高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案解析第十二章

./習(xí)題十二1．寫出下列級數(shù)的一般項：<1>；<2>；<3>；解：<1>； <2>； <3>；2．求下列級數(shù)的和：<1>；<2>；<3>；解：<1>從而因此,故級數(shù)的和為<2>因為從而所以,即級數(shù)的和為．<3>因為從而,即級數(shù)的和為．3．判定下列級數(shù)的斂散性：<1>；<2>；<3>；<4>；解：<1>從而,故級數(shù)發(fā)散．<2>從而,故原級數(shù)收斂,其和為．<3>此級數(shù)為的等比級數(shù),且|q|<1,故級數(shù)收斂．<4>∵,而,故級數(shù)發(fā)散．4．利用柯西審斂原理判別下列級數(shù)的斂散性：<1>； <2>；<3>．解：<1>當(dāng)P為偶數(shù)時,當(dāng)P為奇數(shù)時,因而,對于任何自然數(shù)P,都有,?ε>0,取,則當(dāng)n>N時,對任何自然數(shù)P恒有成立,由柯西審斂原理知,級數(shù)收斂．<2>對于任意自然數(shù)P,都有于是,?ε>0<0<ε<1>,?N=,當(dāng)n>N時,對任意的自然數(shù)P都有成立,由柯西審斂原理知,該級數(shù)收斂．<3>取P=n,則從而取,則對任意的n∈N,都存在P=n所得,由柯西審斂原理知,原級數(shù)發(fā)散．5．用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性．<1>；<2><3>； <4>；<5>； <6>．解：<1>∵而收斂,由比較審斂法知收斂．<2>∵而發(fā)散,由比較審斂法知,原級數(shù)發(fā)散．<3>∵而收斂,故也收斂．<4>∵而收斂,故收斂．<5>當(dāng)a>1時,,而收斂,故也收斂．當(dāng)a=1時,,級數(shù)發(fā)散．當(dāng)0<a<1時,,級數(shù)發(fā)散．綜上所述,當(dāng)a>1時,原級數(shù)收斂,當(dāng)0<a≤1時,原級數(shù)發(fā)散．<6>由知而發(fā)散,由比較審斂法知發(fā)散．6．用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：<1>； <2>；<3>；<1>解：<1>,,由比值審斂法知,級數(shù)收斂．<2>所以原級數(shù)發(fā)散．<3>所以原級數(shù)發(fā)散．<4>故原級數(shù)收斂．7．用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：<1>； <2>；<3>；<4>,其中an→a〔n→∞,an,b,a均為正數(shù)．解：<1>,故原級數(shù)發(fā)散．<2>,故原級數(shù)收斂．<3>,故原級數(shù)收斂．<4>,當(dāng)b<a時,<1,原級數(shù)收斂；當(dāng)b>a時,>1,原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)b=a時,=1,無法判定其斂散性．8．判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂,是絕對收斂還是條件收斂？<1>； <2>；<3>；<4>； <5>；<6>．解：<1>,級數(shù)是交錯級數(shù),且滿足,,由萊布尼茨判別法級數(shù)收斂,又是P<1的P級數(shù),所以發(fā)散,故原級數(shù)條件收斂．<2>,為交錯級數(shù),且,,由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂,但由于所以,發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂．<3>民,顯然,而是收斂的等比級數(shù),故收斂,所以原級數(shù)絕對收斂．<4>因為．故可得,得,∴,原級數(shù)發(fā)散．<5>當(dāng)α>1時,由級數(shù)收斂得原級數(shù)絕對收斂．當(dāng)0<α≤1時,交錯級數(shù)滿足條件：；,由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂,但這時發(fā)散,所以原級數(shù)條件收斂．當(dāng)α≤0時,,所以原級數(shù)發(fā)散．