原子物理學(xué)習(xí)題解答

原子物理學(xué)習(xí)題解答第一章原子的基本狀況1.1若盧瑟福散射用的粒子是放射性物質(zhì)鐳放射的，其動(dòng)能為電子伏特。散射物質(zhì)是原子序數(shù)的金箔。試問散射角所對(duì)應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離多大？解：根據(jù)盧瑟福散射公式：得到：米式中是粒子的功能。1.2已知散射角為的粒子與散射核的最短距離為，試問上題粒子與散射的金原子核之間的最短距離多大？解：將1.1題中各量代入的表達(dá)式，得：米1.3釙放射的一種粒子的速度為米/秒，正面垂直入射于厚度為米、密度為的金箔。試求所有散射在的粒子占全部入射粒子數(shù)的百分比。已知金的原子量為。解：散射角在之間的粒子數(shù)與入射到箔上的總粒子數(shù)n的比是：其中單位體積中的金原子數(shù)：而散射角大于的粒子數(shù)為：所以有：等式右邊的積分：故即速度為的粒子在金箔上散射，散射角大于以上的粒子數(shù)大約是。1.7試計(jì)算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率、線速度和加速度。解：電子在第一玻爾軌道上即年n=1。根據(jù)量子化條件，可得：頻率速度：米/秒加速度：1.8試由氫原子的里德伯常數(shù)計(jì)算基態(tài)氫原子的電離電勢和第一激發(fā)電勢。解：電離能為，把氫原子的能級(jí)公式代入，得：=13.60電子伏特。電離電勢：伏特第一激發(fā)能：電子伏特第一激發(fā)電勢：伏特1.9用能量為12.5電子伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問受激發(fā)的氫原子向低能基躍遷時(shí)，會(huì)出現(xiàn)那些波長的光譜線？解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你n=2,3,4……等能級(jí)上去所需要的能量是：其中電子伏特電子伏特電子伏特電子伏特其中小于12.5電子伏特，大于12.5電子伏特?？梢姡哂?2.5電子伏特能量的電子不足以把基態(tài)氫原子激發(fā)到的能級(jí)上去，所以只能出現(xiàn)的能級(jí)間的躍遷。躍遷時(shí)可能發(fā)出的光譜線的波長為：1.10試估算一次電離的氦離子、二次電離的鋰離子的第一玻爾軌道半徑、電離電勢、第一激發(fā)電勢和賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。解：在估算時(shí)，不考慮原子核的運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的影響，即把原子核視為不動(dòng)，這樣簡單些。氫原子和類氫離子的軌道半徑：氫和類氫離子的能量公式：其中電離能之比：第一激發(fā)能之比：氫原子和類氫離子的廣義巴耳末公式：，其中是里德伯常數(shù)。氫原子賴曼系第一條譜線的波數(shù)為：相應(yīng)地，對(duì)類氫離子有：因此，1.11試問二次電離的鋰離子從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子，是否有可能使處于基態(tài)的一次電離的氦粒子的電子電離掉？解：由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時(shí)發(fā)出的光子的能量為：的電離能量為：由于，從而有，所以能將的電子電離掉。1.12氫與其同位素氘（質(zhì)量數(shù)為2）混在同一放電管中，攝下兩種原子的光譜線。試問其巴耳末系的第一條（）光譜線之間的波長差有多大？已知?dú)涞睦锏虏?shù)，氘的里德伯常數(shù)。解：，，1.13試證明氫原子中的電子從n+1軌道躍遷到n軌道，發(fā)射光子的頻率。