第十六章二次根式教學(xué)測(cè)試練習(xí)題

第十六章二次根式16．1二次根式第1課時(shí)二次根式的概念和性質(zhì)1．二次根式的概念和應(yīng)用．2．二次根式的非負(fù)性．重點(diǎn)二次根式的概念．難點(diǎn)二次根式的非負(fù)性．一、情景導(dǎo)入師:(多媒體展示)請(qǐng)同學(xué)們看屏幕，這是東方明珠電視塔．電視節(jié)目信號(hào)的傳播半徑r/km與電視塔高h(yuǎn)/km之間有近似關(guān)系r＝eq\r(2Rh)(R為地球半徑)．如果兩個(gè)電視塔的高分別為h1km，h2km，那么它們的傳播半徑之比為多少？同學(xué)們能化簡(jiǎn)這個(gè)式子嗎？由學(xué)生計(jì)算、討論后得出結(jié)果，并提問．生:半徑之比為eq\f(\r(2Rh1),\r(2Rh2))，暫時(shí)我們還不會(huì)對(duì)它進(jìn)行化簡(jiǎn)．師:那么怎么去化簡(jiǎn)它呢？這要用到二次根式的運(yùn)算和化簡(jiǎn)．如何進(jìn)行二次根式的運(yùn)算？如何進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)？這將是本章所學(xué)的主要內(nèi)容．二、新課教授活動(dòng)1:知識(shí)遷移，歸納概念(多媒體演示)用含根號(hào)的式子填空．(1)17的算術(shù)平方根是________；(2)如圖，要做一個(gè)兩條直角邊長(zhǎng)分別為7cm和4cm的三角形，斜邊長(zhǎng)應(yīng)為________cm；(3)一個(gè)長(zhǎng)方形的圍欄，長(zhǎng)是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為________m；(4)面積為3的正方形的邊長(zhǎng)為________，面積為a的正方形的邊長(zhǎng)為____________；(5)一個(gè)物體從高處自由落下，落到地面所用的時(shí)間t(單位:s)與開始落下時(shí)的高度h(單位:m)滿足關(guān)系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，則t＝________．【答案】(1)eq\r(17)(2)eq\r(65)(3)eq\r(65)(4)eq\r(3)eq\r(a)(5)eq\r(\f(h,5))活動(dòng)2:二次根式的非負(fù)性(多媒體展示)(1)式子eq\r(a)表示的實(shí)際意義是什么？被開方數(shù)a滿足什么條件時(shí)，式子eq\r(a)才有意義？(2)當(dāng)a＞0時(shí)，eq\r(a)________0；當(dāng)a＝0時(shí)，eq\r(a)________0；二次根式是一個(gè)________．【答案】(1)a的算術(shù)平方根，被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)(2)＞＝非負(fù)數(shù)老師結(jié)合學(xué)生的回答，強(qiáng)調(diào)二次根式的非負(fù)性．當(dāng)a＞0時(shí)，eq\r(a)表示a的算術(shù)平方根，因此eq\r(a)＞0；當(dāng)a＝0時(shí)，eq\r(a)表示0的算術(shù)平方根，因此eq\r(a)＝0.也就是說，當(dāng)a≥0時(shí)，eq\r(a)≥0.三、例題講解【例】當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，eq\r(x－2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？解:由x－2≥0，得x≥2.所以當(dāng)x≥2時(shí)，eq\r(x－2)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．四、鞏固練習(xí)1．已知eq\r(a－2)＋eq\r(b＋\f(1,2))＝0，求－a2b的值．【答案】eq\r(a－2)≥0，eq\r(b＋\f(1,2))≥0，又∵它們的和為0，∴a－2＝0且b＋eq\f(1,2)＝0，解得a＝2，b＝－eq\f(1,2).∴－a2b＝－22×(－eq\f(1,2))＝2.2．若x，y使eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)－y＝3有意義，求2x＋y的值．【答案】－1五、課堂小結(jié)1．本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了二次根式的概念．形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，“eq\r()”稱為二次根號(hào)．2．二次根式的被開方數(shù)必須是什么數(shù)才有意義？eq\r(a)(a≥0)又是什么數(shù)？1．本節(jié)課的教學(xué)過程中，通過創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例，學(xué)生積極主動(dòng)探索，教師引導(dǎo)與啟發(fā)，師生互動(dòng)，體現(xiàn)教師的組織者、引導(dǎo)者與合作者地位．2．注重知識(shí)之間的銜接，在溫故知新的過程中引出新知，講練結(jié)合旨在鞏固學(xué)生對(duì)新知的理解．第2課時(shí)二次根式的化簡(jiǎn)1．理解(eq\r(a))2＝a(a≥0)，并能利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．2．通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究eq\r(a2)＝a(a≥0)，并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題．重點(diǎn)理解并掌握(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝a(a≥0)以及它們的運(yùn)用．難點(diǎn)探究結(jié)論．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入教師復(fù)習(xí)口述上節(jié)課的重要內(nèi)容，并板書:1．形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式．2.eq\r(a)(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù)．那么，當(dāng)a≥0時(shí)，(eq\r(a))2等于什么呢？下面我們一起來探究這個(gè)問題．二、新課教授活動(dòng)1:(多媒體演示)根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空:(eq\r(4))2＝________；(eq\r(2))2＝________；(eq\r(\f(1,3)))2＝________；(eq\r(\f(5,2)))2＝________；(eq\r(0.01))2＝________；(eq\r(0))2＝________．由學(xué)生計(jì)算、討論得出結(jié)果，并提問部分過程，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)．老師點(diǎn)評(píng):eq\r(4)是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義，eq\r(4)是一個(gè)平方等于4的非負(fù)數(shù)，因此(eq\r(4))2＝4.同理:(eq\r(2))2＝2；(eq\r(\f(1,3)))2＝eq\f(1,3)；(eq\r(\f(5,2)))2＝eq\f(5,2)；(eq\r(0.01))2＝0.01；(eq\r(0))2＝0.所以歸納出:(eq\r(a))2＝a(a≥0)．【例1】教材第3頁例2活動(dòng)2:(多媒體展示)填空:eq\r(22)＝________；eq\r(0.12)＝________；eq\r(（\f(1,3)）2)＝________；eq\r(（\f(3,7)）2)＝________；eq\r(（2\f(1,2)）2)＝________；eq\r(02)＝________．教師點(diǎn)評(píng):根據(jù)算術(shù)平方根的意義，我們可以得到:eq\r(22)＝2；eq\r(0.12)＝0.1；eq\r(（\f(1,3)）2)＝eq\f(1,3)；eq\r(（\f(3,7)）2)＝eq\f(3,7)；eq\r(（2\f(1,2)）2)＝2eq\f(1,2)；eq\r(02)＝0.所以歸納出:eq\r(a2)＝a(a≥0)．【例2】教材第4頁例3教師點(diǎn)評(píng):當(dāng)a≥0時(shí)，eq\r(a2)＝a；當(dāng)a≤0時(shí)，eq\r(a2)＝－a.三、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)理解并掌握(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)及其運(yùn)用，同時(shí)應(yīng)理解eq\r(a2)＝－a(a≤0)．1．注意前后知識(shí)之間的聯(lián)系，在復(fù)習(xí)舊知的過程中導(dǎo)入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容．按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度．2．在總結(jié)二次根式性質(zhì)的過程中，由學(xué)生經(jīng)過觀察、分析的過程，讓學(xué)生在交流活動(dòng)中體會(huì)成功．16.2二次根式的乘除第1課時(shí)二次根式的乘法理解并掌握eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\r(a·b)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，會(huì)利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．重點(diǎn)eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\r(a·b)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)及它們的運(yùn)用．難點(diǎn)利用逆向思維，導(dǎo)出eq\r(a·b)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課活動(dòng)1:發(fā)現(xiàn)探究(多媒體展示)填空:(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝________________________________________________________________________，eq\r(4×9)＝________________________________________________________________________；(2)eq\r(25)×eq\r(16)＝________________________________________________________________________，eq\r(25×16)＝________________________________________________________________________；(3)eq\r(\f(1,9))×eq\r(36)＝________________________________________________________________________，eq\r(\f(1,9)×36)＝________________________________________________________________________；(4)eq\r(100)×eq\r(0)＝________________________________________________________________________，eq\r(100×0)＝________________________________________________________________________.