2019年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷

2019年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號

涂在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）下列各數(shù)中是負數(shù)的是（）

A.|-3|B.-3C.-（-3）D.工

3

2.（3分）下列立體圖形中，俯視圖是三角形的是（）

3.（3分）今年湘潭市參加初中學業(yè)水平考試的九年級學生人數(shù)約24000人，24000用科學

記數(shù)法表示為（）

A.0.24X105B.2.4X104C.2.4X103456D.24X103

4.（3分）下列計算正確的是（）

352

A.B.（.2）—aC.2a+3a=6aD.2a*3a—6a

5.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程，-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則，=（）

A.4B.2C.ID.-4

6.（3分）隨著長株潭一體化進程不斷推進，湘潭在交通方面越來越讓人期待.將要實施的

“兩干一軌”項目中的“一軌”，是將長沙市地鐵3號線南延至湘潭北站，往返長潭兩地

又將多“地鐵”這一選擇.為了解人們選擇交通工具的意愿，隨機抽取了部分市民進行

調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下統(tǒng)計圖，關(guān)于交通工具選擇的人數(shù)數(shù)據(jù)，以下結(jié)論正確

的是（）

13

C.中位數(shù)是2D.極差是10

7.（3分）如圖，將△OAB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)70°至208的位置，若乙408=40°,則

A.45°B.40°C.35°D.30°

8.（3分）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查，湘潭某家小

型快遞公司的分揀工小李和小江，在分揀同一類物件時，小李分揀120個物件所用的時

間與小江分揀90個物件所用的時間相同，已知小李每小時比小江多分揀20個物件.若

設(shè)小江每小時分揀x個物件，則可列方程為（）

A120=90R120=90

x-20xx+20x

c120=90D.120=90

xx-20xx+20

二、填空題（本大題共8小題，請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24

分）

9.（3分）函數(shù)y=」—中，自變量x的取值范圍是.

x-6

10.（3分）若a+方=5,a-h=3,則/-/=.

（3分）為慶祝新中國成立70周年，某校開展以“我和我親愛的祖國”為主題的“快閃”

活動，七年級準備從兩名男生和三名女生中選出一名同學領(lǐng)唱，如果每一位同學被選中

的機會均等，則選出的恰為女生的概率是.

12.（3分）計算：（1）1=

4

13.（3分）將一次函數(shù)y=3x的圖象向上平移2個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為.

14.（3分）四邊形的內(nèi)角和是

15.（3分）如圖，在四邊形ABC。中，若AB=CO,則添加一個條件,能得到平行

四邊形A8CD（不添加輔助線，任意添加一個符合題意的條件即可）

16.（3分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積

所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積=!（弦X矢+矢2）.孤田是由圓弧和其所對的弦圍成（如

2

圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離

之差，運用垂徑定理（當半徑OCL弦AB時，0C平分AB）可以求解.現(xiàn)已知弦A8=8

米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為平方米.

三、解答題（本大題共10小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程

寫在答題卡相應(yīng)位置上，滿分72分）

'2x<6

17.（6分）解不等式組］3x+l、，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

|-2->X

-5-4-3-2-1012345;*

18.（6分）閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外,

還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：

立方和公式：工3+）,3=（4+了）（JC2-xy+y2）

立方差公式:X3-y3=（x-y）（/+xy+y2）

2

根據(jù)材料和已學知識，先化簡，再求值：x+2x+4,其中x=3.

X2-2XX3-8

19.（6分）我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，這標志著我國火箭發(fā)射技

術(shù)達到了一個嶄新的高度.如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點M處垂直海面發(fā)射，當火箭

到達點A處時，海岸邊N處的雷達站測得點N到點A的距離為8千米，仰角為30°.火

箭繼續(xù)直線上升到達點8處，此時海岸邊N處的雷達測得B處的仰角增加15°,求此時

火箭所在點B處與發(fā)射站點M處的距離.（結(jié)果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：72^1.41,

加F.73）

20.（6分）每年5月份是心理健康宣傳月，某中學開展以“關(guān)心他人，關(guān)愛自己”為主題

的心理健康系列活動.為了解師生的心理健康狀況，對全體2000名師生進行了心理測評,

隨機抽取20名師生的測評分數(shù)進行了以下數(shù)據(jù)的整理與分析：

①數(shù)據(jù)收集：抽取的20名師生測評分數(shù)如下

85,82,94,72,78,89,96,98,84,65,

73,54,83,76,70,85,83,63,92,90.

