2020-2021學(xué)年遼寧省大連103中學(xué)高三（上）一模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年遼寧省大連103中學(xué)高三（上）一模數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合A={-1,0,1,2},8={4(x+1)(x-2)V0},則AOB=()

A.{011}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

X

2.設(shè)命題p：3A-（）<0,e°-x0>l，則r。為（）

A.-x>1B.Vx<0,然一xWl

C,3XQ^O,J°-X041D?3x0<0,eX°-Xg：sCl

3.已知〃>0>b,則下列不等式一定成立的是（)

A.42V_帥B.Ml<依

C.—>—D.(―)°>(―)b

ab22

4.函數(shù)/（x）=log2X-工的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

X

A.（0,y）B.（-1,1）C.

(1,2)D.(2,3)

5.已知平面向量W，芯的夾角為三:，且|胃=1,后=2,則駿+百二（）

O

A.3B.MC.7D.5/7

6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0,1）內(nèi)是增函數(shù)的是（）

A.y=xlnxB.y=x2+xC.y=sin2xD.y=e'-e

7.“（機(jī)-1）（a-1）>0”是“l(fā)og加>0"的一個(gè)（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.函數(shù)y=R+/〃（“+i-x）的圖象大致為（）

9.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、B兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件：①點(diǎn)4、B都在f（x）的圖象上；②點(diǎn)A、B

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)點(diǎn)對(duì)（A,B）是函數(shù)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（A,B）與（B,

X2+2XX<0

A）可看作同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”）.已知函數(shù)/（X）=’2、，則，⑴的“姊

-x>0

.e

妹點(diǎn)對(duì)”有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

xf（X.）f（x2）

10.已知函數(shù)f（x）=^—-ax,xG（0,+8）,當(dāng)x2>?>0時(shí)，不等式---<———

xX2Xi

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-8,B.（-8,e）C.「8,會(huì)D.（-8,e]

9JT

11.關(guān)于函數(shù)f（x）=2c。sx-cos（2x”或）T的描述正確的是（）

A.其圖象可由yf歷sin2x的圖象向左平移g個(gè)單位得到

O

TT

B./（%）在（0,號(hào)）單調(diào)遞增

C.f（x）在[0,河有2個(gè)零點(diǎn)

D./（x）在1T，0]的最小值為-企

12.已知向量看；,另是平面a內(nèi)的一組基向量，。為a內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于a內(nèi)任意一點(diǎn)產(chǎn)，

當(dāng)6?=工巳1+》日2時(shí)，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)（X，V）為點(diǎn)尸的廣義坐標(biāo)?若點(diǎn)A、8的廣義坐

標(biāo)分別為（xi,巾）（及，J2）,關(guān)于下列命題正確的是（）

A.線(xiàn)段A、8的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為（紅上2,3+絲）

22

B.A、B兩點(diǎn)間的距離為J（x「X2）2+（V]-y2）2

C.向量水平行于向量的充要條件是x\yi=xiy\

D.向量丞垂直于工值的充要條件是xiy2+x2yi=0

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.函數(shù)/(x)=<e'x)°,則/(/(-e))=______.

ln|x|,x<0

14.已知f(x)=x2+2xf‘(4)，則f‘(—)=.

oo

15.已知向量之=(4,2),5=(X,1),若2+25與之-5的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)人的取

值范圍為.

16.閱讀材料

求函數(shù)y=e'.的導(dǎo)函數(shù)

解：\9y=ex.\x=lny.\(x)'=(Iny)'

‘"=y=ex

y

借助上述思路，曲線(xiàn)y=(2x-400)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為.

三、解答題：(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟)

17.已知M—[1,(/n2-2m)+(m2+m-2)z}>P={1>-1,4i},若MUP=P,求實(shí)數(shù)m.

18.己知函數(shù)/(x)=axi+bx1,當(dāng)x=l時(shí)，有極大值3；

(1)求小b的值；(2)求函數(shù)/(x)的極小值及單調(diào)區(qū)間.