當(dāng)n>>1時(shí)光子頻率即為電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。證明：在氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的波數(shù)為：頻率為：當(dāng)n>>時(shí)，有，所以在n>>1時(shí)，氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的頻率為：。設(shè)電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為，則因此，在n>>1時(shí)，有由上可見，當(dāng)n>>1時(shí)，請(qǐng)?jiān)又须娮榆S遷所發(fā)出的光子的頻率即等于電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率。這說明，在n很大時(shí)，玻爾理論過渡到經(jīng)典理論，這就是對(duì)應(yīng)原理。第三章堿金屬原子3.1已知原子光譜主線系最長波長，輔線系系限波長。求鋰原子第一激發(fā)電勢和電離電勢。解：主線系最長波長是電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷產(chǎn)生的。輔線系系限波長是電子從無窮處向第一激發(fā)態(tài)躍遷產(chǎn)生的。設(shè)第一激發(fā)電勢為，電離電勢為，則有：3.2原子的基態(tài)3S。已知其共振線波長為5893，漫線系第一條的波長為8193，基線系第一條的波長為18459，主線系的系限波長為2413。試求3S、3P、3D、4F各譜項(xiàng)的項(xiàng)值。解：將上述波長依次記為容易看出：3.3K原子共振線波長7665，主線系的系限波長為2858。已知K原子的基態(tài)4S。試求4S、4P譜項(xiàng)的量子數(shù)修正項(xiàng)值各為多少？解：由題意知：由，得：設(shè),則有與上類似3.4原子的基態(tài)項(xiàng)2S。當(dāng)把原子激發(fā)到3P態(tài)后，問當(dāng)3P激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)可能產(chǎn)生哪些譜線（不考慮精細(xì)結(jié)構(gòu)）？答：由于原子實(shí)的極化和軌道貫穿的影響，使堿金屬原子中n相同而l不同的能級(jí)有很大差別，即堿金屬原子價(jià)電子的能量不僅與主量子數(shù)n有關(guān)，而且與角量子數(shù)l有關(guān)，可以記為。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明l越小，能量越低于相應(yīng)的氫原子的能量。當(dāng)從3P激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷時(shí)，考慮到選擇定則：，可能產(chǎn)生四條光譜，分別由以下能級(jí)躍遷產(chǎn)生：3.5為什么譜項(xiàng)S項(xiàng)的精細(xì)結(jié)構(gòu)總是單層結(jié)構(gòu)？試直接從堿金屬光譜雙線的規(guī)律和從電子自旋與軌道相互作用的物理概念兩方面分別說明之。答：堿金屬光譜線三個(gè)線系頭四條譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)的規(guī)律性。第二輔線系每一條譜線的二成分的間隔相等，這必然是由于同一原因。第二輔線系是諸S能級(jí)到最低P能級(jí)的躍遷產(chǎn)生的。最低P能級(jí)是這線系中諸線共同有關(guān)的，所以如果我們認(rèn)為P能級(jí)是雙層的，而S能級(jí)是單層的，就可以得到第二輔線系的每一條譜線都是雙線，且波數(shù)差是相等的情況。