②數(shù)據(jù)整理：將收集的數(shù)據(jù)進行分組并評價等第：

分數(shù)X90<x<10080?9070?8060WxV70x<60

人數(shù)5a521

等第ABCDE

③數(shù)據(jù)分析：繪制成不完整的扇形統(tǒng)計圖：

④依據(jù)統(tǒng)計信息回答問題

（1）統(tǒng)計表中的a—.

（2）心理測評等第C等的師生人數(shù)所占扇形的圓心角度數(shù)為.

（3）學校決定對E等的師生進行團隊心理輔導(dǎo)，請你根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果，估計有多少師

生需要參加團隊心理輔導(dǎo)？

21.（6分）如圖，將△ABC沿著AC邊翻折，得到△AOC,且A8〃CD

（1）判斷四邊形ABC。的形狀，并說明理由：

（2）若AC=16,BC=10,求四邊形A8CZ）的面積.

22.（6分）2018年高一新生開始，湖南全面啟動高考綜合改革，實行“3+1+2”的高考選

考方案.“3”是指語文、數(shù)學、外語三科必考；“1”是指從物理、歷史兩科中任選一科

參加選考，“2”是指從政治、化學、地理、生物四科中任選兩科參加選考

（1）“1+2”的選考方案共有多少種？請直接寫出所有可能的選法；（選法與順序無關(guān)，

例如：“物、政、化”與“物、化、政”屬于同一種選法）

（2）高一學生小明和小杰將參加新高考，他們酷愛歷史和生物，兩人約定必選歷史和生

物.他們還需要從政治、化學、地理三科中選一科參考，若這三科被選中的機會均等，

請用列表或畫樹狀圖的方法，求出他們恰好都選中政治的概率.

23.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，0M與x軸的正半軸交于4、B兩點，與），軸的正

半軸相切于點C,連接MA、MC,已知半徑為2,ZAMC=60°,雙曲線

x

>0）經(jīng)過圓心

（1）求雙曲線>=四的解析式；

X

（2）求直線3c的解析式.

24.(8分)湘潭政府工作報告中強調(diào)，2019年著重推進鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，做優(yōu)做響湘蓮等特

色農(nóng)產(chǎn)品品牌.小亮調(diào)查了一家湘潭特產(chǎn)店A、2兩種湘蓮禮盒一個月的銷售情況，A種

湘蓮禮盒進價72元/盒，售價120元/盒，B種湘蓮禮盒進價40元/盒，售價80元/盒，這

兩種湘蓮禮盒這個月平均每天的銷售總額為2800元，平均每天的總利潤為1280元.

(1)求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒？

(2)小亮調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A種湘蓮禮盒售價每降3元可多賣1盒.若B種湘蓮禮盒的售價和

銷量不變，當4種湘蓮禮盒降價多少元/盒時，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，

最大是多少元？

25.(10分)如圖一，拋物線y=o?+法+c過A(-1,0)B(3.0)、C(0,M)三點

(1)求該拋物線的解析式；

(2)P(xi,yi)、Q(4,”)兩點均在該拋物線上，若yiW”，求P點橫坐標xi的取值

范圍；

(3)如圖二，過點C作x軸的平行線交拋物線于點E,該拋物線的對稱軸與x軸交于點

D,連結(jié)CO、CB,點F為線段CB的中點，點M、N分別為直線CQ和CE上的動點，

求△FMN周長的最小值.

26.(10分)如圖一，在射線QE的一側(cè)以AQ為一條邊作矩形A8CZ),AD=5^CD=5,

點M是線段AC上一動點(不與點A重合)，連結(jié)過點M作的垂線交射線QE

于點N,連接8N.

(2)問題探究：動點M在運動的過程中，

①是否能使△AMN為等腰三角形，如果能，求出線段MC的長度；如果不能，請說明理

由.

②NMBN的大小是否改變？若不改變，請求出NM8N的大??；若改變，請說明理由.

(3)問題解決：

如圖二，當動點M運動到AC的中點時，AM與BN的交點為凡的中點為H,求線

段尸”的長度.

2019年湖南省湘潭市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共8小題，每小題有且只有一個正確答案，請將正確答案的選項代號

涂在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24分）

1.（3分）下列各數(shù)中是負數(shù)的是（）

A.|-3|B.-3C.-（-3）D.工

3

【考點】11：正數(shù)和負數(shù)；14：相反數(shù)；15：絕對值.