<6>由于而發(fā)散,由此較審斂法知級數(shù)發(fā)散．記,則即又由知,由萊布尼茨判別法,原級數(shù)收斂,而且是條件收斂．9．判別下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性．<1>,x∈[-3,3]； <2>,x∈[0,1]；<3>,x∈<-∞,+∞>； <4>,|x|<5；<5>,x∈<-∞,+∞>解：<1>∵,x∈[-3,3],而由比值審斂法可知收斂,所以原級數(shù)在[-3,3]上一致收斂．<2>∵,x∈[0,1],而收斂,所以原級數(shù)在[0,1]上一致收斂．<3>∵,x∈<-∞,+∞>,而是收斂的等比級數(shù),所以原級數(shù)在<-∞,+∞>上一致收斂．<4>因為,x∈<-5,5>,由比值審斂法可知收斂,故原級數(shù)在<-5,5>上一致收斂．<5>∵,x∈<-∞,+∞>,而是收斂的P-級數(shù),所以原級數(shù)在<-∞,+∞>上一致收斂．10．若在區(qū)間Ⅰ上,對任何自然數(shù)n．都有|Un<x>|≤Vn<x>,則當(dāng)在Ⅰ上一致收斂時,級數(shù)在這區(qū)間Ⅰ上也一致收斂．證：由在Ⅰ上一致收斂知,?ε>0,?N<ε>>0,使得當(dāng)n>N時,?x∈Ⅰ有|Vn+1<x>+Vn+2<x>+…+Vn+p<x>|<ε,于是,?ε>0,?N<ε>>0,使得當(dāng)n>N時,?x∈Ⅰ有|Un+1<x>+Un+2<x>+…+Un+p<x>|≤Vn+1<x>+Vn+2<x>+…+Vn+p<x>≤|Vn+1<x>+Vn+2<x>+…+Vn+p<x>|<ε,因此,級數(shù)在區(qū)間Ⅰ上處處收斂,由x的任意性和與x的無關(guān)性,可知在Ⅰ上一致收斂．11．求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域：<1>x+2x2+3x3+…+nxn+…； <2>；<3>； <4>；解：<1>因為,所以收斂半徑收斂區(qū)間為<-1,1>,而當(dāng)x=±1時,級數(shù)變?yōu)?由知級數(shù)發(fā)散,所以級數(shù)的收斂域為<-1,1>．<2>因為所以收斂半徑,收斂區(qū)間為<-e,e>．當(dāng)x=e時,級數(shù)變?yōu)?；?yīng)用洛必達法則求得,故有由拉阿伯判別法知,級數(shù)發(fā)散；易知x=-e時,級數(shù)也發(fā)散,故收斂域為<-e,e>．<3>級數(shù)缺少偶次冪項．根據(jù)比值審斂法求收斂半徑．所以當(dāng)x2<1即|x|<1時,級數(shù)收斂,x2>1即|x|>1時,級數(shù)發(fā)散,故收斂半徑R=1．當(dāng)x=1時,級數(shù)變?yōu)?當(dāng)x=-1時,級數(shù)變?yōu)?由知,發(fā)散,從而也發(fā)散,故原級數(shù)的收斂域為<-1,1>．<4>令t=x-1,則級數(shù)變?yōu)?因為所以收斂半徑為R=1．收斂區(qū)間為-1<x-1<1即0<x<2.當(dāng)t=1時,級數(shù)收斂,當(dāng)t=-1時,級數(shù)為交錯級數(shù),由萊布尼茨判別法知其收斂．所以,原級數(shù)收斂域為0≤x≤2,即[0,2]12．利用冪級數(shù)的性質(zhì),求下列級數(shù)的和函數(shù)：<1>； <2>；解：<1>由知,當(dāng)|x|=<1時,原級數(shù)收斂,而當(dāng)|x|=1時,的通項不趨于0,從而發(fā)散,故級數(shù)的收斂域為<-1,1>．記易知的收斂域為<-1,1>,記則于是,所以<2>由知,原級數(shù)當(dāng)|x|<1時收斂,而當(dāng)|x|=1時,原級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)的收斂域為<-1,1>,記,易知級數(shù)收斂域為<-1,1>,記,則,故即,,所以13．將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間：<1>f<x>=ln<2+x>； <2>f<x>=cos2x；<3>f<x>=<1+x>ln<1+x>； <4>；<5>； <6>；<7>f<x>=excosx；<8>．解：<1>由于,<-1<x≤1>故,<-2≤x≤2>因此,<-2≤x≤2><2>由,<-∞<x<+∞>得所以,<-∞<x<+∞><3>f<x>=<1+x>ln<1+x>由,<-1≤x≤1>所以<-1≤x≤1><4>由于<-1≤x≤1>故<-1≤x≤1><5><6>由,x∈<-∞,+∞>得,x∈<-∞,+∞>所以<7>因為為的實部,而取上式的實部．