生:(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝6，eq\r(4×9)＝6；(2)eq\r(25)×eq\r(16)＝20，eq\r(25×16)＝20；(3)eq\r(\f(1,9))×eq\r(36)＝2，eq\r(\f(1,9)×36)＝2；(4)eq\r(100)×eq\r(0)＝0，eq\r(100×0)＝0.試一試，參考上面的結(jié)果，比較四組等式的大小關(guān)系．生:上面各組中兩個(gè)算式的結(jié)果相等．二、新課教授活動(dòng)2:總結(jié)規(guī)律結(jié)合剛才的計(jì)算，學(xué)生分組討論，教師提問部分學(xué)生，最后教師綜合學(xué)生的答案，加以點(diǎn)評(píng)，歸納出二次根式的乘法法則．教師點(diǎn)評(píng):1．被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)．2．兩個(gè)非負(fù)數(shù)算術(shù)平方根的積等于它們積的算術(shù)平方根．一般地，二次根式的乘法法則為:eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)由等式的對(duì)稱性，反過來:eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)活動(dòng)3:講練結(jié)合教材第6～7頁例題三、鞏固練習(xí)完成課本第7頁的練習(xí)．【答案】課本練習(xí)第1題:(1)eq\r(10)；(2)6；(3)2eq\r(3)；(4)2.第2題:(1)77；(2)15；(3)2eq\r(y)；(4)4bceq\r(ac).第3題:4eq\r(5).四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握:eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)及其應(yīng)用．1．創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例．學(xué)生積極主動(dòng)探索，教師引導(dǎo)啟發(fā)，按照由特殊到一般的規(guī)律，降低學(xué)生理解的難度．2．在二次根式乘法法則的形成過程中，由學(xué)生大膽猜測(cè)，經(jīng)過思考、分析、討論的過程，讓學(xué)生在交流中體會(huì)成功．第2課時(shí)二次根式的除法理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)和eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)，會(huì)利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．重點(diǎn)理解并掌握eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)，eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)，利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)．難點(diǎn)歸納二次根式的除法法則．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入活動(dòng)1:1．由學(xué)生回答二次根式的乘法法則及逆向等式．2．填空(多媒體展示)．(1)eq\f(\r(9),\r(25))＝________，eq\r(\f(9,25))＝________；(2)eq\f(\r(16),\r(4))＝________，eq\r(\f(16,4))＝________；(3)eq\f(\r(81),\r(49))＝________，eq\r(\f(81,49))＝________；(4)eq\f(\r(36),\r(64))＝________，eq\r(\f(36,64))＝________．二、新課教授活動(dòng)2:先由學(xué)生對(duì)上面的結(jié)果進(jìn)行比較，觀察每組兩個(gè)算式結(jié)果的大小關(guān)系，并總結(jié)規(guī)律．教師點(diǎn)評(píng):一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根除以一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根，等于它們商的算術(shù)平方根．一般地，二次根式的除法法則是:eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)由等式的對(duì)稱性，反過來:eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)【例】教材第8～9頁例題三、鞏固練習(xí)課本第10頁練習(xí)第1題．【答案】(1)3(2)2eq\r(3)(3)eq\f(\r(3),3)(4)2a四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)和eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)及其應(yīng)用．1．創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)二次根式的乘法，旨在類比學(xué)習(xí)二次根式的除法，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣．2．二次根式除法的學(xué)習(xí)過程，按照由特殊到一般的規(guī)律，由學(xué)生經(jīng)歷思考、討論、分析的過程，讓學(xué)生大膽猜測(cè)，使學(xué)生在交流中體會(huì)成功．第3課時(shí)最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式的概念、利用最簡(jiǎn)二次根式的概念和性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算．重點(diǎn)最簡(jiǎn)二次根式的運(yùn)用．難點(diǎn)會(huì)判斷這個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入(學(xué)習(xí)活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題．(請(qǐng)四位同學(xué)上臺(tái)板書)計(jì)算:(1)eq\f(\r(2),\r(3))；(2)eq\f(2\r(6),\r(18))；(3)eq\f(\r(8),\r(2a))；(4)eq\f(\r(x3),\r(x2y)).教師點(diǎn)評(píng):(1)eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)；(2)eq\f(2\r(6),\r(18))＝eq\f(2\r(3),3)；(3)eq\f(\r(8),\r(2a))＝eq\f(2\r(a),a)；(4)eq\f(\r(x3),\r(x2y))＝eq\f(\r(xy),y).二、新課教授教師點(diǎn)評(píng):上面這些式子的結(jié)果具有如下兩個(gè)特點(diǎn):1．被開方數(shù)不含分母．2．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．師:我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．(教師板書)教師強(qiáng)調(diào):在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式．【例1】判斷下列式子是不是最簡(jiǎn)二次根式，為什么？(1)3xyeq\r(\f(1,2)x)；(2)25aeq\r(3a3)；(3)eq\r(\f(1,x))；(4)eq\r(0.2a).解:(1)被開方數(shù)中有因數(shù)eq\f(1,2)，因此它不是最簡(jiǎn)二次根式；(2)被開方數(shù)中有開得盡方的因式a2，因此它不是最簡(jiǎn)二次根式；(3)被開方數(shù)中有分母，因此它不是最簡(jiǎn)二次根式；(4)被開方數(shù)中有因數(shù)0.2，它不是整數(shù)，所以它不是最簡(jiǎn)二次根式．【例2】化簡(jiǎn):(1)eq\r(\f(27,8))；(2)eq\r(12x2y3)(x≥0)；(3)eq\r(a2b4＋a4b2)(ab≥0)．解:(1)eq\r(\f(27,8))＝eq\r(\f(27×2,8×2))＝eq\r(\f(9,16)×6)＝eq\f(3,4)eq\r(6)；(2)eq\r(12x2y3)＝eq\r(4x2y2·3y)＝2xyeq\r(3y)；(3)eq\r(a2b4＋a4b2)＝eq\r(a2b2（b2＋a2）)＝abeq\r(a2＋b2).【例3】教材第9頁例7三、課堂小結(jié)1．本節(jié)課應(yīng)掌握最簡(jiǎn)二次根式的特點(diǎn)及其運(yùn)用．2．二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．1．注重知識(shí)的前后聯(lián)系，溫故而知新．讓學(xué)生積極主動(dòng)地探索，教師引導(dǎo)和啟發(fā)，使學(xué)生在經(jīng)過思考、討論和分析的過程后，獲得新知，體會(huì)學(xué)習(xí)的樂趣．2．前兩個(gè)例題旨在加強(qiáng)對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的理解，第三個(gè)例題讓學(xué)生靈活運(yùn)用二次根式解決實(shí)際問題．

16.3二次根式的加減第1課時(shí)二次根式的加減理解并掌握二次根式加減的方法，并能用二次根式加減法法則進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算．重點(diǎn)理解并掌握二次根式加減計(jì)算的方法．難點(diǎn)二次根式的化簡(jiǎn)、合并被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入(學(xué)生活動(dòng))1．計(jì)算:(1)x＋2x；(2)3a－2a＋4a；(3)2x2－3x2＋5x2；(4)2a2－4a2＋3a.2．教師點(diǎn)評(píng):上面的運(yùn)算實(shí)際上就是以前所學(xué)習(xí)的合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)就是字母連同指數(shù)不變，系數(shù)相加減．二、新課教授(學(xué)生活動(dòng))1．類比計(jì)算，說明理由．(1)eq\r(2)＋2eq\r(2)；(2)3eq\r(8)－2eq\r(8)＋4eq\r(8)；(3)3eq\r(2)＋eq\r(8)；(4)2eq\r(3)－3eq\r(3)＋eq\r(12).2．教師點(diǎn)評(píng):(1)eq\r(2)＋2eq\r(2)＝(1＋2)eq\r(2)＝3eq\r(2)；(2)3eq\r(8)－2eq\r(8)＋4eq\r(8)＝(3－2＋4)eq\r(8)＝5eq\r(8)＝10eq\r(2)；(3)雖然表面上eq\r(2)與eq\r(8)的被開方數(shù)不同，不能當(dāng)作被開方數(shù)相同，但eq\r(8)可化為2eq\r(2)，3eq\r(2)＋eq\r(8)＝3eq\r(2)＋2eq\r(2)＝(3＋2)eq\r(2)＝5eq\r(2)；(4)同樣eq\r(12)可化為2eq\r(3)，2eq\r(3)－3eq\r(3)＋eq\r(12)＝2eq\r(3)－3eq\r(3)＋2eq\r(3)＝(2－3＋2)eq\r(3)＝eq\r(3).