【分析】根據(jù)負數(shù)的定義可得8為答案.

【解答】解：-3的絕對值=3>0；

-3<0；

-（-3）=3>0；

工>0.

3

故選：B.

【點評】本題運用了負數(shù)的定義來解決問題，關(guān)鍵是要有數(shù)感.

2.（3分）下列立體圖形中，俯視圖是三角形的是（）

【考點】U1：簡單幾何體的三視圖.

【分析】俯視圖是從物體上面看所得到的圖形，據(jù)此判斷得出物體的俯視圖.

【解答】解：A、立方體的俯視圖是正方形，故此選項錯誤；

8、圓柱體的俯視圖是圓，故此選項錯誤；

C、三棱柱的俯視圖是三角形，故此選項正確；

。、圓錐體的俯視圖是圓，故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有的看到的棱都應(yīng)表

現(xiàn)在三視圖中.

3.（3分）今年湘潭市參加初中學業(yè)水平考試的九年級學生人數(shù)約24000人，24000用科學

記數(shù)法表示為（）

A.0.24X105B.2.4X104C.2.4X103D.24X1（?

【考點】II：科學記數(shù)法一表示較大的數(shù).

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中1W間＜10,〃為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值＞10時，〃是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值VI時，〃是負數(shù).

【解答】解：將24000用科學記數(shù)法表示為:2.4X104,

故選：B.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其

中l(wèi)W|a|＜10,〃為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

4.（3分）下列計算正確的是（）

A.c^-i-ai=a2B.（a2）3—a5C.2a+3a=6aD.2a,3a=6a2

【考點】35：合并同類項；47：幕的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)累的除法；49：單項

式乘單項式.

【分析】根據(jù)同底數(shù)基的除法，累的乘方，合并同類項法則和單項式乘以單項式分別求

每個式子的值，再判斷即可.

【解答】解：A、結(jié)果是故本選項不符合題意；

B、結(jié)果是小，故本選項不符合題意；

C、結(jié)果是5”，故本選項不符合題意；

D、結(jié)果是6/,故本選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了同底數(shù)幕的除法，幕的乘方，合并同類項法則和單項式乘以單項式

等知識點，能夠正確求出每個式子的值是解此題的關(guān)鍵.

5.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程/-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，則。=（）

A.4B.2C.1D.-4

【考點】AA：根的判別式.

【分析】根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于c的一元一次方程,

解方程即可得出結(jié)論.

【解答】解：???方程f-4x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

.，.△=(-4)2-4*1Xc=16-4c=0,

解得：c—4.

故選：A.

【點評】本題考查了根的判別式以及解一元一次方程，由方程有兩個相等的實數(shù)根結(jié)合

根的判別式得出關(guān)于c的一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

6.(3分)隨著長株潭一體化進程不斷推進，湘潭在交通方面越來越讓人期待.將要實施的

“兩干一軌”項目中的“一軌”，是將長沙市地鐵3號線南延至湘潭北站，往返長潭兩地

又將多“地鐵”這一選擇.為了解人們選擇交通工具的意愿，隨機抽取了部分市民進行

調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下統(tǒng)計圖，關(guān)于交通工具選擇的人數(shù)數(shù)據(jù)，以下結(jié)論正確

【考點】W2：加權(quán)平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)；W6：極差.

【分析】從條形統(tǒng)計圖中可以知道共調(diào)查40人，選擇公交7人，火車2人，地鐵13人,

輕軌11人，其它7人，

極差為13-2=11,故。不正確；出現(xiàn)次數(shù)最多的是13,即眾數(shù)是13,故B不正確，從

小到大排列，第20、21個數(shù)都是13,即中位數(shù)是13,故C是不正確的；

(7+2+13+11+7)+5=8,即平均數(shù)是8,故A事正確的.

【解答】解：(7+2+13+11+7)+5=8,即平均數(shù)是8,故A事正確的.

出現(xiàn)次數(shù)最多的是13,即眾數(shù)是13,故B不正確，

從小到大排列，第20、21個數(shù)都是13,即中位數(shù)是13,故C是不正確的；

極差為13-2=11,故。不正確；

故選：A.

【點評】考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差的意義和求法，正確掌握這幾個統(tǒng)計量的意

義是解決問題的前提.