得<-∞<x<+∞><8>由于|x|<1而,所以<|x|<2>14．將展開成<x+4>的冪級數(shù)．解：而又所以15．將函數(shù)展開成<x-1>的冪級數(shù)．解：因為所以<-1<x-1<1>即16．利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式,求下列各數(shù)的近似值：<1>ln3〔誤差不超過0.0001； <2>cos20〔誤差不超過0.0001解：<1>,x∈<-1,1>令,可得,故又故．因而取n=6則<2>∵；故17．利用被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式,求定積分〔誤差不超過0.001的近似值．解：由于,〔-1≤x≤1故而,,．因此18．判別下列級數(shù)的斂散性：<1>； <2>；<3>．解：<1>∵而故級數(shù)發(fā)散,由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散．<2>∵由比值審斂法知級數(shù)收斂,由比較審斂法知,原級數(shù)收斂．<3>∵由知級數(shù)收斂,由比較審斂法知,原級數(shù)收斂．19．若存在,證明：級數(shù)收斂．證：∵存在,∴?M>0,使|n2Un|≤M,即n2|Un|≤M,|Un|≤而收斂,故絕對收斂．20．證明,若收斂,則絕對收斂．證：∵而由收斂,收斂,知收斂,故收斂,因而絕對收斂．21．若級數(shù)與都絕對收斂,則函數(shù)項級數(shù)在R上一致收斂．證：Un<x>=ancosnx+bnsinnx,?x∈R有由于與都絕對收斂,故級數(shù)收斂．由魏爾斯特拉斯判別法知,函數(shù)項級數(shù)在R上一致收斂．22．計算下列級數(shù)的收斂半徑及收斂域：<1>； <2>；<3>解：<1>∴,又當(dāng)時,級數(shù)變?yōu)?因為所以當(dāng),級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)的收斂半徑,收斂域<-,>．<2>故,又∵．所以當(dāng)<x+1>=±2時,級數(shù)發(fā)散,從而原級數(shù)的收斂域為-2<x+1<2,即-3<x<1,即<-3,1><3>∴,收斂區(qū)間-2<x-1<2,即-1<x<3．當(dāng)x=-1時,級數(shù)變?yōu)?其絕對收斂,當(dāng)x=3時,級數(shù)變?yōu)?收斂．因此原級數(shù)的收斂域為[-1,3]．23．將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)．解：由于所以〔|x|≤124．判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性：<1>,x∈[-3,+∞>； <2>,x∈<2,+∞>；<3>,x∈<-∞,+∞>；解：<1>考慮n≥2時,當(dāng)x≥-3時,有而收斂,由魏爾斯特拉斯判別法知,級數(shù)在[-3,+∞>上一致收斂．<2>當(dāng)x>2時,有由知級數(shù)收斂,由魏爾斯特拉斯判別法知,級數(shù)在<2,+∞>上一致收斂．<3>?x∈R有而收斂,由魏爾斯特拉斯判別法知,級數(shù)在<-∞,+∞>上一致收斂．25．求下列級數(shù)的和函數(shù)：<1>； <2>；<3>； <4>．解：<1>可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1,且當(dāng)|x|=1時,級數(shù)是收斂的交錯級數(shù),故收斂域為[-1,1]記則S1<0>=0,所以即S1<x>=arctanx,所以S<x>=xarctanx,x∈[-1,1]．<2>可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1,且當(dāng)|x|=1時,原級數(shù)發(fā)散．記則,即,S<0>=0所以,<|x|<1><3>由知收斂域為<-∞,+∞>．記則,所以,<-∞<x<+∞><4>由知收斂半徑R=1,當(dāng)x=1時,級數(shù)變?yōu)?由知級數(shù)收斂,當(dāng)x=-1時,級數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e級數(shù),故收斂域為[-1,1]．