19.已知向量[=-2cosx),芯=(2cosx,cosx),函數(shù)/(x)(x￡R).

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

JT

(2)在AABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c,若/(A)=2,C=—,

4

c=2,求△ABC的面積SMBC.

20.對(duì)于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿(mǎn)足/(-x)=-/(》)，則稱(chēng)/(x)為

“局部奇函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù)/(x)="2+2法-4a(。，芯R),試判斷是否為“局部奇函

數(shù)”？并說(shuō)明理由.

(2)設(shè)f(x)=2'+〃?是定義在R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

21.如圖，已知菱形ABC￡)的邊長(zhǎng)為2,ABAD—\20°,動(dòng)點(diǎn)M,N滿(mǎn)足而=入前，幣5=

UD。入，

(1)當(dāng)a=n=斷h求|力卜屈的值；

(2)若疝?誦=-2,求-^-4^的值.

22.設(shè)函數(shù)/(x)=——,g(x)—lnx+—.

XX

(I)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(H)若直線(xiàn)x=zn(/n>0)與曲線(xiàn)f(x)和g(x)分別交于點(diǎn)P和。，求|尸。|的最小值;

(III)設(shè)函數(shù)/(x)=4(x)g+g(x)],當(dāng)“6(0,Ini')時(shí)，證明：F(x)存在極小

值點(diǎn)xo,且e'o(a+/”xo)<0.

參考答案

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

1.己知集合A={-1,0,1,2},B={x\(x+1)(x-2)<0},則AAB=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

解：由3中不等式解得：-1VXV2,即-1VxV2},

???A={-1,0,1,2),

?,.AGB={0,1},

故選：A.

2.設(shè)命題p：2xo<O,則「P為()

A.e'-x>1B.Vx<0,e'-1

C?3XQ^O,J°-X041D?3x0<0,「°

解：命題是特稱(chēng)命題，則命題的否定是：Vx<0,-xW1

故選：B.

3.已知。>0>b,則下列不等式一定成立的是()

A.a2<-abB.

C.—>—D.(―)u>(―)b

ab22

解：a2+ab=a(〃+b),符合無(wú)法確定，故A錯(cuò)誤，

取。=2,b=-1,則有間>依，故8錯(cuò)誤，

工」上生〉0,故工>1,故c正確，

ababab

取4=1,b=-2,則(―)。=L，A〃=4,又工<4,即(―)?<(―)b,故。錯(cuò)

222222

誤，

故選：C.

4.函數(shù)f(x)=log以-工的零點(diǎn)所在區(qū)間為()

X

A.(0,y)B.(y,1)C.(1,2)D.(2,3)

解：由題意可知函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞增，且連續(xù)

/(/)=log2-1-2<0,/(I)=log2l-l<0,f(2)=log22^->0

由根的存在性定理可得，/(I)-/(2)<0

故選：C.

5.已知平面向量之，式的夾角為冬二且信=1,|-5=:2,則戛+百二()

0

A.3B.MC.7D.y7

解:a-b=-l,a2=l,b2=4;

*/-—*、5>—2——*—2

,,(a+b)-a+2a-b+b=l-2+4=3；

Ia+b|=V§.

故選：B.

6.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)內(nèi)是增函數(shù)的是()

A.y=xlnxB.y=x2+xC.y=sin2xD.y—e'-ex

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,y^xlnx,其定義域?yàn)?0,+~),不是奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于5,y=N+x,為二次函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于C,y=sin2x,在(0,1)上不是增函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于。，y—ex-ex,有/(-x)—e'x-eK--(ev-ex)--f(x),為奇函數(shù)，又由

y'="+/'>0,則函數(shù)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，符合題意；

故選：D.