主線系的每條譜線中二成分的波數(shù)差隨著波數(shù)的增加逐漸減少，足見不是同一個(gè)來源。主線系是諸P能級(jí)躍遷到最低S能級(jí)所產(chǎn)生的。我們同樣認(rèn)定S能級(jí)是單層的，而推廣所有P能級(jí)是雙層的，且這雙層結(jié)構(gòu)的間隔隨主量子數(shù)n的增加而逐漸減小。這樣的推論完全符合堿金屬原子光譜雙線的規(guī)律性。因此，肯定S項(xiàng)是單層結(jié)構(gòu)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合。堿金屬能級(jí)的精細(xì)結(jié)構(gòu)是由于堿金屬原子中電子的軌道磁矩與自旋磁矩相互作用產(chǎn)生附加能量的結(jié)果。S能級(jí)的軌道磁矩等于0，不產(chǎn)生附加能量，只有一個(gè)能量值，因而S能級(jí)是單層的。3.6計(jì)算氫原子賴曼系第一條的精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂的波長差。解：賴曼系的第一條譜線是n=2的能級(jí)躍遷到n=1的能級(jí)產(chǎn)生的。根據(jù)選擇定則，躍遷只能發(fā)生在之間。而S能級(jí)是單層的，所以，賴曼系的第一條譜線之精細(xì)結(jié)構(gòu)是由P能級(jí)分裂產(chǎn)生的。氫原子能級(jí)的能量值由下式?jīng)Q定：其中因此，有：將以上三個(gè)能量值代入的表達(dá)式，得：4.7原子光譜中得知其3D項(xiàng)的項(xiàng)值，試計(jì)算該譜項(xiàng)之精細(xì)結(jié)構(gòu)裂距。解：已知第四章多電子原子4.1原子的兩個(gè)電子處在2p3d電子組態(tài)。問可能組成哪幾種原子態(tài)?用原子態(tài)的符號(hào)表示之。已知電子間是LS耦合。解：因?yàn)椋钥梢杂腥缦?2個(gè)組態(tài)：4.2已知原子的兩個(gè)電子被分別激發(fā)到2p和3d軌道，其所構(gòu)成的原子態(tài)為，問這兩電子的軌道角動(dòng)量之間的夾角，自旋角動(dòng)量之間的夾角分別為多少？解：（1）已知原子態(tài)為，電子組態(tài)為2p3d因此，（2）而4.3鋅原子（Z=30）的最外層電子有兩個(gè)，基態(tài)時(shí)的組態(tài)是4s4s。當(dāng)其中有一個(gè)被激發(fā)，考慮兩種情況：（1）那電子被激發(fā)到5s態(tài)；（2）它被激發(fā)到4p態(tài)。試求出LS耦合情況下這兩種電子組態(tài)分別組成的原子狀態(tài)。畫出相應(yīng)的能級(jí)圖。從（1）和（2）情況形成的激發(fā)態(tài)向低能級(jí)躍遷分別發(fā)生幾種光譜躍遷？解：（1）組態(tài)為4s5s時(shí)，根據(jù)洪特定則可畫出相應(yīng)的能級(jí)圖，有選擇定則能夠判斷出能級(jí)間可以發(fā)生的5種躍遷：所以有5條光譜線。（2）外層兩個(gè)電子組態(tài)為4s4p時(shí)：，根據(jù)洪特定則可以畫出能級(jí)圖，根據(jù)選擇定則可以看出，只能產(chǎn)生一種躍遷，，因此只有一條光譜線。4.4試以兩個(gè)價(jià)電子為例說明,不論是LS耦合還是jj耦合都給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).證明:(1)LS耦合5個(gè)L值分別得出5個(gè)J值,即5個(gè)單重態(tài)．代入一個(gè)L值便有一個(gè)三重態(tài)．５個(gè)L值共有５乘３等于１５個(gè)原子態(tài)：因此，LS耦合時(shí)共有２０個(gè)可能的狀態(tài)．