記則S<0>=0,,〔x≠1所以即即當(dāng)x≠0時,,又當(dāng)x=1時,可求得S<1>=1〔∵綜上所述26．設(shè)f<x>是周期為2π的周期函數(shù),它在<-π,π]上的表達式為試問f<x>的傅里葉級數(shù)在x=-π處收斂于何值？解：所給函數(shù)滿足狄利克雷定理的條件,x=-π是它的間斷點,在x=-π處,f<x>的傅里葉級數(shù)收斂于27．寫出函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)．解：f<x>滿足狄利克雷定理的條件,根據(jù)狄利克雷定理,在連續(xù)點處級數(shù)收斂于f<x>,在間斷點x=0,x=±π處,分別收斂于,,,綜上所述和函數(shù)．28．寫出下列以2π為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù),其中f<x>在[-π,π>上的表達式為：<1><2>；<3><4>.解：<1>函數(shù)f<x>滿足狄利克雷定理的條件,x=nπ,n∈z是其間斷點,在間斷占處f<x>的傅里葉級數(shù)收斂于,在x≠nπ,有于是f<x>的傅里葉級數(shù)展開式為<x≠nπ><2>函數(shù)f<x>在<-∞,+∞>上連續(xù),故其傅里葉級數(shù)在<-∞,+∞>上收斂于f<x>,注意到f<x>為偶函數(shù),從而f<x>cosnx為偶函數(shù),f<x>sinnx為奇函數(shù),于是,,<n=1,2,…>所以,f<x>的傅里葉級數(shù)展開式為：<-∞<x<∞><3>函數(shù)在x=<2n+1>π<n∈z>處間斷,在間斷點處,級數(shù)收斂于0,當(dāng)x≠<2n+1>π時,由f<x>為奇函數(shù),有an=0,〔n=0,1,2,…所以<x≠<2n+1>π,n∈z><4>因為作為以2π為周期的函數(shù)時,處處連續(xù),故其傅里葉級數(shù)收斂于f<x>,注意到f<x>為偶函數(shù),有bn=0<n=1,2,…>,所以f<x>的傅里葉級數(shù)展開式為：x∈[-π,π]29.將下列函數(shù)f<x>展開為傅里葉級數(shù)：<1><2>解：<1>故<-π<x<π><2>所給函數(shù)拓廣為周期函數(shù)時處處連續(xù),因此其傅里葉級數(shù)在[0,2π]上收斂于f<x>,注意到f<x>為偶函數(shù),有bn=0,所以<0≤x≤2π>30.設(shè)f<x>=x+1<0≤x≤π>,試分別將f<x>展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解：將f<x>作奇延拓,則有an=0<n=0,1,2,…>從而<0<x<π>若將f<x>作偶延拓,則有bn=0<n=1,2,…>從而<0≤x≤π>31.將f<x>=2+|x|<-1≤x≤1>展開成以2為周期的傅里葉級數(shù),并由此求級數(shù)的和.解：f<x>在<-∞,+∞>內(nèi)連續(xù),其傅里葉級數(shù)處處收斂,由f<x>是偶函數(shù),故bn=0,<n=1,2,…>所以,x∈[-1,1]取x=0得,,故所以32.將函數(shù)f<x>=x-1<0≤x≤2>展開成周期為4的余弦級數(shù).解：將f<x>作偶延拓,作周期延拓后函數(shù)在<-∞,+∞>上連續(xù),則有bn=0<n=1,2,3,…>故<0≤x≤2>33.設(shè),-∞<x<+∞,其中,求.解：先對f<x>作偶延拓到[-1,1],再以2為周期延拓到<-∞,+∞>將f<x>展開成余弦級數(shù)而得到s<x>,延拓后f<x>在處間斷,所以34.設(shè)函數(shù)f<x>=x2<0≤x<1>,而,-∞<x<+∞,其中<n=1,2,3,…>,求.解：先對f<x>作奇延拓到,[-1,1],再以2為周期延拓到<-∞,+∞>,并將f<x>展開成正弦級數(shù)得到s<x>,延拓后f<x>在處連續(xù),故..35.將下列各周期函數(shù)展開成為傅里葉級數(shù),它們在一個周期內(nèi)的表達式分別為：<1>f<x>=1-x2；<2>解：〔1f<x>在<-∞,+∞>上連續(xù),故其傅里葉級數(shù)在每一點都收斂于f<x>,由于f<x>為偶函數(shù),有bn=0<n=1,2,3,…>,所以<-∞<x<+∞><2>,而函數(shù)f<x>在x=3<2k+1>,k=0,±1,±2,…處間斷,故<x≠3<2k+1>,