所以在用二次根式進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，如果被開方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并，因此可將二次根式先化為最簡(jiǎn)二次根式，比較被開方數(shù)是否相同．因此可得:二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并．【例1】教材第13頁例1【例2】教材第13頁例2三、鞏固練習(xí)教材第13頁練習(xí)第1，2題．【答案】第1題:(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確．第2題:(1)－4eq\r(7)；(2)3eq\r(5)；(3)10eq\r(2)－3eq\r(3)；(4)3eq\r(6)＋eq\f(1,4)eq\r(2).四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握進(jìn)行二次根式加減運(yùn)算時(shí)，先把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式，再把相同被開方數(shù)的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)行合并．1．創(chuàng)設(shè)情境，給出實(shí)例．由學(xué)生主動(dòng)參與，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，老師加以啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運(yùn)算法則．2．兩個(gè)例題，旨在幫助學(xué)生理解并掌握二次根式的加減運(yùn)算法則．尤其是例2，要按照兩個(gè)步驟進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和科學(xué)精神．第2課時(shí)二次根式的加減乘除混合運(yùn)算含有二次根式的式子進(jìn)行加減乘除混合運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用．重點(diǎn)二次根式的加減乘除混合運(yùn)算．難點(diǎn)由整式運(yùn)算知識(shí)遷移到含二次根式的運(yùn)算．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入(學(xué)生活動(dòng)):請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題．計(jì)算:(1)(3x2＋2x＋2)·4x；(2)(4x2－2xy)÷(－2xy)；(3)(3a＋2b)(3a－2b)；(4)(2x＋1)2＋(2x－1)2.二、新課教授由于整式運(yùn)算中的x，y，a，b是字母，它的意義十分廣泛，可以代表一切，當(dāng)然也可以代表二次根式，因此整式中的運(yùn)算規(guī)律也適用于二次根式，下面我們就使用這些規(guī)律來進(jìn)行計(jì)算．【例1】計(jì)算:(1)(eq\r(8)＋eq\r(3))×eq\r(6)；(2)(4eq\r(2)－3eq\r(6))÷2eq\r(2).分析:二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以可直接用整式的運(yùn)算規(guī)律．解:(1)(eq\r(8)＋eq\r(3))×eq\r(6)＝eq\r(8)×eq\r(6)＋eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\r(48)＋eq\r(18)＝4eq\r(3)＋3eq\r(2)；(2)(4eq\r(2)－3eq\r(6))÷2eq\r(2)＝4eq\r(2)÷2eq\r(2)－3eq\r(6)÷2eq\r(2)＝2－eq\f(3,2)eq\r(3).【例2】計(jì)算:(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))；(3)(eq\r(3)－eq\r(2))2.分析:第(1)題可類比多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則來計(jì)算，第(2)題把eq\r(5)當(dāng)作a，eq\r(3)當(dāng)作b，就可以類比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)題可類比(a－b)2＝a2－2ab＋b2來計(jì)算．解:(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)＝(eq\r(2))2＋3eq\r(2)－5eq\r(2)－15＝2＋3eq\r(2)－5eq\r(2)－15＝－13－2eq\r(2)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))＝(eq\r(5))2－(eq\r(3))2＝5－3＝2；(3)(eq\r(3)－eq\r(2))2＝(eq\r(3))2－2×eq\r(3)×eq\r(2)＋(eq\r(2))2＝5－2eq\r(6).三、鞏固練習(xí)教材第14頁練習(xí)第1，2題．【答案】第1題:(1)eq\r(6)＋eq\r(10)；(2)4＋2eq\r(2)；(3)11＋5eq\r(5)；(4)4.第2題:(1)9；(2)a－b；(3)7＋4eq\r(3)；(4)22－4eq\r(10).四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握利用整式運(yùn)算的規(guī)律進(jìn)行二次根式的乘除、乘方等運(yùn)算．1．情境引入，復(fù)習(xí)整式運(yùn)算的知識(shí)，旨在遷移到利用乘法公式進(jìn)行含二次根式算式的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生繼續(xù)探究的興趣．2．例題的設(shè)計(jì)，旨在幫助學(xué)生理解乘法公式在二次根式運(yùn)算中的應(yīng)用．第十七章勾股定理17．1勾股定理第1課時(shí)勾股定理(1)了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，理解并掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理，能應(yīng)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算．重點(diǎn)勾股定理的內(nèi)容和證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用．難點(diǎn)勾股定理的證明．一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊分別為3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長(zhǎng)．再畫一個(gè)兩直角邊分別為5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜邊的長(zhǎng)．你是否發(fā)現(xiàn)了32＋42與52的關(guān)系，52＋122與132的關(guān)系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？由一學(xué)生朗讀“畢達(dá)哥拉斯觀察地面圖案發(fā)現(xiàn)勾股定理”的傳說，引導(dǎo)學(xué)生觀察身邊的地面圖形，猜想畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了什么？拼圖實(shí)驗(yàn)，探求新知1．多媒體課件演示教材第22～23頁圖17.1－2和圖17.1－3，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考．2．組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)．問題:每組的三個(gè)正方形之間有什么關(guān)系？試說一說你的想法．引導(dǎo)學(xué)生用拼圖法初步體驗(yàn)結(jié)論．生:這兩組圖形中，每組的大正方形的面積都等于兩個(gè)小正方形的面積和．師:這只是猜想，一個(gè)數(shù)學(xué)命題的成立，還要經(jīng)過我們的證明．歸納驗(yàn)證，得出定理(1)猜想:命題1:如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有這樣的特點(diǎn)呢？這就需要對(duì)一個(gè)一般的直角三角形進(jìn)行證明．到目前為止，對(duì)這個(gè)命題的證明已有幾百種之多，下面我們就看一看我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)定理的．①用多媒體課件演示．②小組合作探究:a．以直角三角形ABC的兩條直角邊a，b為邊作兩個(gè)正方形，你能通過剪、拼把它拼成弦圖的樣子嗎？b．它們的面積分別怎樣表示？它們有什么關(guān)系？c．利用學(xué)生自己準(zhǔn)備的紙張拼一拼，擺一擺，體驗(yàn)古人趙爽的證法．想一想還有什么方法？師:通過拼擺，我們證實(shí)了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關(guān)，我國(guó)把它稱為勾股定理．即在我國(guó)古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦．二、例題講解【例1】填空題．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，則c＝________；(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，則c＝________；(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，則a＝________，b＝________；(4)一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為________；(5)已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為2cm，則它的高為________cm，面積為________cm2.【答案】(1)17(2)eq\r(7)(3)68(4)6，8，10(5)eq\r(3)eq\r(3)【例2】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12，求第三邊．分析:已知兩邊中，較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算．讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會(huì)分類討論思想．【答案】eq\r(119)或13三、鞏固練習(xí)填空題．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，則b＝________；(2)如果∠A＝30°，a＝4，則b＝________；(3)如果∠A＝45°，a＝3，則c＝________；(4)如果c＝10，a－b＝2，則b＝________；(5)如果a，b，c是連續(xù)整數(shù)，則a＋b＋c＝________；(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，則c＝________．【答案】(1)24(2)4eq\r(3)(3)3eq\r(2)(4)6(5)12(6)10四、課堂小結(jié)1．本節(jié)課學(xué)到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？2．你了解了勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證方法了嗎？