7.（3分）如圖，將△OAB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)70°至2。8的位置，若408=40°,則

ZAOD=（）

A.45°B.40°C.35°D.30°

【考點】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)角定義可以知道/80。=70°,而NAO8=40°,然后根據(jù)圖形

即可求出NAOZX

【解答】解：??,△OAB繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)70°到△08的位置，

AZBOD=70°,

而NAO8=40°,

...NAOO=70°-40°=30°.

故選：D.

【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)，其中解題主要利用了旋轉(zhuǎn)前后圖形全等，

對應(yīng)角相等等知識.

8.（3分）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查，湘潭某家小

型快遞公司的分揀工小李和小江，在分揀同一類物件時，小李分揀120個物件所用的時

間與小江分揀90個物件所用的時間相同，已知小李每小時比小江多分揀20個物件.若

設(shè)小江每小時分揀x個物件，則可列方程為（）

A.120=90B.120=90

x-20xx+20x

c120=90D120=90

xx-20xx+20

【考點】B6：由實際問題抽象出分式方程.

【分析】根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的分式方程，本題得以解決.

【解答】解：由題意可得，

120二90

x+20x

故選：B.

【點評】本題考查由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)

的分式方程.

二、填空題（本大題共8小題，請將答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上，每小題3分，滿分24

分）

9.（3分）函數(shù)），=工中，自變量x的取值范圍是xW6.

x-6

【考點】E4：函數(shù)自變量的取值范圍.

【分析】根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解.

【解答】解：由題意得，尤-6#0,

解得x#6.

故答案為：xW6.

【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，一般從三個方面考慮：

（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

10.（3分）若。+6=5,a-b=3,則?-廬=匕.

【考點】4F：平方差公式.

【分析】先根據(jù)平方差公式分解因式，再代入求出即可.

【解答】解：；a+，=5,a-b=3,

：.a2-b2

—（,a+b）（a-b）

=5X3

=15,

故答案為：15.

【點評】本題考查了平方差公式，能夠正確分解因式是解此題的關(guān)鍵.

11.（3分）為慶祝新中國成立70周年，某校開展以“我和我親愛的祖國”為主題的“快閃”

活動，七年級準備從兩名男生和三名女生中選出一名同學領(lǐng)唱，如果每一位同學被選中

的機會均等，則選出的恰為女生的概率是1.

一旦一

【考點】X4：概率公式.

【分析】隨機事件A的概率尸（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)+所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

【解答】解：選出的恰為女生的概率為工金，

3+25

故答案為國.

5

【點評】本題考查了概率，熟練運用概率公式計算是解題的關(guān)鍵.

12.（3分）計算：（工）一1=4.

4

【考點】6F：負整數(shù)指數(shù)累.

【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)累與正整數(shù)指數(shù)基互為倒數(shù)，可得答案.

【解答】解：（工）r=4=4，

4L

4

故答案為：4.

【點評】本題考查了負整數(shù)指數(shù)累，利用了負整數(shù)指數(shù)募與正整數(shù)指數(shù)累互為倒數(shù).

13.（3分）將一次函數(shù)y=3x的圖象向上平移2個單位，所得圖象的函數(shù)表達式為y=

3x+2.

【考點】F9：一次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律進行解答即可.

【解答】解：將正比例函數(shù)y=3x的圖象向上平移2個單位后所得函數(shù)的解析式為y=

3x+2,

故答案為：y—3x+2.

【點評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的原則是解答此

題的關(guān)鍵.

14.（3分）四邊形的內(nèi)角和是360°.

【考點】L3：多邊形內(nèi)角與外角.

【分析】根據(jù)〃邊形的內(nèi)角和是（n-2）-180°,代入公式就可以求出內(nèi)角和.

【解答】解：（4-2）X1800=360°.

故四邊形的內(nèi)角和為360°.

故答案為：360°.

【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，是需要識記的內(nèi)容，比較簡單.

15.（3分）如圖，在四邊形A8CZ）中，若AB=C￡>,則添加一個條件A￡>=8C,能得到

平行四邊形A8CD（不添加輔助線，任意添加一個符合題意的條件即可）

【考點】L6：平行四邊形的判定.

【分析】可再添加一個條件AD^BC,根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，

四邊形ABC力是平行四邊形.

【解答】解：根據(jù)平行四邊形的判定，可再添加一個條件：AQ=BC

故答案為：AD=BC（答案不唯一）.

【點評】此題主要考查平行四邊形的判定.是一個開放條件的題目，熟練掌握判定定理

是解題的關(guān)鍵.