（２）jj耦合：將每個(gè)合成J得：共２０個(gè)狀態(tài)：所以，對(duì)于相同的組態(tài)無論是LS耦合還是jj耦合，都會(huì)給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài)．4.5已知氦原子的一個(gè)電子被激發(fā)到2p軌道，而另一個(gè)電子還在1s軌道。試作出能級(jí)躍遷圖來說明可能出現(xiàn)哪些光譜線躍遷？解：對(duì)于，單態(tài)1P1對(duì)于，三重態(tài)3P2，1，0根據(jù)選擇定則，可能出現(xiàn)5條譜線，它們分別由下列躍遷產(chǎn)生：21P1→11S0；21P1→21S03S13P03P13P21S03S11S023P0→233S13P03P13P21S03S11S01s2p1s2s1s1s4.6原子的能級(jí)是單層和三重結(jié)構(gòu)，三重結(jié)構(gòu)中J的的能級(jí)高。其銳線系的三重線的頻率，其頻率間隔為。試求其頻率間隔比值。解：原子處基態(tài)時(shí)兩個(gè)價(jià)電子的組態(tài)為。的銳線系是電子由激發(fā)的能級(jí)向能級(jí)躍遷產(chǎn)生的光譜線。與氦的情況類似，對(duì)組態(tài)可以形成的原子態(tài)，也就是說對(duì)L=1可以有4個(gè)能級(jí)。電子由諸激發(fā)能級(jí)上躍遷到能級(jí)上則產(chǎn)生銳線系三重線。根據(jù)朗德間隔定則，在多重結(jié)構(gòu)中能級(jí)的二相鄰間隔同有關(guān)的J值中較大的那一個(gè)成正比，因此，，所以。4.7原子基態(tài)的兩個(gè)價(jià)電子都在軌道。若其中一個(gè)價(jià)電子被激發(fā)到軌道，而其價(jià)電子間相互作用屬于耦合。問此時(shí)原子可能有哪些狀態(tài)？解：激發(fā)后鉛原子的電子組態(tài)是。因此，激發(fā)后原子可能有四種狀態(tài)：。5.9根據(jù)LS耦合寫出在下列情況下內(nèi)量子數(shù)J的可能值（1），（2），（3）解：（1）因?yàn)樗?共2S+1=5個(gè)值。（2）類似地，共有7個(gè)值。這里L(fēng)<S,其個(gè)數(shù)等于2L+1。（3）同樣地，可得：。第五章原子的殼層結(jié)構(gòu)7.1有兩種原子，在基態(tài)時(shí)其電子殼層是這樣添充的：（1）n=1殼層、n=2殼層和3s次殼層都填滿，3p次殼層填了一半。（2）n=1殼層、n=2殼層、n=3殼層及4s、4p、4d次殼層都填滿。試問這是哪兩種原子？解：根據(jù)每個(gè)殼層上能容納的最多電子數(shù)為和每個(gè)次殼層上能容納得最多電子數(shù)為。n=1殼層、n=2殼層填滿時(shí)的電子數(shù)為：3s次殼層填滿時(shí)的電子數(shù)為：3p次殼層填滿一半時(shí)的電子數(shù)為：所以此中原子共有15個(gè)電子，即Z=15，是P(磷)原子。與（1）同理：n=1,2,3三個(gè)殼層填滿時(shí)的電子數(shù)為28個(gè)4s、4p、4d次殼層都填滿的電子數(shù)為18個(gè)。所以此中原子共有46個(gè)電子，即Z=46，是（鈀）原子。7.2原子的3d次殼層按泡利原理一共可以填多少電子？為什么？答：電子的狀態(tài)可用四個(gè)量子來描寫。根據(jù)泡利原理，在原子中不能有兩個(gè)電子處在同一狀態(tài)，即不能有兩個(gè)電子具有完全相同的四個(gè)量子數(shù)。3d此殼層上的電子，其主量子數(shù)和角量子數(shù)都相同。因此，該次殼層上的任意兩個(gè)電子，它們的軌道磁量子數(shù)和自旋磁量子數(shù)不能同時(shí)相等，至少要有一個(gè)不相等。對(duì)于一個(gè)給定的可以取個(gè)值；對(duì)每個(gè)給定的的取值是，共2個(gè)值；因此，對(duì)每一個(gè)次殼層,最多可以容納個(gè)電子。