3．你還有什么困惑？本節(jié)課的設(shè)計(jì)關(guān)注學(xué)生是否積極參與探索勾股定理的活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生能否在活動(dòng)中積極思考、能夠探索出解決問題的方法，能否進(jìn)行積極的聯(lián)想(數(shù)形結(jié)合)以及學(xué)生能否有條理地表達(dá)活動(dòng)過程和所獲得的結(jié)論等．關(guān)注學(xué)生的拼圖過程，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自己所拼得的正方形驗(yàn)證勾股定理．第2課時(shí)勾股定理(2)能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．重點(diǎn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型．難點(diǎn)如何用解直角三角形的知識(shí)和勾股定理來解決實(shí)際問題．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題1:欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需要多長(zhǎng)的梯子？師生行為:學(xué)生分小組討論，建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型．教師深入到小組活動(dòng)中，傾聽學(xué)生的想法．生:根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，則AC＝12m，BC＝5m，AB是梯子的長(zhǎng)度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，則AB＝13m.所以至少需13m長(zhǎng)的梯子．師:很好！由勾股定理可知，已知兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，就可以求出斜邊c的長(zhǎng)．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)，就可以求出另一條直角邊的長(zhǎng)，也就是說，在直角三角形中，已知兩邊就可求出第三邊的長(zhǎng)．問題2:一個(gè)門框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m、寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？學(xué)生分組討論、交流，教師深入到學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)問題，尋找解決問題的途徑．生1:從題意可以看出，木板橫著進(jìn)，豎著進(jìn)，都不能從門框內(nèi)通過，只能試試斜著能否通過．生2:在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC是斜著能通過的最大長(zhǎng)度，求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板是否能通過．師生共析:解:在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝eq\r(5)≈2.236.因?yàn)锳C>木板的寬，所以木板可以從門框內(nèi)通過．二、例題講解【例1】如圖，山坡上兩棵樹之間的坡面距離是4eq\r(3)米，則這兩棵樹之間的垂直距離是________米，水平距離是________米．分析:由∠CAB＝30°易知垂直距離為2eq\r(3)米，水平距離是6米．【答案】2eq\r(3)6【例2】教材第25頁例2三、鞏固練習(xí)1．如圖，欲測(cè)量松花江的寬度，沿江岸取B，C兩點(diǎn)，在江對(duì)岸取一點(diǎn)A，使AC垂直江岸，測(cè)得BC＝50米，∠B＝60°，則江面的寬度為________．【答案】50eq\r(3)米2．某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B200米，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520米，求該河流的寬度．【答案】約480m四、課堂小結(jié)1．談?wù)勛约涸谶@節(jié)課的收獲有哪些？會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用題；會(huì)構(gòu)造直角三角形．2．本節(jié)是從實(shí)驗(yàn)問題出發(fā)，轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，并用勾股定理完成解答．這是一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主導(dǎo)性，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型的過程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鍛煉了學(xué)生獨(dú)立思考的能力．第3課時(shí)勾股定理(3)1．利用勾股定理證明:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．2．利用勾股定理，能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點(diǎn)．3．進(jìn)一步學(xué)習(xí)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．重點(diǎn)在數(shù)軸上尋找表示eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…這樣的表示無理數(shù)的點(diǎn)．難點(diǎn)利用勾股定理尋找直角三角形中長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容．本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用．師:在八年級(jí)上冊(cè)，我們?cè)?jīng)通過畫圖得到結(jié)論:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．你們能用勾股定理證明這一結(jié)論嗎？學(xué)生思考并獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)，并總結(jié)．先畫出圖形，再寫出已知、求證如下:已知:如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求證:△ABC≌△A′B′C′.證明:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根據(jù)勾股定理，得BC＝eq\r(AB2－AC2)，B′C′＝eq\r(A′B′2－A′C′2).又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．師:我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上表示出eq\r(13)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？教師可指導(dǎo)學(xué)生尋找像長(zhǎng)度為eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…這樣的包含在直角三角形中的線段．師:由于要在數(shù)軸上表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…，所以只需畫出長(zhǎng)為eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…的線段即可，我們不妨先來畫出長(zhǎng)為eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…的線段．生:長(zhǎng)為eq\r(2)的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，而長(zhǎng)為eq\r(5)的線段是直角邊為1和2的直角三角形的斜邊．師:長(zhǎng)為eq\r(13)的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？生:設(shè)c＝eq\r(13)，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，根據(jù)勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b為正整數(shù)，則13必須分解為兩個(gè)平方數(shù)的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，則a＝2，b＝3，所以長(zhǎng)為eq\r(13)的線段是直角邊長(zhǎng)分別為2，3的直角三角形的斜邊．師:下面就請(qǐng)同學(xué)們?cè)跀?shù)軸上畫出表示eq\r(13)的點(diǎn)．生:步驟如下:1．在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA＝3.2．作直線l垂直于OA，在l上取一點(diǎn)B，使AB＝2.3．以原點(diǎn)O為圓心、以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為表示eq\r(13)的點(diǎn)．二、例題講解【例1】飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4800米處，過了10秒后，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？分析:根據(jù)題意，可以畫出如圖所示的圖形，A點(diǎn)表示男孩頭頂?shù)奈恢茫珻，B點(diǎn)是兩個(gè)時(shí)刻飛機(jī)的位置，∠C是直角，可以用勾股定理來解決這個(gè)問題．解:根據(jù)題意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．飛機(jī)飛行1400米用了10秒，那么它1小時(shí)飛行的距離為1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飛機(jī)飛行的速度為504千米/時(shí)．【例2】在平靜的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風(fēng)吹來，水草被吹到一邊，草尖齊至水面，已知水草移動(dòng)的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？解:根據(jù)題意，得到上圖，其中D是無風(fēng)時(shí)水草的最高點(diǎn)，BC為湖面，AB是一陣風(fēng)吹過水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以這里的水深為4.5分米．【例3】在數(shù)軸上作出表示eq\r(17)的點(diǎn)．解:以eq\r(17)為長(zhǎng)的邊可看作兩直角邊分別為4和1的直角三角形的斜邊，因此，在數(shù)軸上畫出表示eq\r(17)的點(diǎn)，如下圖:師生行為:由學(xué)生獨(dú)立思考完成，教師巡視指導(dǎo)．此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下兩個(gè)方面:①學(xué)生能否積極主動(dòng)地思考問題；②能否找到斜邊為eq\r(17)，另外兩條直角邊為整數(shù)的直角三角形．三、課堂小結(jié)1．進(jìn)一步鞏固、掌握并熟練運(yùn)用勾股定理解決直角三角形問題．2．