16.（3分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積

所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積=!（弦X矢+矢2）.孤田是由圓弧和其所對的弦圍成（如

2

圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離

之差，運用垂徑定理（當半徑OCL弦AB時，0C平分AB）可以求解.現(xiàn)已知弦A8=8

米，半徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為10平方米.

【考點】KQ：勾股定理；M3：垂徑定理的應(yīng)用；MN：弧長的計算.

【分析】根據(jù)垂徑定理得到A￡>=4,由勾股定理得到。。=而三萬=3,求得OA-

OD=2,根據(jù)弧田面積（弦X矢+矢2）即可得到結(jié)論.

2

【解答】解：???弦AB=8米，半徑OCJ?弦48,

：.AD=4,

,'?0￡>=VOA2-AD2^3,

：.0A-0D=2,

...弧田面積=!（弦x矢+矢2）=Lx（8X2+22）=10,

22

故答案為：10.

【點評】此題考查垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理和扇形面積解答.

三、解答題（本大題共10小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟請將解答過程

寫在答題卡相應(yīng)位置上，滿分72分）

2x46

17.（6分）解不等式組〕3x+l、,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

|—>X

-5-4-3-2-1012345>

【考點】C4：在數(shù)軸上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式組.

【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解.

'2x<6①

【解答】解：<3x+l②,

解不等式①得，xW3,

解不等式②，x>-1,

所以，原不等式組的解集為-1<XW3,

在數(shù)軸上表示如下：

-5-4-3-2-1012I45>.

【點評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解.求

不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）.

18.（6分）閱讀材料：運用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外,

還可以應(yīng)用其他公式，如立方和與立方差公式，其公式如下：

立方和公式：J?+y3=（x+y）（x2-xy+y2）

立方差公式：x3-y3=（x-y）（/+盯+）?）

2

根據(jù)材料和已學知識，先化簡，再求值：.1X.一三+理4一,其中x=3.

X2-2XX3-8

【考點】54：因式分解-運用公式法；6D：分式的化簡求值.

【分析】根據(jù)題目中的公式可以化簡題目中的式子，然后將X的值代入化簡后的式子即

可解答本題.

2

【解答】解：x+2x+4

X2-2XX3-8

='3x_x'+2x+4

2

x(x-2)(X-2)(X+2X+4)

-

x-2x-2

-_---2---,

x-2

當x=3時，原式=—三―=2.

3-2

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

19.(6分)我國于2019年6月5日首次完成運載火箭海上發(fā)射，這標志著我國火箭發(fā)射技

術(shù)達到了一個嶄新的高度.如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點M處垂直海面發(fā)射，當火箭

到達點A處時，海岸邊N處的雷達站測得點N到點A的距離為8千米，仰角為30°.火

箭繼續(xù)直線上升到達點B處，此時海岸邊N處的雷達測得B處的仰角增加15°,求此時

火箭所在點B處與發(fā)射站點M處的距離.(結(jié)果精確到0.1千米)(參考數(shù)據(jù)：血比1.41,

Vs^l-73)

【考點】TA：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

【分析】利用已知結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的長.

【解答】解：如圖所示：連接由題意可得：NAMN=90°,ZANM=30°,NBNM

=45°,AN=8km,

在直角△AMN中，MV=AN?cos30°=8x1=4加(km).

2

在直角中，BM=MN,tan45°=4其m=69km.

答：此時火箭所在點B處與發(fā)射站點M處的距離約為6.9km

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構(gòu)造直角

三角形并解直角三角形.

20.(6分)每年5月份是心理健康宣傳月，某中學開展以“關(guān)心他人，關(guān)愛自己”為主題

的心理健康系列活動.為了解師生的心理健康狀況，對全體2000名師生進行了心理測評,

隨機抽取20名師生的測評分數(shù)進行了以下數(shù)據(jù)的整理與分析：

①數(shù)據(jù)收集：抽取的20名師生測評分數(shù)如下

85,82,94,72,78,89,96,98,84,65,

73,54,83,76,70,85,83,63,92,90.

②數(shù)據(jù)整理：將收集的數(shù)據(jù)進行分組并評價等第：

分數(shù)X90<x<10080?9070?8060WxV70x<60

人數(shù)5a521

等第ABCDE

③數(shù)據(jù)分析：繪制成不完整的扇形統(tǒng)計圖：

④依據(jù)統(tǒng)計信息回答問題

(1)統(tǒng)計表中的“=7.