7.(tn-1)(a-1)>0”是“l(fā)ogw〃>0”的一個(gè)()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

fin>l-IJXiiKl

解：當(dāng)“Cm-1)(a-1)>0”時(shí),則<、或〈,此時(shí)log/?可能無(wú)意義，故

a>la<.l

“l(fā)oga/n>0”不一定成立,

而當(dāng)“l(fā)og.機(jī)>0”時(shí)，則，、或《，》，(771-1)(a-1)>0”成立,

[a>l

故“(m-1)(a-1)>0”是“l(fā)og〃/n>0”的一個(gè)必要不充分條件,

故選:B.

8.函數(shù)y=V+/"（“+L）的圖象大致為（）

解：由題意，/(-%)=(-x)3+/〃(“+產(chǎn))=-/(》)，函數(shù)是奇函數(shù),

/(1)=0,f(2)=8+/n(依-2)>0,

故選：C.

9.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、8兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件：①點(diǎn)A、8都在f（x）的圖象上；②點(diǎn)A、B

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)點(diǎn)對(duì)（A,B）是函數(shù)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（A,B）與（B,

\2+2XX<0

4）可看作同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”）.已知函數(shù)/（尤）=’2、，則f⑴的“姊

-x>0

.e

妹點(diǎn)對(duì)”有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

解：設(shè)P(x,y)(x<0),則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'(7,->'),

2,2、

于是二G=-(x+2x),化為2^+工2+2%=0,

e

令叩(x)=2^+x2+2x,x<0,下面證明方程(p(x)=0有兩解.

2

由無(wú)2+2XW0,解得-2&W0,而f〉0(x20),???只要考慮大日-2,0］即可.

e

求導(dǎo)(p'(x)=2ex+2x+2,

令g(x)=2^+2x+2,則g'(x)=2ev+2>0,

(x)在區(qū)間［-2,0］上單調(diào)遞增，

而(p‘(-2)=2e'2-4+2<0,(p'(-1)=2ex>0,

，(p(x)在區(qū)間(-2,0)上只存在一個(gè)極值點(diǎn)xo.

而叩(-2)=2e2>o,(p(-1)=2e?-1<0,(p(0)=2>0,

...函數(shù)叩（x）在區(qū)間（-2,-1）,（-1,0）分別各有一個(gè)零點(diǎn).

也就是說(shuō)/CO的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有兩個(gè).

故選：B.

xf（Xi）

10.已知函數(shù)/（x）=——-ax,xG（0,+8）,當(dāng)x2>xi>0時(shí)，不等式-------<--------

XX2X1

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.一魂B.…,e）C.一受D.-

f（X］）f（x2）一_

解：當(dāng)X2>Xl>0時(shí)，不等式-------<-------恒成立，即xj（xi）<Xlf（JC2）恒成立，

x2X1

令g（x）—xf（x）—e-ax2,則函數(shù)g（無(wú)）在（0,+8）單調(diào)遞增，即g'（x）—e

-2辦》0在（0,+8）上恒成立，

，2a《乙在（0,+8）上恒成立，

x

令m）=66>0），則h，（小貯鏟=為止，

xXX

???函數(shù)/?（X）的單調(diào)減區(qū)間為（0,1）,單調(diào)增區(qū)間為（1,+8）,

:,h（x）min=h（1）=ef

?，.2aWe,解得

故選：A.

11.關(guān)于函數(shù)f（x）=2coS2X-COS（2xk斤）-1的描述正確的是（）

A.其圖象可由yfQsin2x的圖象向左平移gTT個(gè)單位得到

O

7T

B./（%）在（0,號(hào)）單調(diào)遞增

C.f（X）在［0,TT］有2個(gè)零點(diǎn)

D./（x）在,0］的最小值為-企

解:f(x)=2cos2x-cos(2x"^-)-l=cos2x+sin2x=5/^sin(2x+-^-)

JH,TTTTTT

A-y~/^sin2x的圖象向左平移飛~個(gè)單位得到，>=<5^2(x+—)=y[^in(2x+—),

故A正確，

B.當(dāng)0<x<?L,則0<2rVn,-^-<2x+-^-<-，J—,此時(shí)函數(shù)/(x)不單調(diào)，故B錯(cuò)