你對(duì)本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)？會(huì)利用勾股定理得到一些無理數(shù)，并理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)．本節(jié)課的教學(xué)中，在培養(yǎng)邏輯推理的能力方面，做了認(rèn)真的考慮和精心的設(shè)計(jì)，把推理證明作為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)，注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和接受水平出發(fā)，這些理念貫徹到課堂教學(xué)當(dāng)中，很好地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生善于提出問題、敢于提出問題、解決問題的能力．17.2勾股定理的逆定理第1課時(shí)勾股定理的逆定理(1)1．掌握直角三角形的判別條件．2．熟記一些勾股數(shù)．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．重點(diǎn)探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命題、原命題、逆命題的有關(guān)概念及關(guān)系．難點(diǎn)歸納猜想出命題2的結(jié)論．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入活動(dòng)探究(1)總結(jié)直角三角形有哪些性質(zhì)；(2)一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)才能是直角三角形？生:直角三角形有如下性質(zhì):(1)有一個(gè)角是直角；(2)兩個(gè)銳角互余；(3)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．師:那么一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)，才能是直角三角形呢？生1:如果三角形有一個(gè)內(nèi)角是90°，那么這個(gè)三角形就為直角三角形．生2:如果一個(gè)三角形，有兩個(gè)角的和是90°，那么這個(gè)三角形也是直角三角形．師:前面我們剛學(xué)習(xí)了勾股定理，知道一個(gè)直角三角形的兩直角邊a，b與斜邊c具有一定的數(shù)量關(guān)系即a2＋b2＝c2，我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人是如何做的？問題:據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角:把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)、4個(gè)結(jié)、5個(gè)結(jié)的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中一個(gè)角便是直角．這個(gè)問題意味著，如果圍成的三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，有下面的關(guān)系:32＋42＝52，那么圍成的三角形是直角三角形．畫畫看，如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的關(guān)系:2.52＋62＝6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4cm，7.5cm，8.5cm，再試一試．生1:我們不難發(fā)現(xiàn)上圖中，第1個(gè)結(jié)到第4個(gè)結(jié)是3個(gè)單位長(zhǎng)度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因?yàn)?2＋42＝52，所以我們圍成的三角形是直角三角形．生2:如果三角形的三邊長(zhǎng)分別是2.5cm，6cm，6.5cm.我們用尺規(guī)作圖的方法作此三角形，經(jīng)過測(cè)量后，發(fā)現(xiàn)6.5cm的邊所對(duì)的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再換成三邊長(zhǎng)分別為4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，可以發(fā)現(xiàn)8.5cm的邊所對(duì)的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.師:很好！我們通過實(shí)際操作，猜想結(jié)論．命題2如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．再看下面的命題:命題1如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2.它們的題設(shè)和結(jié)論各有何關(guān)系？師:我們可以看到命題2與命題1的題設(shè)、結(jié)論正好相反，我們把像這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中的一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．例如把命題1當(dāng)成原命題，那么命題2是命題1的逆命題．二、例題講解【例1】說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？(1)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行；(2)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等；(3)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；(4)直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．分析:(1)每個(gè)命題都有逆命題，說逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注意語言的運(yùn)用；(2)理順?biāo)鼈冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能都假．解略．三、鞏固練習(xí)教材第33頁練習(xí)第2題．四、課堂小結(jié)師:通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)本節(jié)內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)？學(xué)生發(fā)言，教師點(diǎn)評(píng)．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，將教學(xué)內(nèi)容精簡(jiǎn)化，實(shí)行分層教學(xué)．根據(jù)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生更好地體會(huì)分割的思想．設(shè)計(jì)的題型前后呼應(yīng)，使知識(shí)有序推進(jìn)，有助于學(xué)生理解和掌握；讓學(xué)生通過合作、交流、反思、感悟的過程，激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，感受探索、合作的樂趣，并從中獲得成功的體驗(yàn)，真正體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人．將目標(biāo)分層后，滿足不同層次學(xué)生的做題要求，達(dá)到鞏固課堂知識(shí)的目的．第2課時(shí)勾股定理的逆定理(2)1．理解并掌握證明勾股定理的逆定理的方法．2．理解逆定理、互逆定理的概念．重點(diǎn)勾股定理的逆定理的證明及互逆定理的概念．難點(diǎn)理解互逆定理的概念．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入師:我們學(xué)過的勾股定理的內(nèi)容是什么？生:如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2＋b2＝c2.師:根據(jù)上節(jié)課學(xué)過的內(nèi)容，我們得到了勾股定理逆命題的內(nèi)容:如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．師:命題2是命題1的逆命題，命題1我們已證明過它的正確性，命題2正確嗎？如何證明呢？師生行為:讓學(xué)生試著尋找解題思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路．師:△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它應(yīng)與直角邊是a，b的直角三角形全等，實(shí)際情況是這樣嗎？我們畫一個(gè)直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如圖)，把畫好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它們重合嗎？生:我們所畫的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因?yàn)閏2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三邊對(duì)應(yīng)相等，所以兩個(gè)三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC為直角三角形．即命題2是正確的．師:很好！我們證明了命題2是正確的，那么命題2就成為一個(gè)定理．由于命題1證明正確以后稱為勾股定理，命題2又是命題1的逆命題，在此，我們就稱定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理稱為互逆定理．師:但是不是原命題成立，逆命題一定成立呢？生:不一定，如命題“對(duì)頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角”不成立．師:你還能舉出類似的例子嗎？生:例如原命題:如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值也相等．逆命題:如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等．顯然原命題成立，而逆命題不一定成立．二、新課教授【例1】教材第32頁例1【例2】教材第33頁例2【例3】一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角．工人師傅量出了這個(gè)零件各邊的尺寸，那么這個(gè)零件符合要求嗎？分析:這是一個(gè)利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題的例子．解:在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此這個(gè)零件符合要求．三、鞏固練習(xí)1．小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走了80m后，又走60m的方向是________．【答案】向正南或正北2．如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A，B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，航向?yàn)楸逼?0°，求甲巡邏艇的航向．【答案】解:由題意可知:AC＝120×6×eq\f(1,60)＝12，BC＝50×6×eq\f(1,60)＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向?yàn)楸逼珫|50°.