(2)心理測評等第C等的師生人數(shù)所占扇形的圓心角度數(shù)為90°.

(3)學校決定對E等的師生進行團隊心理輔導(dǎo)，請你根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果，估計有多少師

生需要參加團隊心理輔導(dǎo)？

【考點】V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)（率）分布表；VB：扇形統(tǒng)計圖.

【分析】（1）根據(jù)。組人數(shù)以及百分比求出總?cè)藬?shù)，再求出。即可.

（2）根據(jù)圓心角=360°X百分比計算即可.

（3）利用樣本估計總體的思想解決問題即可.

【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)=2?10%=20（人），a=20X35%=7,

故答案為7.

(2)C所占的圓心角=360°X_L=90°,

20

故答案為90°.

（3）2000X_l_=100（人），

20

答：估計有100名師生需要參加團隊心理輔導(dǎo).

【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖，樣本估計總體的思想，頻數(shù)分布表等知識，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

21.（6分）如圖，將△ABC沿著4c邊翻折，得到△ADC,S.AB//CD.

（1）判斷四邊形A8CQ的形狀，并說明理由；

（2）若AC=16,BC=10,求四邊形ABC。的面積.

【考點】JA：平行線的性質(zhì)；PB：翻折變換（折疊問題）.

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出AB=4。，BC=CD,ZBAC=ZDAC,ZBCA=ZDCA,

由平行線的性質(zhì)得出NBAC=/D4C,得出NBAC=ND4C=/BC4=NOCA,證出AQ

//BC,AB=AD^BC=CD,即可得出結(jié)論;

(2)連接8。交AC于。，由菱形的性質(zhì)得出AC_LB￡>,0A=0B=Lc=8,OB=OD,

2

由勾股定理求出0B=42-0/6,得出BD=2OB=12,由菱形面積公式即可得出

答案.

【解答】解：(1)四邊形4BC。是菱形；理由如下：

'：^ABC沿著AC邊翻折，得到△ADC,

：.AB=AD,BC=CD,ZBAC=ZDAC,ZBCA=ZDCA,

■:ABHCD,

：.ZBAC^ZDAC,

：.NBAC=ZDAC=ZBCA=ZDCA,

J.AD//BC,AB=AD=BC=CD,

四邊形ABC。是菱形；

(2)連接BO交AC于O,如圖所示：

?.?四邊形A8C。是菱形，

J.ACLBD,0A=0C=LC=8,OB=OD,

2

08=依2H3c2={]02_g2=6,

，BO=20B=12,

四邊形ABCD的面積=^^*5。=上*16X12=96.

【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等

知識；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，證明四邊形A3C。是菱形是解題的關(guān)鍵.

22.(6分)2018年高一新生開始，湖南全面啟動高考綜合改革，實行“3+1+2”的高考選

考方案.“3”是指語文、數(shù)學、外語三科必考；“1”是指從物理、歷史兩科中任選一科

參加選考，“2”是指從政治、化學、地理、生物四科中任選兩科參加選考

(1)“1+2”的選考方案共有多少種？請直接寫出所有可能的選法；(選法與順序無關(guān)，

例如：“物、政、化”與“物、化、政”屬于同一種選法)

(2)高一學生小明和小杰將參加新高考，他們酷愛歷史和生物，兩人約定必選歷史和生

物.他們還需要從政治、化學、地理三科中選一科參考，若這三科被選中的機會均等，

請用列表或畫樹狀圖的方法，求出他們恰好都選中政治的概率.

【考點】X6：列表法與樹狀圖法.

【分析】(1)利用樹狀圖可得所有等可能結(jié)果；

(2)畫樹狀圖展示所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解

可得.

【解答】解：(1)畫樹狀圖如下,

政化政物政生化物化生物生政化政物政生化物化生物生

由樹狀圖知，共有12種等可能結(jié)果;

(2)畫樹狀圖如下

政化地

/K小4\

政化地政化地政化地

由樹狀圖知，共有9種等可能結(jié)果，其中他們恰好都選中政治的只有1種結(jié)果,

所以他們恰好都選中政治的概率為

9

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求

出“，再從中選出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目〃?，求出概率.

23.(8分)如圖，在平面直角坐標系中，OM與x軸的正半軸交于A、B兩點，與y軸的正

半軸相切于點C,連接MA、MC,已知OM半徑為2,NAMC=60°,雙曲線y=k(x

X

>0)經(jīng)過圓心M.