2444

誤，

_.7Tk打兀

C.由----ku,得4n冗=--------,

428

當(dāng)k=0時(shí)，x=-'當(dāng)x=1時(shí)，x=。'兀,當(dāng)x=2時(shí)，x=■,當(dāng)x=3時(shí)，x=11上,

8888

即/⑴在[0,E有2個(gè)零點(diǎn)，三二故C正確，

OO

D.-——?jiǎng)t-TTW2XW0,-—^2JC+——^—―,則當(dāng)2JC+~^~=-兀時(shí),函數(shù)

244442

f(x)取得最小值，最小值為)，=&5吊(--^-)=-&,故。正確

故選：ACD.

12.已知向量e「e2是平面a內(nèi)的一組基向量，。為a內(nèi)的定點(diǎn)，對(duì)于a內(nèi)任意一點(diǎn)P,

當(dāng)而=x/+y弓時(shí)，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)對(duì)(X，y)為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)?若點(diǎn)A、B的廣義坐

標(biāo)分別為a”yi)(X2,%),關(guān)于下列命題正確的是()

A.線(xiàn)段A、B的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為(町+'2yl+L.g.)

22

B.4、8兩點(diǎn)間的距離為J(X1-X2)2+(y1-y2)2

C.向量贏平行于向量諉的充要條件是xi”=X2yi

D.向量贏垂直于而的充要條件是xiy2+&yi=0

解：根據(jù)題意得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知A正確；

只有平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式B才正確，未必是平面直角坐標(biāo)系因此B錯(cuò)誤;

由向量平行的充要條件得C正確；

當(dāng)向量e：e2是相互垂直的單位向量時(shí)，也與而垂直的充要條件為aX2+yiy2=0,因此

。不正確；

故選：AC.

二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

X

13.函數(shù)/(x)=<:，則/(/(-e))=e.

ln|x|,x<CO

解俎提翩*一、fex,x>0

解：根據(jù)題屈，f(x)=<..，

ln|xI，x<0

則/(-e)=lne=1,

則f(f(-e))—f(1)=el=e；

故答案為：e.

14.已知f(x)=x2+2xf'(4))則f'(A)=_|■一

JOo

解：(x)=2x+2f‘(】?)，

T)=《+2f，(-1).解得F

故答案為：---.

15.已知向量之=(4,2),(A,1),若鼻+2芯與￡芯的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)人的取

值范圍為(1-、不，2)U(2,1+、斤T).

解:?.響量；=(4,2)，芯=(入,1),二；+21=(4+2A,4),芯=(4-(，1),

若2+2芯與之-4的夾角是銳角，則Z+2芯與之-3不共線(xiàn)，且它們乘積為正值，

即4+2)且(彳+21)?(彳-E)=(4+2入，4)?(4-入，1)=20+4人-2入2>0,

4—人]O.VO.丫

求得1-d<入V1+JTI，且入W2,

故答案為：(1-JT12)u(2,1+7T1).

16.閱讀材料

求函數(shù)g=炭的導(dǎo)函數(shù)

解："."y=ex.,.x—lny.'.(x)'=(/nj)'

.?.<=y=Q

y

借助上述思路，曲線(xiàn)y=(2x-1)J+l,xe(y,XQ)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為—上

=4x-3.

解：Vy=(2x-1)戶(hù)|,

：.lny^ln(2x-1)陽(yáng)=(x+1)/n(2x-1),

則(/〃y)'=[(x+l)In(2r-1)]

即

—?y,=ln(2x-1)+(x+1)?—--*2,

y.2x-l

2x+1

即y'=y[ln(2x-1)+2(x+l)]=(2x-D*+i“7(2X-1)+^^],

2x-l2x-l

則/(1)=12(/nl+-^^-)=4,

2-1

即在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)斜率k=4,

則在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程為y-1=4(x-1),

即y=4x-3,

故答案為：y=4x-3

三、解答題：(本大題共6小題，共70分，解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟)

17.已知M={1,-2m)+(加2+〃?-2)z},P={1,-1,旬，若MUP=P,求實(shí)數(shù)m.