3d次殼層的，所以3d次殼層上可以容納10個(gè)電子，而不違背泡利原理。7.3原子的S、P、D項(xiàng)的量子修正值。把譜項(xiàng)表達(dá)成形式，其中Z是核電荷數(shù)。試計(jì)算3S、3P、3D項(xiàng)的分別為何值？并說明的物理意義。解：原子的光譜項(xiàng)可以表示為。因此。由此得：故：的物理意義是：軌道貫穿和原子實(shí)極化等效應(yīng)對(duì)價(jià)電子的影響，歸結(jié)為內(nèi)層電子對(duì)價(jià)電子的屏蔽作用。7.4原子中能夠有下列量子數(shù)相同的最大電子數(shù)是多少？。答：（1）相同時(shí)，還可以取兩個(gè)值：；所以此時(shí)最大電子數(shù)為2個(gè)。（2）相同時(shí)，還可以取兩個(gè)值，而每一個(gè)還可取兩個(gè)值，所以相同的最大電子數(shù)為個(gè)。（3）相同時(shí)，在（2）基礎(chǔ)上，還可取個(gè)值。因此相同的最大電子數(shù)是：第六章磁場中的原子6.1已知釩原子的基態(tài)是。（1）問釩原子束在不均勻橫向磁場中將分裂為幾束？（2）求基態(tài)釩原子的有效磁矩。解：（1）原子在不均勻的磁場中將受到力的作用，力的大小與原子磁矩（因而于角動(dòng)量）在磁場方向的分量成正比。釩原子基態(tài)之角動(dòng)量量子數(shù)，角動(dòng)量在磁場方向的分量的個(gè)數(shù)為，因此，基態(tài)釩原子束在不均勻橫向磁場中將分裂為4束。（2）按LS耦合：6.2已知原子躍遷的光譜線在磁場中分裂為三條光譜線，其間距，試計(jì)算所用磁場的感應(yīng)強(qiáng)度。解：裂開后的譜線同原譜線的波數(shù)之差為：氦原子的兩個(gè)價(jià)電子之間是LS型耦合。對(duì)應(yīng)原子態(tài)，；，對(duì)應(yīng)原子態(tài)，，。又因譜線間距相等：。6.3漫線系的一條譜線在弱磁場中將分裂成多少條譜線？試作出相應(yīng)的能級(jí)躍遷圖。解：在弱磁場中，不考慮核磁矩。 能級(jí)： 能級(jí)：所以：在弱磁場中由躍遷產(chǎn)生的光譜線分裂成六條，譜線之間間隔不等。22D3/22P1/2無磁場有磁場-3/2-1/2M3/2106/31/21/2-1/26.4在平行于磁場方向觀察到某光譜線的正常塞曼效應(yīng)分裂的兩譜線間波長差是。所用的磁場的B是2.5特斯拉，試計(jì)算該譜線原來的波長。解：對(duì)單重項(xiàng)（自旋等于零）之間的躍遷所產(chǎn)生的譜線可觀察到正常塞曼效應(yīng)。它使原來的一條譜線分裂為三條，兩個(gè)成分，一個(gè)成分。成分仍在原來位置，兩個(gè)成分在成分兩側(cè)，且與成分間的波數(shù)間隔都是一個(gè)洛侖茲單位L。又符號(hào)表示波長增加波數(shù)減少。根據(jù)題設(shè)，把近似地看作成分與成分間的波長差，則有：其中因此，6.5氦原子光譜中波長為及的兩條譜線，在磁場中發(fā)生塞曼效應(yīng)時(shí)應(yīng)分裂成幾條？分別作出能級(jí)躍遷圖。問哪一個(gè)是正常塞曼效應(yīng)？哪個(gè)不是？為什么？解：（1）。?？梢园l(fā)生九種躍遷，但只有三個(gè)波長，所以的光譜線分裂成三條光譜線，且裂開的兩譜線與原譜線的波數(shù)差均為L，是正常塞曼效應(yīng)。（2）對(duì)，所以的光譜線分裂成三條，裂開的兩譜線與原譜線的波數(shù)差均為2L，所以不是正常塞曼效應(yīng)。6.6躍遷的光譜線波長為，在B=2.5特斯拉的磁場中發(fā)生塞曼分裂。問從垂直于磁場方向觀察，其分裂為多少條光譜線？其中波長最長和最短的兩條光譜線的波長各為多少？解：對(duì)于對(duì)于，所以從垂直于磁場方向觀察，此譜線分裂為四條。