(1)求雙曲線y=k的解析式；

X

(2)求直線的解析式.

【考點】GB：反比例函數(shù)綜合題.

【分析】(1)先求出CM=2,再判斷出四邊形OCMN是矩形，得出MN,進而求出點M

的坐標，即可得出結(jié)論；

(2)先求出點C的坐標，再用三角函數(shù)求出AN,進而求出點8的坐標，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，過點M作MNLx軸于N,

:.NMNO=90°，

,/OM切y軸于C,

；.NOCM=90°,

；NCON=96°,

：.4CON=/OCM=4ONM=9S,

四邊形OCMN是矩形，

；.AM=CM=2,NCMN=90°,

,：ZAMC=60°,

；./AMN=30°,

在RtZXANM中，MN=AM.COSNAMN=2X?=M，

：.M(2,遮),

；雙曲線y=K(jt>0)經(jīng)過圓心M,

X

雙曲線的解析式為y=2返(x>0)；

x

(2)如圖，過點B,C作直線，

由(1)知，四邊形OCMN是矩形，

，CM=ON=2,OC=MN=M，

：.C(0,后，

在RtZXANM中，NAMN=30°,AM=2,

，4N=1,

???MN1AB,

:?BN=AN=T,OB=ON+BN=3,

：.B(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=k'x+h9

13k'+b=0

b=V3

???直線8c的解析式為y=-

3

【點評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，待

定系數(shù)法，求出點例的坐標是解本題的關(guān)鍵.

24.（8分）湘潭政府工作報告中強調(diào)，2019年著重推進鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，做優(yōu)做響湘蓮等特

色農(nóng)產(chǎn)品品牌.小亮調(diào)查了一家湘潭特產(chǎn)店4、8兩種湘蓮禮盒一個月的銷售情況，A種

湘蓮禮盒進價72元/盒，售價120元/盒，B種湘蓮禮盒進價40元/盒，售價80元/盒，這

兩種湘蓮禮盒這個月平均每天的銷售總額為2800元，平均每天的總利潤為1280元.

（1）求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒？

（2）小亮調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A種湘蓮禮盒售價每降3元可多賣1盒.若2種湘蓮禮盒的售價和

銷量不變，當A種湘蓮禮盒降價多少元/盒時，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，

最大是多少元？

【考點】9A：二元一次方程組的應(yīng)用；HE：二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒，B種禮盒為y盒，列二元一次

方程組即可解題

（2）根據(jù)題意，可設(shè)A種禮盒降價機元/盒，則A種禮盒的銷售量為：（10+亞）盒，再

3

列出關(guān)系式即可.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒，8種禮盒為y盒，

則有[(120-72)x+(80Y0)尸128(,解得(x=10

]120x+80y=2800ly=20

故該店平均每天銷售A禮盒10盒，B種禮盒為20盒.

(2)設(shè)4種湘蓮禮盒降價m元/盒，利潤為W元，依題意

總利潤W=(120-w-72)(10+JSL)+800

3

化簡得W=_Xn2+6/n+1280=-2Cm-9)2+1307

33

?：a=」＜0

3

...當m=9時，取得最大值為1307,

故當A種湘蓮禮盒降價9元/盒時，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，最大是1307

元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用.最大銷售利潤的問題常利函

數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選

擇最優(yōu)方案.

25.(10分)如圖一，拋物線y=o?+fec+c過A(-1,0)B(3.0)、C(0,正)三點

(1)求該拋物線的解析式；

(2)P(xi,戶)、Q(4,”)兩點均在該拋物線上，若yiW”，求P點橫坐標xi的取值

范圍；

(3)如圖二，過點C作x軸的平行線交拋物線于點E,該拋物線的對稱軸與x軸交于點

D,連結(jié)CD、CB,點F為線段C2的中點，點M、N分別為直線8和CE上的動點，

求△FMN周長的最小值.

【考點】F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；H3：二次函數(shù)的性質(zhì)：H5：二次函數(shù)圖象

上點的坐標特征；H8：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；PA：軸對稱-最短路線問題.

【分析】(1)將三個點的坐標代入，求出a、b、c,即可求出關(guān)系式；

(2)可以求出點Q(4,”)關(guān)于對稱軸的對稱點的橫坐標為：x=-2,根據(jù)函數(shù)的增減

性，可以求出當yiW"時P點橫坐標xi的取值范圍；

(3)由于點尸是8c的中點，可求出點F的坐標，根據(jù)對稱找出F關(guān)于直線CD、CE

的對稱點，連接兩個對稱點的直線與C。、CE的交點M、N,此時三角形的周長最小，

周長就等于這兩個對稱點之間的線段的長，根據(jù)坐標，和勾股定理可求.