四、課堂小結(jié)1．同學(xué)們對(duì)本節(jié)的內(nèi)容有哪些認(rèn)識(shí)？2．勾股定理的逆定理及其應(yīng)用，熟記幾組勾股數(shù)．本節(jié)課我采用以學(xué)生為主體，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、操作探究的教學(xué)設(shè)計(jì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和認(rèn)知水平，最大限度地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手、觀察、分析、猜想、驗(yàn)證、推理的能力，切實(shí)使學(xué)生在獲取知識(shí)的過程中得到能力的培養(yǎng)．第十八章平行四邊形18．1平行四邊形18．1.1平行四邊形的性質(zhì)第1課時(shí)平行四邊形的性質(zhì)(1)理解并掌握平行四邊形的概念和平行四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等的性質(zhì)．重點(diǎn)平行四邊形的定義，平行四邊形對(duì)角、對(duì)邊相等的性質(zhì)以及性質(zhì)的應(yīng)用．難點(diǎn)運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．師:我們一起來觀察下圖中的竹籬笆格子和汽車的防護(hù)鏈，想一想它們是什么幾何圖形的形象．生:平行四邊形．師:平行四邊形是我們常見的圖形，你還能舉出平行四邊形在生活中應(yīng)用的例子嗎？生:自動(dòng)伸縮門、掛衣服的簡(jiǎn)易衣鉤等．師:你能總結(jié)出平行四邊形的定義嗎？(小組討論，教師總結(jié))(1)定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．(2)表示:平行四邊形用符號(hào)“?”來表示．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四邊形ABCD是平行四邊形．平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”．①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形(判定)；②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC(性質(zhì))．2．探究．師:平行四邊形是一種特殊的四邊形，它除了具有四邊形的性質(zhì)和兩組對(duì)邊分別平行的性質(zhì)外，還有什么特殊的性質(zhì)呢？我們一起來探究一下．(1)由定義知道，平行四邊形的對(duì)邊平行．根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，在平行四邊形中，相鄰的角互為補(bǔ)角．(2)猜想平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等．下面證明這個(gè)結(jié)論的正確性．如圖，已知:?ABCD.求證:AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.分析:作四邊形ABCD的對(duì)角線AC，它將平行四邊形分成△ABC和△CDA，證明這兩個(gè)三角形全等即可得到結(jié)論．證明:連接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.由上面的證明可知:∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.由此得到:平行四邊形的性質(zhì)1平行四邊形的對(duì)邊相等．平行四邊形的性質(zhì)2平行四邊形的對(duì)角相等．二、新課教授【例】教材第42頁例1師:距離是幾何中的重要度量之一，前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離．在此基礎(chǔ)上，我們結(jié)合平行四邊形的概念和性質(zhì)，介紹平行線之間的距離．如圖1，a∥b，c∥d，c，d與a，b分別相交于A，B，C，D四點(diǎn)．由平行四邊形的概念和性質(zhì)可知，四邊形ABDC是平行四邊形，AB＝CD.也就是說，兩條平行線之間的任何兩條平行線段都相等．從上面的結(jié)論可以知道，如果兩條直線平行，那么一條直線上所有的點(diǎn)到另一條直線的距離都相等．兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離．如圖2，a∥b，A是a上的任意一點(diǎn)，AB⊥b，B是垂足，線段AB的長(zhǎng)就是a，b之間的距離．三、鞏固練習(xí)1．?ABCD中，∠A比∠B大20°，則∠C的度數(shù)為()A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】C2．在下列圖形的性質(zhì)中，平行四邊形不一定具有的是()A．對(duì)角相等B．對(duì)角互補(bǔ)C．鄰角互補(bǔ)D．內(nèi)角和是360°【答案】B3．在?ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF與GH相交于點(diǎn)O，那么圖中的平行四邊形一共有()A．4個(gè)B．6個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)【答案】D四、課堂小結(jié)1．兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．2．平行四邊形的性質(zhì):對(duì)邊平行；對(duì)邊相等；對(duì)角相等我在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)先讓學(xué)生看圖形，體會(huì)到平行四邊形在日常生活中的廣泛應(yīng)用，給出平行四邊形的定義，從定義出發(fā)得到第一個(gè)性質(zhì)，再由學(xué)生動(dòng)手操作和教師演示旋轉(zhuǎn)得到其他性質(zhì)．因?yàn)楸菊抡n標(biāo)明確要求學(xué)生能夠規(guī)范地寫出說理過程，所以我在得出平行四邊形性質(zhì)的同時(shí)加上幾何語言的描述，在練習(xí)中也注意規(guī)范學(xué)生的說理過程．

第2課時(shí)平行四邊形的性質(zhì)(2)理解并掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)．重點(diǎn)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)以及性質(zhì)的應(yīng)用．難點(diǎn)綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．復(fù)習(xí)提問:(1)什么樣的四邊形是平行四邊形？四邊形與平行四邊形的關(guān)系是:(2)平行四邊形的性質(zhì):①具有一般四邊形的性質(zhì)(內(nèi)角和是360°)；②角:平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．邊:平行四邊形的對(duì)邊相等．2．探究:請(qǐng)學(xué)生在紙上畫兩個(gè)全等的平行四邊形ABCD和平行四邊形EFGH，并連接對(duì)角線AC，BD和EG，HF，設(shè)它們分別交于點(diǎn)O.把這兩個(gè)平行四邊形摞在一起，在點(diǎn)O處釘一個(gè)圖釘，將四邊形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，觀察它是否還是和四邊形EFGH重合．你能從中看出前面所提到的平行四邊形的邊、角關(guān)系嗎？你還能發(fā)現(xiàn)平行四邊形的什么性質(zhì)嗎？結(jié)論:(1)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是對(duì)稱中心；(2)平行四邊形的對(duì)角線互相平分．二、新課教授【例1】已知:如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O與AB，CD分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證:OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.證明:在?ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又OA＝OC(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF，AE＝CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD(平行四邊形的對(duì)邊相等)．∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD.引申:若例1中的條件都不變，將EF轉(zhuǎn)動(dòng)到圖①的位置，那么例1的結(jié)論是否成立？若將EF向兩邊延長(zhǎng)與平行四邊形的兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線分別相交(圖②和圖③)，例1的結(jié)論是否成立？說明你的理由．解略．【例2】教材第44頁例2三、鞏固練習(xí)1．?ABCD中，∠A的余角與∠B的和是120°，則∠A＝________，∠B＝________．分析:平行四邊形的鄰角互補(bǔ)．【答案】75°105°2．平行四邊形的周長(zhǎng)等于56cm，兩鄰邊的長(zhǎng)的比為3∶1，那么這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為________．分析:平行四邊形的對(duì)邊相等．【答案】21cm3．?ABCD的周長(zhǎng)為60cm，對(duì)角線交于點(diǎn)O，△AOB的周長(zhǎng)比△BOC的周長(zhǎng)大8cm，則AB，BC的長(zhǎng)分別是________．分析:平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分．【答案】19cm，11cm4．?ABCD的周長(zhǎng)為50cm，AB＝15cm，∠A＝30°，則此平行四邊形的面積為________．分析:平行四邊形的對(duì)邊相等，面積等于邊與該邊上的高的乘積．【答案】75cm2四、課堂小結(jié)定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形．性質(zhì):(1)邊的性質(zhì):對(duì)邊平行且相等；(2)角的性質(zhì):對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；(3)對(duì)角線的性質(zhì):對(duì)角線互相平分．課堂中，我通過讓學(xué)生說一說、找一找等多種活動(dòng)，在同桌合作、小組合作等活動(dòng)交流中，讓學(xué)生充分感知四邊形的特征，培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)、交流的能力和動(dòng)手操作的能力．在作業(yè)方面，讓學(xué)生以小組為單位，在校園中尋找我們身邊的四邊形，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)真正就在我們身邊．18.1.2第1課時(shí)平行四邊形的判定(1)使學(xué)生掌握用平行四邊形的定義判定一個(gè)四邊形是否是平行四邊形的方法．重點(diǎn)平行四邊形的判定方法及應(yīng)用．難點(diǎn)平行四邊形的判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．什么叫平行四邊形？平行四邊形有什么性質(zhì)？(學(xué)生口答，教師板書)2．將以上的性質(zhì)定理分別用命題的形式敘述出來．