D1DA,且MN·n=0,∴MN⊥n.又MN?平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1.10如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=π4,PA⊥底面ABCD,PA=2,點M為PA的中點,點N為BC的中點.AF⊥CD于點F,如圖建立空間直角坐標系.求出平面PCD的一個法向量并證明MN∥平面PCD.解:由題設(shè)知,在Rt△AFD中,AF=FD=22,A(0,0,0),B(1,0,0),F0,22,0,D-22MN=PD=設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z),則n令z=2,得n=(0,4,2).因為MN·n=1-24,24,-1·(0,4,2)=0,且MN?平面能力提升1已知直線l的方向向量a=2,3,13,平面α的法向量為n=6,λ,-12,若lA.4 B.7118 C.253 D解析:∵l∥α,∴a⊥n,即a·n=0,∴2×6+3λ16=0,解得λ=71答案:B2給出下列命題:①若n1,n2分別是平面α,β的法向量,則n1∥n2?α∥β;②若n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且向量a與平面α共面,則a·n=0.其中正確命題的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.0解析:①中,α與β可能重合;②中,α∥β可得到n1∥n2.答案:A3在三棱錐PABC中,CP,CA,CB兩兩垂直,AC=CB=1,PC=2,在如圖所示的坐標系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.1,1,12 C.(1,1,1) D.(2,2,1)解析:PA=(1,0,2),AB=(1,1,0).設(shè)平面PAB的一個法向量為n=(x,y,1),則x-2=0,-x又1,1,12=答案:A4已知直線a,b的方向向量分別為m=(4,k,k1)和n=k,k+3,32,若a∥b,解析:①當(dāng)k=0時,a與b不平行.②當(dāng)k≠0時,由4k=kk+3答案:25已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n與x軸垂直,且a·n=12,n·b=14,則n=.

解析:設(shè)n=(0,y,z),由題意得3故n=(0,1,3).答案:(0,1,3)6已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的法向量為n=(1,1,1),且β與α不重合,則αβ.(填“⊥”或“∥”)

解析:AB=(0,1,1),AC=(1,0,1),則n·AB=1×0+(1)×1+(1)×(1)=0,n·AC=1×1+(1)×0+(1)×(1)=0.又α與β不重合,故α∥β.答案:∥7在長方體ABCDA1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點,求證:平面AMN∥平面EFBD.證法一建立如圖所示的空間直角坐標系,取MN,DB及EF的中點R,T,S,連接RA,ST,則A(2,0,0),M(1,0,4),N2,32,4,D(0,0,0),B(2,3,0),E0,32,4,F∴MN=AR=∴MN=∴MN∥EF,AR∥TS,∴MN∥平面EFBD,AR∥平面EFBD.又MN∩AR=R,∴平面AMN∥平面EFBD.證法二由證法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N2,32,4,D(0,0,0),則AM=(1,0,4),AN=DE=0,設(shè)平面AMN,平面EFBD的法向量分別為n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則n令x1=1,得z1=14,y1=2又n令y2=1,得z2=38,x2=3∴n1=1,-23,14∴n2=32n1,得n1∥n2∴平面AMN∥平面EFBD.★8如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H為BC的中點,求證:FH∥平面EDB.證明∵四邊形ABCD為正方形,∴AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC.又EF⊥FB,FB∩BC=B,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF=FC,H為BC的中點,∴FH⊥BC.又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABC.以H為坐標原點,HB為x軸正方向