【解答】解：(1):拋物線y=a/+6x+c過A(-1,0)B(3.0)、C(0,、后)三點

a-b+c-0__

?'<9a+3b+c=0解得：a=_X3,h=^/3,c=?

c=V333

.??拋物線的解析式為：y=^x1+囚lx+如.

33

(2)拋物線的對稱軸為x=l,拋物線上與。(4,打)相對稱的點(-2,”)

P(xi,戶在該拋物線上，yiW”，根據(jù)拋物線的增減性得：

Axl-2或無124

答：P點橫坐標處的取值范圍：加《-2或用24.

(3)VC(0,遮)，B,(3,0),D(1,0)

，OC=t，。8=3,OD,=1

?尸是8c的中點,

：.F(W,返)

22

當點尸關(guān)于直線CE的對稱點為F',關(guān)于直線CD的對稱點為F",直線F'F"與CE、

CD交點為M、N,此時△FMN的周長最小，周長為F'F"的長，由對稱可得到：F'

(W,孑叵)，F(xiàn)"(0,0)即點。，

22

即：△FMN的周長最小值為3,

【點評】考查待定系數(shù)法求函數(shù)的關(guān)系式、二次函數(shù)的性質(zhì)、對稱性，勾股定理以及最

小值的求法等知識，函數(shù)的對稱性，點關(guān)于直線的對稱點的求法是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)

鍵.

26.（10分）如圖一，在射線。E的一側(cè)以AZ）為一條邊作矩形A8CZ）,AD=5^CD=5,

點M是線段AC上一動點（不與點A重合），連結(jié)8M,過點M作的垂線交射線QE

（2）問題探究：動點M在運動的過程中，

①是否能使△4MN為等腰三角形，如果能，求出線段MC的長度；如果不能，請說明理

由.

②NM8N的大小是否改變？若不改變，請求出的大小；若改變，請說明理由.

（3）問題解決:

如圖二，當動點M運動到AC的中點時，AM與BN的交點、為F,的中點為H,求線

段尸”的長度.

【考點】LO：四邊形綜合題.

【分析】（1）在RtZXAOC中，求出/D4C的正切值即可解決問題.

（2）①分兩種情形：當NA=NM時，當時，分別求解即可.

②NM8N=30°.利用四點共圓解決問題即可.

（3）首先證明△A8M是等邊三角形，再證明2N垂直平分線段AM,解直角三角形即可

解決問題.

【解答】解：（1）如圖一（1）中，

圖一⑴

:四邊形A8CZ）是矩形,

AZADC=90°,

；tanNDAC=^=5_=返,

AD5733

ND4c=30°.

(2)①如圖一(1)中，當AN=M0時，

■:NBAN=NBMN=90°,BN=BN,AN=NM,

ARtABTVA^RtABW(HL),

在RtZ\ABC中，VZACB=ZDAC=30°,AB=C￡>=5,

；.AC=2AB=10,

：NB4M=60°,BA=BM,

...△ABM是等邊三角形，

，AM=AB=5,

.\CM=AC-AM=5.

如圖一（2）中，當AN=AM時，易證NAMN=NANM=15°,

圖一⑵

?：NBMN=90°,

AZCMS=75°,〈NMCB=30°,

；./C8M=180°-75°-30°=75°,

：.NCMB=NCBM,

:.CM=CB=5M，

綜上所述，滿足條件的CM的值為5或5b.

②結(jié)論：NMBN=30°大小不變.

理由：如圖一（1）中，'：ZBAN+ZBMN=\S0Q,

：.A,B,M,N四點共圓，

；.NMBN=NMAN=30°.

如圖一（2）中，:NBMN=NBAN=90°,

...A,N,B,M四點共圓，

：.ZMBN+ZMAN=\S0°,

；ND4C+/M4N=180°,

：.ZMBN^ZDAC=30°,

綜上所述，NMBN=30°.

(3)如圖二中,

圖二

???AM=MC,

：.BM=AM=CM,

：.AC=2AB,

：.AB=BM=AM,

???△ABM是等邊三角形，

：.ZBAM=ZBMA=60°,

■:/BA