(即用“如果……那么……”的形式)根據(jù)平行四邊形的定義，我們研究了平行四邊形的其他性質(zhì)，那么如何判定一個(gè)四邊形是否是平行四邊形呢？除了定義，還有什么方法？平行四邊形性質(zhì)定理的逆命題是否成立？可以證明，這些逆命題都成立，于是得到平行四邊形的判定定理:平行四邊形的判定方法1兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的判定方法2兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．平行四邊形的判定方法3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．下面我們以“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”為例，通過三角形全等進(jìn)行證明．如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OC，OB＝OD，求證:四邊形ABCD是平行四邊形．證明:∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，∴AD∥BC，同理AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．二、新課教授【例1】教材第46頁例3【例2】已知:如圖，E，F(xiàn)分別為平行四邊形ABCD的兩邊AD，BC的中點(diǎn)，連接BE，DF.求證:∠1＝∠2.證明:在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵DE＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴∠1＝∠2.三、鞏固練習(xí)1．下列條件中，能判斷四邊形是平行四邊形的是()A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相垂直且相等D．對(duì)角線互相平分【答案】D2．已知:如圖，?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于點(diǎn)O.求證:EO＝OF.【答案】證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴DE∥BF.又DF∥BE，∴四邊形DEBF為平行四邊形，∴EO＝OF.四、課堂小結(jié)1．平行四邊形的三個(gè)判定定理．2．會(huì)用四邊形的三個(gè)判定定理解決簡(jiǎn)單的問題．在教學(xué)過程中教師應(yīng)積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的“傳道、授業(yè)、解惑”的角色，在教學(xué)中應(yīng)把握教材的精神，在設(shè)計(jì)、安排和組織教學(xué)過程的每一個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地體現(xiàn)探索的內(nèi)容和方法，避免教學(xué)內(nèi)容的過分抽象和形式化，使學(xué)生通過直觀感受去理解和把握，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)推理的意義，讓學(xué)生在做中學(xué)，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)．第2課時(shí)平行四邊形的判定(2)理解并掌握平行四邊形的判定定理．重點(diǎn)理解并掌握平行四邊形的判定定理，做到熟練應(yīng)用．難點(diǎn)理解并掌握平行四邊形的判定定理，體會(huì)幾何推理的思維方法．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．平行四邊形的定義是什么？2．平行四邊形具有哪些性質(zhì)？3．平行四邊形是如何判定的？教師板書，并畫出一個(gè)平行四邊形，如圖．(幫助理解)學(xué)生活動(dòng):踴躍發(fā)言，相互討論，回顧平行四邊形的性質(zhì)與判定定理．二、講授新課師:通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，如果一個(gè)四邊形是平行四邊形，那么它的任意一組對(duì)邊平行且相等．那么反過來，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形嗎？下面我們就來證明這個(gè)結(jié)論是否正確．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求證:四邊形ABCD是平行四邊形．證明:連接AC.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，∴BC＝DA，∴四邊形ABCD的兩組對(duì)邊分別相等，它是平行四邊形．于是我們又得到平行四邊形的一個(gè)判定定理:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．三、例題講解【例1】教材第47頁例4【例2】已知:如圖，在?ABCD中，AE，CF分別是∠DAB，∠BCD的平分線．求證:四邊形AFCE是平行四邊形．證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB＝∠BCD.∵AE，CF分別平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠D＝∠B，AD＝BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE＝BF，AE＝FC，∴EC＝AF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．【例3】已知:如圖，?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC上兩點(diǎn)，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求證:四邊形BEDF是平行四邊形．證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA＝∠DFC＝90°.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∴四邊形BEDF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)．四、鞏固練習(xí)1．判斷題:(1)相鄰的兩個(gè)角都互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．()(2)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．()(3)一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．()(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．()(5)對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形．()(6)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．在四邊形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD.選擇兩個(gè)條件，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的共有________對(duì)．【答案】略五、課堂小結(jié)eq\a\vs4\al(平行,四邊形)eq\o(,\s\up7(性質(zhì)),\s\do5(判定))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(兩組對(duì)邊分別平行,兩組對(duì)邊分別相等,一組對(duì)邊平行且相等)),角——兩組對(duì)角分別相等,對(duì)角線——兩條對(duì)角線互相平分))經(jīng)過這兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本掌握了幾何證明題的解題方法，能應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)和判定方法解決問題．在以后的學(xué)習(xí)過程中最主要的任務(wù)是讓學(xué)生落實(shí)到筆頭上，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思做完的每一道題．

第3課時(shí)平行四邊形的判定(3)1．理解并掌握三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)．2．能較熟練地應(yīng)用三角形中位線的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算．重點(diǎn)掌握并運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)解決問題．難點(diǎn)三角形中位線性質(zhì)的證明．(輔助線的添加方法)一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境:請(qǐng)同學(xué)們思考:將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形，你是如何切割的？(答案如圖)圖中有幾個(gè)平行四邊形？你是如何判斷的？二、講授新課師:在前面學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)，常把它分成幾個(gè)三角形，利用三角形全等的性質(zhì)研究平行四邊形的有關(guān)問題．下面我們利用平行四邊形來研究三角形的有關(guān)問題．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，像DE這樣，連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段，我們稱之為三角形的中位線，我們猜想，DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.下面我們對(duì)它進(jìn)行證明．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)．求證:DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.分析:本題既要證明兩條線段所在的直線平行，又要證明其中一條線段的長(zhǎng)等于另一條線段長(zhǎng)的一半，將DE延長(zhǎng)一倍后，可以將證明DE＝eq\f(1,2)BC轉(zhuǎn)化為證明延長(zhǎng)后的線段與BC相等．又由于E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形構(gòu)造一個(gè)平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明．證明:如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接FC，DC，AF.∵AE＝EC，DE＝EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∴CF綊DA.∴CF綊BD∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DF綊BC.又DE＝eq\f(1,2)DF，∴DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.通過上述證明，我們可以得到三角形的中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．三、例題講解【例】已知:如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證:四邊形EFGH是平行四邊形．