根據(jù)塞曼效應(yīng)中裂開后的譜線同原譜線波數(shù)之差的表達(dá)式：，因此，波長改變?yōu)椋核?，最長的波長為：最短的波長為：6.7躍遷的精細(xì)結(jié)構(gòu)為兩條，波長分別為5895.93埃和5889.96埃。試求出原能級(jí)在磁場中分裂后的最低能級(jí)與分裂后的最高能級(jí)相并合時(shí)所需要的磁感應(yīng)強(qiáng)度Ｂ。解：對(duì)磁場引起的附加能量為：設(shè)對(duì)應(yīng)的能量分別為，躍遷產(chǎn)生的譜線波長分別為；那么，。能級(jí)在磁場中發(fā)生分裂，的附加磁能分別記為；現(xiàn)在尋求時(shí)的B。由此得：即：因此，有：其中，將它們及各量代入上式得：B=15.8特斯拉。6.8鉈原子氣體在狀態(tài)。當(dāng)磁鐵調(diào)到B=0.2特斯拉時(shí)，觀察到順磁共振現(xiàn)象。問微波發(fā)生器的頻率多大？解：對(duì)原子態(tài)：由得代入各已知數(shù)，得。6.9鉀原子在B=0.3特斯拉的磁場中，當(dāng)交變電磁場的頻率為赫茲時(shí)觀察到順磁共振。試計(jì)算朗德因子，并指出原子處在何種狀態(tài)？解：由公式，得：鉀外層只有一個(gè)價(jià)電子，所以又將代入上式，得到：整理，得：當(dāng)時(shí)，上方程有兩個(gè)根：當(dāng)時(shí)，上方程有兩個(gè)根：由于量子數(shù)不能為負(fù)數(shù)，因此無意義，棄之。因此鉀原子處于狀態(tài)。第七章X射線7.1某X光機(jī)的高壓為10萬伏，問發(fā)射光子的最大能量多大？算出發(fā)射X光的最短波長。解：電子的全部能量轉(zhuǎn)換為光子的能量時(shí)，X光子的波長最短。而光子的最大能量是：電子伏特而所以7.2利用普通光學(xué)反射光柵可以測定X光波長。當(dāng)掠射角為而出現(xiàn)n級(jí)極大值出射光線偏離入射光線為，是偏離級(jí)極大出射線的角度。試證：出現(xiàn)n級(jí)極大的條件是為光柵常數(shù)（即兩刻紋中心之間的距離）。當(dāng)和都很小時(shí)公式簡化為。解：相干光出現(xiàn)極大的條件是兩光束光的光程差等于。而光程差為：根據(jù)出現(xiàn)極大值的條件，應(yīng)有當(dāng)和都很小時(shí)，有由此，上式化為：即7.3已知Cu的線波長是1.542，以此X射線與NaCl晶體自然而成角入射而得到第一級(jí)極大。試求NaCl晶體常數(shù)。解：已知入射光的波長，當(dāng)掠射角時(shí)，出現(xiàn)一級(jí)極大（n=1）。7.4鋁（Al）被高速電子束轟擊而產(chǎn)生的連續(xù)X光譜的短波限為5。問這時(shí)是否也能觀察到其標(biāo)志譜K系線？解：短波X光子能量等于入射電子的全部動(dòng)能。因此電子伏特要使鋁產(chǎn)生標(biāo)志譜K系，則必須使鋁的1S電子吸收足夠的能量被電離而產(chǎn)生空位，因此轟擊電子的能量必須大于或等于K吸收限能量。吸收限能量可近似的表示為：這里，；所以有：故能觀察到。7.5已知Al和Cu對(duì)于的X光的質(zhì)量吸收系數(shù)分別是，Al和Cu的密度分別是和?，F(xiàn)若分別單獨(dú)用Al板或Cu板作擋板，要的X光的強(qiáng)度減至原來強(qiáng)度的1/100。問要選用的Al板或Cu板應(yīng)多厚？解：，因?yàn)閄光子能量較低，通過物質(zhì)時(shí)，主要是電離吸收，故可只考慮吸收而略掉散射。所以有：對(duì)于Al:對(duì)于Cu:7.6為什么在X光吸收光譜中K系帶的邊緣是簡單的，L系帶是三重的，M系帶是五重的？答：X射線通過物質(zhì)時(shí)，原子內(nèi)殼層電子吸收X射線能量而被電離，從而產(chǎn)生吸收譜中帶有銳利邊緣的多個(gè)線系。吸