解：由MUP=P,知M是P的子集，從而可知()泳-2/w)+(m2^-m-2)i=-1或4z.

f9

m―2in=—1

由(?w2-2m)+(源+"z-2)i=-1,得＜,解之得：m=1,

_=

、m^+m20

f2

由(/w2-2m)+(-2)i=4i,得＜1rl21n0,解之得：m=2,

.m2tm-2=4

綜上可知：機(jī)=1或M2=2.

18.已知函數(shù)/(x)^ax^+bx2,當(dāng)x=l時(shí)，有極大值3；

(1)求“，人的值；(2)求函數(shù)/(x)的極小值及單調(diào)區(qū)間.

解：⑴/'(x)=3ax2+2bx,

(l)=3a+2b=0

當(dāng)x=l時(shí),

lf(l)=a+b=3

據(jù)此解得a--6,b=9,

...函數(shù)解析式為：產(chǎn)-6砂+9尤2.

(2)由(1)知/(x)=-6JC3+9X2,

f(x)=-18x2+18x=-18x(x-1),令f(x)>0,得0cxVI；令f(x)<0,

得x>l或x〈0,

...當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)取得極小值為0,

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：(0,1),

單調(diào)減區(qū)間為：(-8,0)和(1,+8).

19.已知向量之=-2cosx),芯=(2cosx,cosx),函數(shù)f(x)=:?1+1(xeR).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

JT

(2)在△A3C中，內(nèi)角A、B、。所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是〃、b、c,若/(A)=2,C=—,

4

c=2,求△ABC的面積SAABC.

2

解：(1)/(無(wú))=a*b+l=2V3sinxcosx-2cosx+l

=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-^~)，

b

由2x<-^-+2k冗，k€Z得

NbN

一^-+k兀<x4-^-+k兀，k€Z,

63

jrTT

：.f(X)的增區(qū)間為［十+k兀，」+k冗］,k€z；

63

TT

⑵f(A)=2sin(2A-T-)=2?

b

兀JTJT

?.?OVAVm...2A=十，，A十，

bNo

VC=—,

412

由正弦定理，得a片嚶?W^，

sinC

^6+723+73

?<,SAABC=^-acsinB=yX五X(qián)2義

42

20.對(duì)于函數(shù)/(X),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿(mǎn)足/(-X)=-/(x),則稱(chēng)/(x)為

“局部奇函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù)/(x)^ax2+2bx-4a(a,反R),試判斷f(x)是否為“局部奇函

數(shù)”？并說(shuō)明理由.

(2)設(shè)/(x)=2，+〃?是定義在R上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

解：(1)令/(-x)=-f(x)得ax2+2bx~4a--(ax2+2bx-4a),

整理可得：x2-4=0,顯然方程有解,

.,?二次函數(shù)，(x)=ax2+2hx-4a(a,heR)是“局部奇函數(shù)

(2)'：f(x)=2,+瓶是定義在R上的“局部奇函數(shù)”，

：.f(-x)=-f(x)在R上有解，

即2一工+機(jī)=-2'-機(jī)在R上有解.即m=-在R上有解，

-2-

1

令t=公,g（Z）=-17，t>0,

2

則g（f）在（0,1]上是增函數(shù)，在（1,+8）上是減函數(shù)，

g（1）=-1,ff0時(shí)，g（/）--8,ff+8時(shí)，g（/）f-8,

即m的取值范圍是（-8,-]].

21.如圖，已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,/8AZ）=120°,動(dòng)點(diǎn)M,N滿(mǎn)足氤=入前，祈=

而5入，（i#0.

（1）當(dāng)入=四=