證明:連接AC，在△DAC中，∵AH＝HD，CG＝GD，∴HG∥AC，HG＝eq\f(1,2)AC(三角形中位線的性質(zhì))．同理EF∥AC，EF＝eq\f(1,2)AC.∴HG∥EF，且HG＝EF.∴四邊形EFGH是平行四邊形．此題可得結(jié)論:順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形．四、鞏固練習(xí)1．如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點(diǎn)M，N.如果測(cè)得MN＝20m，那么A，B兩點(diǎn)的距離是________m，理由是________________________．【答案】40MN是△ABC的中位線2．如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)．(1)若EF＝5cm，則AB＝________cm；若BC＝9cm，則DE＝________cm；(2)中線AF與中位線DE有什么特殊的關(guān)系？證明你的猜想．【答案】(1)104.5(2)AF與DE互相平分，證明略五、課堂小結(jié)三角形中位線定理:三角形兩邊中點(diǎn)的連線是三角形的中位線；三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．三角形的中位線是三角形中一條重要的線段，三角形中位線定理在許多計(jì)算及證明中都要用到．在課堂導(dǎo)入中，我以創(chuàng)設(shè)問題情景的形式，激起學(xué)生探索的欲望，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣．在問題情境中引出三角形的中位線，導(dǎo)入本節(jié)學(xué)習(xí)的課題；同時(shí)，為證明三角形的中位線定理埋下伏筆，也是有助于用運(yùn)動(dòng)的思想來思考數(shù)學(xué)問題．此時(shí)教學(xué)體現(xiàn)的是人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)．三角形的中位線的性質(zhì)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，學(xué)生都能掌握，這個(gè)定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用是非常廣泛的．18.2特殊的平行四邊形18．2.1矩形第1課時(shí)矩形(1)掌握矩形的概念和性質(zhì)，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系．重點(diǎn)矩形的性質(zhì)．難點(diǎn)矩形的性質(zhì)的靈活應(yīng)用．一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入1．思考:拿一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具，輕輕拉動(dòng)一個(gè)點(diǎn)，觀察不管怎么拉，它還是一個(gè)平行四邊形嗎？為什么？(動(dòng)畫演示拉動(dòng)的過程，如圖)2．再次演示平行四邊形的移動(dòng)過程，當(dāng)移動(dòng)到一個(gè)角是直角時(shí)停止，讓學(xué)生觀察這是什么圖形？(小學(xué)學(xué)過的長(zhǎng)方形)引出本節(jié)課題及矩形的定義．矩形的定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長(zhǎng)方形)．矩形是我們最常見的圖形之一，例如門窗框、書桌面、教科書的封面、地磚等都有矩形的形象．探究:在一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架上，用兩根橡皮筋分別套在相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)上(作出對(duì)角線)，拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)，改變平行四邊形的形狀．(1)隨著∠α的變化，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別是怎樣變化的？(2)當(dāng)∠α是直角時(shí)，平行四邊形變成矩形，此時(shí)它的其他內(nèi)角是什么樣的角？它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？操作、思考、交流、歸納后得到矩形的性質(zhì):矩形的性質(zhì)1矩形的四個(gè)角都是直角．矩形的性質(zhì)2矩形的對(duì)角線相等．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，由性質(zhì)2有AO＝BO＝CO＝DO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)BD.因此可以得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．二、新課教授【例1】教材第53頁例1【例2】已知:如圖，矩形ABCD中，AB長(zhǎng)8cm，對(duì)角線比AD邊長(zhǎng)4cm.求AD的長(zhǎng)及點(diǎn)A到BD的距離AE的長(zhǎng)．分析:因?yàn)榫匦蔚乃膫€(gè)角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計(jì)算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法．解:設(shè)AD＝xcm，則對(duì)角線長(zhǎng)(x＋4)cm，在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6，即AD＝6cm.由AE·DB＝AD·AB，解得AE＝4.8cm.三、鞏固練習(xí)1．矩形的兩條對(duì)角線的夾角為60°，對(duì)角線的長(zhǎng)為15cm，較短邊的長(zhǎng)為()A．12cmB．10cmC．7.5cmD．5cm【答案】C2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求∠A，∠B的度數(shù)．【答案】∠A＝60°，∠B＝30°四、課堂小結(jié)1．掌握矩形的定義及性質(zhì)．2．會(huì)用矩形的性質(zhì)求相關(guān)的角的度數(shù)．本節(jié)課主要在學(xué)生已有的認(rèn)知水平上，在實(shí)際問題情景中，由學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)矩形的性質(zhì)定理，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、推理、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展．第2課時(shí)矩形(2)通過探索與交流，逐漸得出矩形的判定定理，使學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的探究過程，掌握矩形的三種判定方法，并會(huì)運(yùn)用它們解決相關(guān)問題．重點(diǎn)矩形的判定．難點(diǎn)矩形的判定定理及性質(zhì)的綜合應(yīng)用．一、復(fù)習(xí)提問，引入新課師:什么叫做平行四邊形？什么叫做矩形？生:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形．師:矩形有哪些性質(zhì)？生:矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線相等．師:矩形是有一個(gè)角是直角的平行四邊形，判定一個(gè)四邊形是不是矩形，首先要看這個(gè)四邊形是不是平行四邊形，再看它兩邊的夾角是不是直角，這種用“定義”來判定是最重要和最基本的判定方法．除此之外，還有其他幾種判定矩形的方法，下面我們就來研究這些方法．二、提出疑問，引導(dǎo)探索師:小華想要做一個(gè)矩形相框送給媽媽做生日禮物，于是找來了兩根長(zhǎng)度相同的長(zhǎng)木條和兩根長(zhǎng)度相同的短木條制作．你有什么方法可以檢測(cè)他做的相框是否為矩形？生:可以用量角器量一下它的一個(gè)內(nèi)角，若是90°，則這個(gè)相框?yàn)榫匦危畮?對(duì)，這是根據(jù)矩形的定義得到的，定義法突出是在平行四邊形的基礎(chǔ)上添加了一個(gè)條件(有一個(gè)角是直角)，觀察矩形和平行四邊形，除了角的特性外，邊和對(duì)角線還有特性嗎？生:“邊”沒有特性，“對(duì)角線”是相等的．師:我們是否可以利用這一特性來判定四邊形是不是矩形呢？請(qǐng)把這個(gè)判定用命題的形式寫出來．生:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．師:這個(gè)命題是否正確？(分析命題的題設(shè)和結(jié)論，寫出已知和結(jié)論，分析證明過程)證明過程由學(xué)生板書完成．師(歸納板書):定理:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．師:對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎？生:不一定是矩形．師:畫出反例，如下圖所示的四邊形，對(duì)角線相等，但它不是矩形(先畫兩條相等但不互相平分的相交線段，再順次連接各端點(diǎn)得四邊形)．師生討論，歸納矩形的判定方法:定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．定理:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．(除教材中所舉的門框或矩形零件外，還可以結(jié)合生產(chǎn)生活實(shí)際說明判定矩形的實(shí)用價(jià)值．)三、例題講解【例1】教材第54頁例2【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AE∥BC，過點(diǎn)D作直線EF∥AB，分別交AE，BC于E，F(xiàn).求證:四邊形AECF是矩形．證明:∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD.∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.∴△ADE≌△CDF，∴AE＝FC.∵AE∥BF，AB∥EF.∴四邊形ABFE和四邊形AFCE是平行四邊形，∴AB＝EF，又∵AB＝AC，∴EF＝AC，∴平行四邊形AFCE是矩形．四、課堂練習(xí)已知:O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，OC，OD上的點(diǎn)，AE＝BF＝CG＝DH.求證:四邊形EFGH為矩形．【答案】證明:∵四邊形ABCD為矩形，∴AC＝BD.∵AC，BD互相平分于O，∴AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴EO＝FO＝GO＝HO.∴四邊形EFGH是平行四邊形且HF＝EG，∴四邊形EFGH為矩形．五、課堂小結(jié)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(一個(gè)角是直角的平行四邊形,對(duì)角線相等的平行四邊形,有三個(gè)角是直角的四邊形))是矩形本節(jié)課在引入時(shí)，我先提出一個(gè)實(shí)際生活問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，再引導(dǎo)學(xué)生逆向思考問題，從而讓學(xué)生提出“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”這一結(jié)論，最后通過邏輯推理證明命題的正確性，為以后學(xué)習(xí)其他特殊的四邊形的判定打下了基礎(chǔ)．